Зависимость параметров сухого воздуха от температуры

T, ºС	102, Вт/(м·ºС)	106, м2/с	T, ºС	102, Вт/м ºС	106, м2/с
10	2,50	14,16	50	2,82	17,95
20	2,59	15,06	60	2,89	18,97
30	2,67	16,00	70	3,00	20,00
40	2,75	16,96

Тепловой поток излучением с поверхности кабеля единичной длины определим по уравнению Стефана – Больцмана:

, (4.49)

где С₀ = 5,710^–8 Вт/(м²К⁴) – постоянная излучения абсолютно черного тела; _п – коэффициент черноты поверхности тела.

Суммарная теплопередача

, (4.50)

, ,

где .

Откуда тепловое сопротивление воздуха

. (4.51)

Пример. Рассчитать тепловое сопротивление воздуха для кабеля в пластмассовой оболочке (d = 28 мм, _п = 0,8), температура окружающей среды T₀ = 25 ºC, температура поверхности кабеля T_п = 55 ºC.

Решение:

1. Температура поверхности кабеля заранее неизвестна. Примем ее равной T_п = 55 ºC. Вычисляем перепад температуры между поверхностью кабеля и окружающей средой

30 ºС.

2. Определяем среднюю температуру:

.

3. Коэффициент теплового расширения воздуха

.

4. Из табл. 4.2 при 40 ºС кинематическая вязкость ν = 16,96·10^–6 м²/с.

5. Критерий Грасгофа

.

6. Критерий Нуссельта

7. Коэффициент конвективной теплопередачи

Вт/(м·ºС).

8. Отношение температур θ₁

.

9. Тепловое сопротивление воздуха

м·ºС/Вт

10. Вычисляем ток нагрузки (например, для кабеля с учетом потерь в металлических оболочках по формуле (4.38)).

11. Вычисляем температуру поверхности кабеля

12. Далее расчет повторяется с пункта 1 несколько раз до стабилизации тока нагрузки с точностью 1А

Тепловое сопротивление земли

Предположим, что поверхность земли имеет постоянную температуру, и тепло от кабеля идет только к поверхности земли. Для нахождения теплового сопротивления земли S_з используем метод зеркальных отображений (рис. 4.7). По аналогии с электрическим полем воспользуемся формулой емкости двухпроводной линии:

, (4.52)

Величина, обратная емкости,

, (4.53)

где .

Рис. 4.7. Метод зеркальных отображений

Величина

(4.54)

зависит только от геометрических размеров и называется геометрическим фактором.

Тепловой поток идет от кабеля только до поверхности земли, поэтому

(4.55)

. (4.56)

Подставим в последнюю формулу :

. (4.57)

С учетом того, что глубина прокладки L много больше радиуса кабеля R_к, получим

. (4.58)

В некоторых литературных источниках встречается формула

, (4.59)

Коэффициент 2/3 учитывает отвод тепла в глубину земли.

4.6. Нагрев и охлаждение кабеля

При изменении тока нагрузки кабеля его температура будет изменяться во времени. Зависимость температуры от времени получится в результате решения дифференциального уравнения (см. формулу (4.1)).

Рассмотрим упрощенный расчет. Предположим, что кабель является однородным цилиндром. Обозначим количество тепла, которое:

– выделилось в жиле от протекания тока, Q;

– пошло на нагрев кабеля, Q₁;

– рассеялось в окружающую среду, Q₂.

Составим уравнение теплового баланса:

. (4.60)

За бесконечно малый промежуток времени dt уравнение теплового баланса (4.60) примет вид

, (4.61)

где

, (4.62)

, (4.63)

, (4.64)

P_ж – мощность теплового потока, идущего от жилы; C – теплоемкость кабеля; P₂ – мощность теплового потока, идущего от кабеля в окружающую среду; S – тепловое сопротивление; θ – перепад температур.

Подставим перечисленные величины в уравнение (4.61), получим

; (4.65)

Разделим переменные:

; ;

; .

Интегрируем по времени от 0 до t и по перепаду температур от 0 до θ:

. (4.66)

После интегрирования получим

.

Преобразуем эту формулу:

Потенцируем последнее выражение:

, (4.67)

где .

Окончательно имеем

или (4.68)

где β – постоянная времени нагрева, β = CS.

Кабель охлаждается по уравнению

(4.69)

При выводе этого уравнения мы принимали кабель за однородный цилиндр. Реальный кабель многослойный, и чтобы учесть это, вводится понятие эффективной теплоемкости

C = С_эф = С_ж+0,5(С_из + С_об + ...), (4.70)

где С_ж – теплоемкость токопроводящей жилы; С_из – теплоемкость изоляции; С_об – теплоемкость оболочки. Теплоемкость земли (С_з = 0) не учитывается, земля вокруг кабеля прогревается в течение нескольких недель.

Тепловое сопротивление берется с учетом теплового сопротивления земли:

S = S_из + S_об +…+ S_з . (4.71)

Тепловое сопротивление любого i-го цилиндрического элемента конструкции кабеля (S_из , S_об и т. д.) вычисляется по формуле (см. (4.18))

(4.72)

где σ_i – удельное тепловое сопротивление, м·ºС/Вт; r_i, r_i+1 – меньший и больший радиусы цилиндра; L – длина цилиндра (L = 1 м).

Теплоемкость любого i-го цилиндрического элемента конструкции кабеля вычисляется по формуле

(4.73)

где V – объем, м³; c_i – удельная теплоемкость, Дж/(кг·ºС); ρ_i – плотность, кг/м³.

Для токопроводящей жилы формула (4.73) примет вид

, (4.74)

где – сечение жилы (по металлу), м².

Постоянная времени нагрева показывает время, за которое температура кабеля изменится в е раз от первоначального значения. Температура кабеля стабилизируется через (3–5), что составляет несколько часов.

Распишем уравнение (4.68):

, (4.75)

где T₀ – температура окружающей среды; (T_max – T₀) = θ – максимальный перепад температур; T – текущая температура.

Уравнение (4.75) представляет собой экспоненту (рис. 4.8), которая изменяется от температуры окружающей среды (T₀) до максимальный температуры (T_max) с постоянной времени .

Существует два способа определения постоянной времени нагрева .

Первый способ – метод двух третей. В уравнение (4.68) подставим t = =:

; . (4.76)

За время, равное , температура кабеля повышается на 2/3 от максимальной температуры (см. рис. 4.8).

а б

Рис. 4.8. Определение постоянной времени нагрева: а– методом двух третей;

б – методом касательной

Второй способ – метод касательной. Продифференцируем уравнение (4.68) по времени:

или (4.77)

Для исключения множителя подставимt = 0, тогда

. (4.78)

Производная – это есть не что иное, как касательная, проведенная к кривой нагрева в момент времениt = 0 (рис. 4.9, б). Этот метод менее точен из-за сложности проведения касательной.