учебник Кирчанов

что ни при каком выборе её характеристик она не согласуется с результатами наблюдений, она непригодна для исследования данного явления.

4. Последующий анализ модели, связанный с накоплением данных о изучаемом явлении и модернизации модели. Уточнение данных о явлении приводит рано или поздно к расхождению выводов из анализа модели с результатами наблюдений. Возникает необходимость построения новой, более совершенной модели. Пример – модель Солнечной системы.

Физическое моделирование – экспериментальный метод научного исследования, состоящий в замене изучаемого физического процесса, явления или объекта другим ему подобным– моделью. Восновемоделированиялежаттеорияподобия и анализ размерностей, устанавливающие критерии подобия. Равенство критериев подобия для натуры и модели обеспечивает возможность переноса экспериментальных результатов, полученных путем физического моделирования, на натурные условия. Перенос на натуру осуществляется путем умножения каждой из определяемых величин модели на постоянный для всех величин данной размерности множитель – коэффициент(критерий) подобия. Восновемоделированиялежиттеория подобия и анализ размерностей, устанавливающие критерии подобия, равенство которых для натуры и модели обеспечивает перенос результатов физического моделирования на натурные условия. Равенство критериев подобия для модели и натуры является необходимым условием моделирования.

Для задач динамики системы материальных точек критерием подобия является число Ньютона

Ne =Ft2/(ml),

где F – сила; m – масса; t – время; l – длина пути.

191

Элементы теории размерностей и теории подобия

Единицей измерения [А] физической величины А называется условно выбранная физическая величина, имеющая тот же самый физический смысл, что и величина А.

Размерностью величины В называется отношение, определяющее связь между единицами измерения этой величины [B] иосновнымиединицами[A1], [Ak] даннойсистемыединиц. Формулы размерности имеют вид степенных одночленов

[B] =[A1]n1 ...[Ak ]nk ,

где k – число основных единиц; n1, … nk – рациональные числа. Пример: размерность силы в международной системе единиц (СИ) [F Ньютон] = [масса кг]·[ускорение м·с – 2]; k=3,

n1 = n2=1; n3 = – 2.

Пи-теорема: всякое соотношение между n размерными величинами, для измерения которых использовано k основных единиц измерения, можно представить в виде соотношения между n – k безразмерными комбинациями π1,… πn – k этих n величин.

Метод аналогии состоит в изучении какого-либо процесса путем экспериментального исследования качественно другого физического процесса, дифференциальное уравнение протекания которого и условия однозначности по своей форме совпадают с таковыми для изучаемого процесса.

Теория подобия – учение об условиях подобия физических явлений. Она основана на учении о размерностях физических величин и служит основой экспериментальных исследований сложных явлений методом моделирования и методом аналогии.

Математические модели законов природы, из которых получают уравнения, описывающие любое физическое явление,

192

не зависят от выбора системы мер и размерностей физических величин. Это означает, что математические модели обладают свойством масштабной инвариантности и гомохронностью, т.е. свойством одинаковости скорости протекания процессов во времени. Иными словами, уравнения, описывающие физические явления, можно привести к безразмерному виду путем введения характерных значений для каждого из определенных физических параметров. Принципиальное значение имеют два момента:

1)определение типа задачи (выбор системы размерностей);

2)составление перечня существенных величин на основе понимания физической природы исследуемого процесса.

Критерии подобия – безразмерные степенные комплексы, которые входят в безразмерное математическое описание рассматриваемого процесса, составленное с помощью пи-теоремы.

Определяющие критерии подобия – критерии, которые со-

ставлены только из величин, заданных в условиях однозначности и независимых переменных.

Перваятеоремаподобия: длядвухподобныхпроцессовI иII все критерии подобия попарно равны друг другу: π1I = π1II.

Вторая теорема подобия: критерии подобия связаны друг с другом уравнением подобия, которое является безразмерным решением рассматриваемой задачи, справедливым для всех подобных процессов.

Третьятеоремаподобия: длятогочтобыдвапроцессабыли подобны, необходимо и достаточно, чтобы они были качественно одинаковы, а их определяющие критерии – попарно равны.

Качественно одинаковыми называются процессы, математические описания которых отличаются только численными значениями содержащихся в них размерных величин.

193

Например, критерий подобия, связанный с переносом им-

пульса; число Маха

M = v/c,

где v – скорость течения газового потока; с – скорость звука в движущейся среде.

Критерий подобия, связанный с переносом теплоты между поверхностью тела и потоком жидкости, число Нуссельта

Nu = αl/λ,

где α – коэффициент теплоотдачи; l – характерный размер тела; λ – коэффициент теплопроводности жидкости.

