3. Магнитное поле в кабеле

3.1. Потери полезной мощности в металлических оболочках (экранах) небронированных кабелей

Рассмотрим механизм возникновения потерь в металлических оболочках кабеля. Пусть каждая фаза имеет свою металлическую оболочку, которая представляет собой цилиндр, охватывающий токопроводящую жилу кабеля. Оболочки могут быть сплошными свинцовыми или алюминиевыми, служащими для герметизации кабеля, а также выполненными в виде обмотки металлическими лентами или проволоками, выполняющими функцию электрического экрана.

На рис. 3.1 представлена электрическая схема, включающая в себя генератор 7, три однофазных кабеля 8 в металлической оболочке и приемник электрической энергии 9. Оболочки кабеля на концах (точки 1, 2, 3, 4, 5 и 6 на рис. 3.1) заземлены по условиям техники безопасности.

Рис. 3.1. Электрическая схема трехфазного кабеля с металлическими оболочками: 1, 2, 3, 4, 5, 6 – точки заземления оболочек; 7 – генератор; 8 – кабель: 9 – приемник электроэнергии

Для упрощения вывода рассмотрим только две фазы (рис. 3. 2). Объединим две обмотки генератора и обозначим их как однофазный генератор. Два сопротивления нагрузки заменим одним эквивалентным. Замкнем точки 1 и 4, так как они имеют одинаковый (нулевой) потенциал, а также точки 2 и 3. Точка 1 находится на значительном расстоянии от точки 2, а точка 4 от 3, и между ними располагается хорошо проводящая оболочка, поэтому их не замыкаем.

Далее заменим оболочки кабеля проводниками эквивалентного сечения (проводник 1–2 и проводник 3–4), в результате получим схему, изображенную на рис. 3.3.

Рис. 3.2. Две фазы от трехфазной схемы

Ток жилы I_ж, протекая по контуру 5–6–7–8, создает вокруг проводников переменное магнитное поле. В силу того, что расстояние между точками 5–6 много больше, чем между точками 5–8, будем рассматривать только магнитное поле, создаваемое проводниками 5–6 и 7–8. Вектор магнитной индукции B пронизывает контур 1–2–3–4 и вызывает в нем протекание электрического тока I_об, амперметр A покажет значение тока; если вместо амперметра включить вольтметр, то он покажет напряжение, создаваемое контуром.

Рис. 3.3. Контуры, образованные двумя жилами кабеля и их

оболочками: 1–2–3–4 – контур оболочек; 5–6–7–8 – контур жилы

Магнитный поток, который пронизывает контур 1–2–3–4, равен потокосцеплению, так как контур имеет один виток:

(3.1)

где S – площадь контура 1–2–3–4 . По длине контура L магнитная индукция B не изменяется, поэтому можно записать:

(3.2)

где r_об – радиус оболочки; h – расстояние от жилы до соседней оболочки.

Подставим :

(3.3)

где  – магнитная проницаемость среды, ₀ = 4·10^–7 Гн/м – магнитная постоянная.

Распишем H как , где I = I_ж, подставим H в формулу (3.3) и получим

(3.4)

Далее вынесем из-под знака интеграла величины, которые не зависят от радиуса, и проинтегрируем (3.4):

(3.5)

По определению коэффициент взаимной индукции между контуром 5– 6–7–8 и контуром 1–2–3–4

(3.6)

Подставим в (3.5) выражение (3.6), получим

(3.7)

Наводимая в контуре за счет взаимной индуктивности ЭДС

(3.8)

Запишем

(3.9)

(3.10)

где E_m, I_m – амплитуда ЭДС и тока;  – циклическая частота ( = 2πf);

f – частота; t – время.

Возьмем производную выражения (3.10):

(3.11)

Подставим в (3.8) выражение (3.11):

или

Опустим индекс m и заменим I на I_ж:

(3.12)

Формула (3.12) была выведена для фазы 1–2, такая же ЭДС возникнет от фазы 3–4; следовательно, общая ЭДС

(3.13)

Ток оболочки I_об также создает ЭДС, поэтому

(3.14)

Ток I_об вызовет падение напряжения в контуре оболочек, равное . Тогда по закону Кирхгофа

(3.15)

Из (3.15) выразим I_об:

(3.16)

Откуда модуль тока

(3.17)

Найдем отношение I_об/ I_ж:

(3.18)

Возведем его в квадрат:

(3.19)

Определим отношение потерь в оболочке P_об к потерям в жиле P_ж:

(3.20)

Подставим в (3.20) выражение (3.19), окончательно получим

(3.21)