4.2. Колебательный контур с затуханием

Колебательный контур без сопротивления  это идеальная модель. Реально LC-контур всегда обладает некоторым сопротивлением R хотя бы за счет подводящих проводов. Рассмотрим LC-контур с сопротивлением R (рис. 4.3). Такой контур называется контуром с затуханием или LCR-контуром. При замыкании обкладок заряженного конденсатора в контуре начинаются колебания. Однако теперь при протекании электрического тока за счет сопротивления R контур нагревается. Энергия электрического поля, первоначально запасенная в конденсаторе, постепенно переходит во внутреннюю энергию провода, амплитуды колебаний всех электрических величин уменьшаются вплоть до полного прекращения колебаний.

Дифференциальное уравнение затухающих колебаний некоторой физической величины имеет вид

(4.10)

Оно отличается от дифференциального уравнения гармонических колебаний (4.2) слагаемым (), учитывающим силы сопротивления, действующие на маятник. Коэффициент называется коэффициентом затухания. Если величина  смещение, её производная  скорость, тогда слагаемое отражает тот факт, что сила сопротивления пропорциональна скорости.

В случае, когда затухание не слишком велико (выполняется условие ), решение дифференциального уравнения (4.10) имеет вид:

, (4.11)

где  амплитуда колебаний, уменьшающаяся со временем по экспоненциальному закону;  начальная амплитуда колебаний;  циклическая частота колебаний;  собственная циклическая частота колебаний (частота, с которой колебался бы маятник, если бы сил сопротивления не было). Присутствие сил сопротивления уменьшает циклическую частоту колебаний и, соответственно, увеличивает период колебаний:

.

Вернемся к электромагнитным колебаниям в LCR-контуре. Поскольку внешние ЭДС в цепи не действуют, сумма падений напряжений на отдельных элементах контура равна нулю

.

Учитывая, что , получим:

. (4.12)

Уравнение (4.12) по форме совпадает с дифференциальным уравнением (4.10). Отсюда можно сделать два основных вывода.

1. . Процесс в LCR-контуре представляет собой затухающие колебания, зависимость заряда конденсатора от времени подобна (4.11):

. (4.13)

График функции (4.13) изображен на рис. 4.4. сплошной линией. Отдельно пунктирной линией показана зависимость амплитуды колебаний заряда от времени .

2) Сравнение коэффи­циентов уравнений (4.10) и (4.12) показывает, что соб­ствен­ная циклическая частота коле­ба­ний, а коэффициент затухания.

Сформулируем несколько определений параметров затухающих колебаний.

Время , в течение кото­рого амплитуда колебаний уменьшается вe2,72 раз, называетсявременем затуханияиливременем релаксации.

Отметим, что уменьшение амплитуды почти в 3 раза существенно, однако не означает полного прекращения колебаний.

Время затухания есть величина, обратная коэффициенту затухания:

. (4.14)

Докажем утверждение (4.14). Амплитуда колебаний в некоторый момент времени :. Через время, т.е. в момент времениамплитуда колебаний. По определению величины

.

Из формулы (4.14) следует, что . Таким образом, коэффициент затухания – это величина, обратная времени затухания, т.е. времени, за которое амплитуда уменьшается в е раз.

Декрементом затухания называется величина, равная отношению амплитуд следующих друг за другом колебаний:

(4.15)

где амплитуда-го колебания,амплитуда-го колебания.

Декремент затухания связан с коэффициентом затуханияи периодом колебаний:

(4.16)

Докажем формулу (4.16). Пусть -е колебание происходит в некоторый момент времени, тогда. Поскольку ()-е и-е колебания разделены временным отрезком, равным периоду колебаний, то. Тогда.

Логарифмическим декрементом затуханияназывается величина. Из формулы (4.16) следует:

. (4.17)

Пример 4.2. Определить число колебаний маятника за время затухания, если известен логарифмический декремент затухания.

Решение.Число колебаний можно найти, разделив полное время колебаний (в данном случае время затухания) на время одного колебания, т.е. на период:. Далее, используя формулу (4.14), получаем ответ:. Следствие:, т.е. логарифмический декремент затухания – есть величина, обратная числу колебаний за время затухания.