Моделированиевхимическойтехнологии– методиссле-

дования химико-технологических процессов путем построения и изучения моделей, отличающихся от объектов масштабами или физической природой протекающих в них явлений. Моделирование применяется

1)для исследования новых процессов;

2)проектирования новых производств;

3)оптимизации отдельных аппаратов и технологических

схем;

4)выявления резервов мощности и отыскания наиболее эффективных путей модернизации действующих производств;

5)оптимального планирования действующих производств;

6)разработки автоматизированных систем управления проектируемыми и действующими производствами.

Моделирование основано на свойстве подобия различных объектов. При математическом моделировании исследование свойств объекта сводится к задаче изучения свойств математической модели, представляющей собой систему уравнений математического описания, отражающую поведе-

194

ние объекта. Модель с помощью определенного алгоритма позволяет прогнозировать это поведение при изменяющихся условиях функционирования объекта. Наиболее распространенными являются детерминированные, статистические, стохастические модели.

Стохастические модели строятся на основе вероятностных представлений о процессах в объекте. Поведение объекта прогнозируетсяпутемвычисленияраспределения вероятностей переменных, характеризующих исследуемые свойства. Область применения стохастических моделей – большие системы (агрегаты, технологические процессы, предприятия).

Статистические модели строятся на основе экспериментальных данных, полученных с действующего объекта. Они являются системами соотношений, связывающих значения входных и выходных переменных объекта. Вид этих соотношений обычно задается априорно (до опыта) и определению подлежатлишьзначениянекоторыхпараметроввпринятыхзависимостях. Желательно планомерное варьирование входных переменных в допустимых пределах. При построении этих моделей необходима математическая статистика, поскольку результаты экспериментов содержат случайные ошибки. Область применения – планирование оптимальных условий экспериментов и описание функционирования отдельных аппаратов или участков производства для решения задач управления и оптимизации.

Детерминированные модели строятся на основе математически выраженных закономерностей, описывающих фи- зико-химические процессы в объекте. Они позволяют однозначноопределятьзначенияпеременныхдлялюбойзаданной совокупности значений входных переменных и конструктивных параметров объекта. Для расчетных исследований мо-

195

дели требуются средства вычислительной техники. Особое внимание уделяется разработке эффективных алгоритмов решения системы уравнений и математического описания модели. Применение принципа разумной сложности модели приводит к необходимости сравнения экспериментальных данных объекта с результатами расчета модели с целью проверки адекватности модели изучаемому процессу. Область применения – моделирование и оптимизация отдельных аппаратов и технологических схем.

Математическое моделирование в биологии и биофизике

Исходный принцип биофизики: все биологические и химические явления подчиняются основным физическим законам. Метод, применяемый в биофизике на всех уровнях – от молекулярного, до биосферного, включает два этапа.

1. Анализ реальной неоднородной структуры биологического объекта и построение на его основе физической модели, адекватной биологическому объекту. При этом учитывается заключенная в объекте информация и, следовательно, биологическая специфика.

2. Анализ построенной физической модели с использованием известных законов физики (термодинамики, механики, гидродинамики).

Управление сложными биологическими системами и их эволюция содержат одинаковые явления: автоколебания, автоволны, диссипативные структуры. Для их описания используют метод математического моделирования с помощью кинетических уравнений. В соответствии с первым подходом на основе теории Марковских случайных процессов составляют линейные уравнения для вероятности Рi застать систему в определенном i-м состоянии:

196

dP1/dt = k11 P1 + k12 P2, dP2/dt = k21 P1 + k22 P2; i =1, 2.

Второй подход основан на теории динамических систем. Переменными являются концентрация, число особей в экологической системе, электрические мембранные потенциалы и т.п. Уравнения нелинейные и имеют форму уравнений химической кинетики:

dx1/dt = F1 (x1, x2), dx2/dt = F2 (x1, x2),

где F – динамическая функция.

Математическое моделирование преследует две цели: 1) качественное описание нетривиальных явлений, для этого строят упрощенные модели; 2) количественное описание конкретных процессов, качественное описание которых известно, состоит в построении имитационных моделей, содержащих много уравнений и переменных.

Пример 1. Модель Лотки и Вольтера (описание существо-

вания хищников числом N1, и жертв числом N2) dN1/dt = k1 N 1N2 – s1 N 1, dN2/dt = k2 N 2 – s1 N 1N2,

где k1 и k2 – коэффициенты рождаемости (принято, что для рождения хищника ему необходимо съесть жертву); s1 и s2 – коэффициенты смертности (принято, что жертвы погибают при встрече с хищником). При учете зависимостей k и s от N 1, N 2 модель становится структурноустойчивой, имеетавтоколебательные решения и используется в экологии.

Пример2. МодельГаузевзаимодействияпопуляций(опи-

сывает отбор лучшей популяции)

dx1/dt = a1 x1 – b11 x1 x2, dx2/dt = a2 x2 – b21 x1 x2,

где xi – численность i-й популяции; аi – коэффициент размножения (разность коэффициентов рождения и естественной

197

смертности); bij – коэффициент взаимодействия (конкуренция за питание, взаимное уничтожение, эффект тесноты). Модель используется в теории биологической эволюции и экологии.

