Координатные преобразования переменных обобщенной электрической машины

Система уравнений описывающих процессы электромеханического преобразования энергии нелинейная, т.к. содержит произведения переменных (_ii_j) и (i_ii_j), а также переменные коэффициенты собственных и взаимных индуктивностей. Поэтому она неудобна для практического использования. Ее можно преобразовать путем замены действительных переменных фиктивными переменными при условии сохранения одинаковости математического описания и сохранения неизменной мощности.

Коэффициенты самоиндукции и взаимоиндукции зависят от угла поворота ротора машин, т.е. от углового взаимного положения обмоток статора и ротора. Чтобы они были постоянными и не зависели от угла поворота осей ротораd, qотносительно осей,статора, желательно, чтобы обмотки обобщенной машины 1и 2d, а также 1и 2qбыли неподвижны относительно друг друга. Для этого изобразим еще осиu, vна схеме обобщенной машины, которые вращаются в пространстве с угловой скоростью_к.

На этих осях располагаем расчетные обмотки (физически этих обмоток нет) статора и ротора. Считаем, что эти обмотки создают такие же МДС, что и реальные обмотки. Коэффициенты самоиндукции в этом случае будут постоянными, т.к. обмотки неподвижны друг относительно друга.

Сделаем преобразования реальных переменных, соответствующих обмоткам, расположенными на осях,,d, qк фиктивным переменным, соответствующим расположению обмоток на осяхu, v.Преобразования делаем только для обмоток статора, ибо для обмоток ротора преобразования аналогичны.

Представляем каждую реальную переменную (i, u,) в виде вектораХ₁, являющимся геометрической суммой мгновенных векторов этой переменной. Пусть некоторая переменная в виде вектораХ₁, соответствует току, или напряжению, или потокосцеплению статора. Проекции этой реальной переменной на оси,,d, qравныХ_1,Х_1,Х_2d,Х_2q. Соответствующие им новые переменные в системе координатu, v определяется как суммы проекций реальных переменных на осиu, v. Например, составляющие вектораХ_1uопределяются как проекции векторовХ_1иХ_1на осьu, а составляющие вектораХ_1v- как проекции этих же векторов на осьv. Просуммировав проекции по осям, получим формулы прямого преобразования для статорных переменных (см. рис.).

;

.

Аналогично формулы прямого преобразования для роторных переменных имеют вид (с учетом угла _эл):

Как реальные переменные Х_1,Х_1, так и преобразованныеХ_1uиХ_1v, являются проекциями на соответствующие оси одного и того же результирующего (обобщенного) вектораХ₁.

Переход от преобразованных, т.е. фиктивных переменных к реальным переменным обобщенной машины осуществляется с помощью формул обратного преобразования, которые можно получить с помощью аналогичных построений (см. рис.). Аналогично для роторных переменных с учетом угла поворота ротора _эл.

;

;

;

.

Пользуясь полученными формулами, преобразуем уравнения электрического равновесия и уравнения потокосцеплений к осям u, v. Для получения преобразованных уравнений в уравнениях электрического равновесия и уравнениях потокосцеплений с помощью формул преобразований заменим все реальные переменные, выразив их в осяхu, v. Для пояснения сущности ограничимся только преобразованием уравнений равновесия для цепи статора, т.к. для ротора преобразования будут аналогичными. С этой целью подставляем выражения реальных переменных в уравнения обратного преобразования:

;.

Врезультате получим:

;

.

Продифференцировав произведения на тригонометрические функции угловой координаты, умножим 1-е из полученных уравнений наcos_k, а 2-е – наи складываем полученные уравнения. После приведения подобных членов получим уравнение равновесия для осиu. Умножая, затем 1-е из ранее полученных уравнений на -, а 2-е – наи выполнив аналогичные операции, что и в первом случае, получим уравнение электрического равновесия для осиv.

Аналогично можно получить преобразованные уравнения электрического равновесия для цепи ротора. В результате система уравнений электромеханической характеристики обобщенной машины будет иметь вид:

;

;

;

,

где ;, а 3^ислагаемые в правых частях уравнений – это ЭДС вращения.

Аналогично можно получить преобразованные уравнения потокосцеплений: Но проще их можно написать исходя из физического смысла и пользуясь следующей схемой обобщенной машины.

Потокосцепление каждой обмотки определяется собственной индуктивностьюL₁илиL₂и взаимной индуктивностьюL₁₂с другой обмоткой, расположенной на той же оси. Взаимодействие с токами других обмоток отсутствует, т.к. их оси сдвинуты на_эл= 90, таким образом:

;

;

;

.

Если в выражении электромагнитного момента неявнополюсной машины

.

реальные токи заменить на преобразованные по формулам обратного преобразования, получим после преобразований: .

Если выразить токи через потокосцепления статора ₁или ротора₂или и статора₁и ротора₂, можно получить следующие выражения электромагнитного момента обобщенной машины:

;

;

.

Объединив уравнения электромеханической характеристики с уравнением электромагнитного момента, получим математическое описание динамической механической характеристики обобщенной машины:

;

;

;

;

.

Преобразованную систему уравнений динамической механической характеристики можно представить в комплексной (векторной) форме, если ось uпринять за действительную, а осьv– за мнимую.

Напряжения, токи, потокосцепления в выше написанных уравнениях являются проекциями результирующих (обобщенных) векторов этих величин на оси uиv

,;

,;

,.

Теперь уравнения динамической механической характеристики будут иметь вид:

;

;

,

где - величина, комплексно сопряженная величине.

Символ Im (imaginary) означает, что в скобках стоит произведение мнимых частей комплексных токовi₁иi₂*.