Пример 3. Релаксационная модель с N-образной характеристикой.

k dx1/dt = P (x1, x2), dx2/dt = a + b x1 + c x2,

параметр k много меньше 1, функция P (x1, x2) такова, что изоклина (решение уравнения P (x1, x2) = 0) имеет два экстремума. Модель описывает генерацию стандартного сигнала в ответ на малое, но конечное внешнее воздействие и релаксационные автоколебания. Модель используют при описании генерации первого импульса, возникновение биоритмов (биочасы), теории мембранной регуляции клеточного цикла.

Пример 4. Мультистационарная модель. Система, описы-

вающая переключение генетического аппарата с одного режима работы на другой:

dx/dt = A (1 +y n)– 1 – k x, dy/dt = A (1 +x n)– 1 – k y.

ВзависимостиотпараметровАиВиk системаможетиметь одно устойчивое стационарное состояние либо три (два устойчивых и одно неустойчивое). В последнем случае при заданном наборе параметров система способна функционировать в двух разных режимах. Модель используется для описания дифференциации клеток при эволюции организма.

Моделирование в социальных системах Пример 5. Математическая модель С. П. Капицы роста

населения Земли. Население мира в момент времени t характеризуется числом людей N (t). Скорость роста населения последовательно описывается тремя уравнениями (эпоха начальная А, эпоха средняя с переходом В, эпоха после перехода S)

198

А: dN/dt = N 2/C +1/τ; В: dN/dt = C/(t1 – t) 2; S: dN/dt = = C/[(t1 – t) 2 +τ2].

Решение для эпох В и S имеет вид

N (t) = (C/τ) arctg {(t1 – t)/τ}.

При C =186·109 год– 1; t1 = 2007 г. – время прохождения демографического перехода; τ = 42 г. – среднее время жизни одного поколения людей; K = (C/τ) 1/2 – естественный масштаб размера популяции, можно сделать следующие выводы.

1.Численность населения Земли проходит через мировой демографический переход от гиперболического роста в течение эпохи В и завершается режимом с обострением и переходом

кстабилизированному режиму эпохи С. Начало глобального

демографического перехода с 1965 г. (численность населения

3,5 млрд) на конец перехода t1+τ к 2049 г. Длительность перехода 2τ = 84 г. За это время население мира возрастет в три раза

и составит 10,5 млрд человек. Предельная численность челове-

чества по модели Nlim = πK2 = 14 млрд. Численность 90 % от предельной(12,5 млрд) следуетожидатьк2135 г. Внастоящеевремя (2006 г.) численность населения Земли составляет 6 миллиардов человек.

2.Происходит экспоненциальное изменение масштаба исторического времени по мере роста человечества. Минимум мгновенного времени экспоненциального роста численности

населения 58 лет соответствует времени t1 = 2007 г., времени удвоения t2 = 40 лет и среднегодовому росту 1,7 %. Это означает, что мы живем в эпоху самого маленького масштаба исторического времени, т.е. самого быстрого изменения времени, когда исторические события происходят за время жизни одного поколения.

199

Моделирование в экономических системах Пример 6. Модель М. Ю. Неймарка «Производители,

продукт, управление». Система, описывающаявзаимодействие производителей продуктa – x, сам продукт – z, управленцев – y. Модель содержит 15 параметров и три неизвестных: x, y, z.

dx/dt = (a – bx – ey + cx) z dy/dt = (– d – mx – ey + fz) y

dz/dt = F = g (1+ε1) (1+ε2)– 1μx (1+δz)– 1 – hx – ky, при z ≥ 0,

и F>0

dz/dt = 0 при z = 0 и F ≤ 0.

Анализ модели позволяет сделать следующие выводы.

1.Низкий уровень технологии: g <h, x = x*, y = z = 0, об-

щество одних производителей. Средний уровень технологии: h < g < h (1+δd/f), появляется накопление продукта z = z*. Высокий уровень технологии: g > h (1 + δd/f), появляются управленцы. Устойчивое равновесие x = x*, y = y*, z = z* может стать неустойчивым, возникают автоколебания.

2.Появление управленцев не зависит от их эффектив-

ности ε1/ε2, а зависит от достаточного количества продукта. Производители стремятся увеличить свою долю h в продук-

те и увеличить эффективность управленцев ε1/ε2. Управленцы стремятся увеличить эффективность производителей μ, совершенствовать технологию g, уменьшать долю производителей в производимом продукте и увеличивать свою долю k в нем.

6.2. Эволюционная экономика

Основные положения классической экономики. Синергетическая экономика. Эволюционная экономика.

200