Бережная_Матметоды моделирования эк cистем
.pdfИнтервал, |
3-4 |
4-5 |
5-6 |
6-7 |
7-8 |
8-9 |
9-10 |
10-11 |
Ах/ (ед.) |
|
|
|
|
|
|
|
|
Частота, /?/* |
0,03 |
0,10 |
0,15 |
0,19 |
0,24 |
0,12 |
0,11 |
0,06 |
1.7.По данным задачи 1.6 постройте статистическую функцию распределения часовой производительности рабочего.
1.8.Малое предприятие имеет 16 автомобилей, работающих не зависимо друг от друга.
Определите математическое ожидание, дисперсию, среднее ква дратическое отклонение числа отказов автомобилей, если вероят ность отказа любого из них равна р = 0,3.
1.9. Число проверок предприятия в течение года инспекцией является случайной величиной, имеющей распределение Пуассона.
Определите вероятность того, что на предприятии будет произве дена в течение календарного года одна или хотя бы одна проверка, если среднее число проверок на данном временном интервале а = А.
1.10. На предприятии работает 50 станков. Вероятность отказа каждого из них — 0,002. Число отказов станков — случайная вели чина, имеющая распределение Пуассона.
Определите вероятность безотказного функционирования всех элементов.
1.11.Поезда метрополитена следуют через 1,5 мин. Какова ве роятность того, что время ожидания поезда не превысит 1 мин?
1.12.Средняя часовая выручка магазина В = 100 д. е. Среднее квадратическое отклонение часовой выручки а^ = 25 д. е. Часовая выручка есть случайная величина, подчиненная нормальному зако ну распределения.
Определите вероятность получения в течение одного часа вы ручки в размере от 80 до 120 д. е.
1.13.Автобусы прибывают на остановку через 6 мин. Какова ве роятность того, что время ожидания автобуса не превысит 5 мин?
1.14.Объем продаж товара в течение месяца есть случайная ве личина, подчиненная нормальному закону распределения с пара метрами X = 500 и а;^. = 120 д. е.
Определите вероятность продажи товара в течение одного меся ца на сумму от 480 до 600 д. е.
1.15. На предприятии работает 50 специалистов, вероятность невыхода специалиста на работу по причине болезни равна 0,001. Число заболевших специалистов — случайная величина, имеющая распределение Пуассона.
Определите вероятность выхода на работу всех специалистов. 1.16. Постройте гистограмму часовой торговой выручки {X) ма
газина в течение календарного периода. Объем выборки составил
40
150 наблюдений. Вариационный ряд торговой выручки представ лен в следующей таблице (д. е.):
Интервал, 3-4 (ед.) Axi
Частота, р* 0,03
4-5 |
5-6 |
6-7 |
7-8 |
8-9 |
9-10 10-11 |
|
0,10 |
0,15 |
0,19 |
0,24 |
0,12 |
0,11 |
0,06 |
1.17.По данным задачи 1.16 постройте статистическую функ цию распределения часовой торговой выручки.
1.18.Пользуясь критерием % Пирсона, подберите теоретичес кий закон распределения для часовой производительности рабоче го, статистическое распределение которой приведено в задаче 1.6.
1.19.Пользуясь критерием х^ Пирсона, подберите теоретичес кий закон распределения для часовой торговой выручки, статисти ческое распределение которой приведено в задаче 1.16.
1.20.Предприятие имеет 5 станков по производству камня, ра ботающих независимо друг от друга. Вероятность отказа любого из них р = 0,25.
Определите параметры закона биномиального распределения случайной величины — число отказов станков.
1.21. Определите среднее квадратическое отклонение и диспер сию числа отказов автомобилей, если случайная величина X — число отказов автомобилей — задана следующей таблицей распре деления:
^ |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Pi^i) |
0,2 |
0,15 |
0,15 |
0,1 |
0,25 |
0,04 |
0,06 |
0,05 |
Глава 2
Моделирование экономических систем с использованием марковских случайных процессов
2 . 1 . Основные понятия марковских процессов
Функция X{t) называется случайной, если ее значение при лю бом аргументе / является случайной величиной.
Случайная функция X(t), аргументом которой является время, называется случайным процессом.
41
Марковские процессы являются частным видом случайных про цессов. Особое место марковских процессов среди других классов случайных процессов обусловлено следующими обстоятельствами: для марковских процессов хорошо разработан математический ап парат, позволяющий решать многие практические задачи; с помо щью марковских процессов можно описать (точно или приближен но) поведение достаточно сложных систем.
Определение. Случайный процесс, протекающий в ка кой-либо системе ^5*, называется марковским (или процессом без последействия), если он обладает следующим свойством: для любого момента времени /Q вероятность любого состояния системы в будущем (при / > t^ зависит,только от ее состояния в настоящем (при t — tQ)m не зависит от того, когда и каким об разом система S пришла в это состояние.
Классификация марковских процессов. Классификация марков ских случайных процессов производится в зависимости от непре рывности или дискретности множества значений функции X{t) и параметра t.
Различают следующие основные виды марковских случайных процессов:
•с дискретными состояниями и дискретным временем (цепь Маркова);
•с непрерывными состояниями и дискретным временем (мар ковские последовательности);
•с дискретными состояниями и непрерывным временем (не прерывная цепь Маркова);
•с непрерывным состоянием и непрерывным временем.
В данной работе будут рассматриваться только марковские про цессы с дискретными состояниями Sy, Si, ..., S^.
Г1)аф состояний. Марковские процессы с дискретными состоя ниями удобно иллюстрировать с помощью так называемого графа состояний (рис. 2.1), где кружками обозначены состояния 5i, ^^2, ... системы S, а стрелками — возможные переходы из состо яния в состояние. На графе отмечаются только непосредственные переходы, а не переходы через другие состояния. Возможные за держки в прежнем состоянии изображают «петлей», т. е. стрелкой, направленной из данного состояния в него же. Число состояний системы может быть как конечным, так и бесконечным (но счет ным). Пример графа состояний системы S представлен на рис.2.1.
42
Рис. 2.1. Граф состояний системы S
2.2. Марковские цепи
Марковский случайный процесс с дискретными состояниями и дискретным временем называют марковской цепью. Для такого про цесса моменты /j, t2, ..., когда система S может менять свое состо яние, рассматривают как последовательные шаги процесса, а в ка честве аргумента, от которого зависит процесс, выступает не время ty 2i номер шага 1,2,...,/:,... Случайный процесс в этом случае ха рактеризуется последовательностью состояний 5(0), S(l), S(2), ..., S(k), ..., где S(0) — начальное состояние системы (перед первым шагом); 5(1) - состояние системы после первого шага; S(k) - со стояние системы после к-го шага...
Событие {S(k) = Si}, состоящее в том, что сразу после к-то ша га система находится в состоянии 5Д/ = 1, 2, ...), является случай ным событием. Последовательность состояний 5(0), 5(1), ..., S(k),
... можно рассматривать как последовательность случайных собы тий. Такая случайная последовательность событий называется мар ковской цепью, если для каждого шага вероятность перехода из лю бого состояния 5/ в любое Sj не зависит от того, когда и как систе ма пришла в состояние 5/. Начальное-состояние 5(0) может быть заданным заранее или случайным.
Вероятностями состояний цепи Маркова называются вероятнос ти Pj(k) того, что после А:-го шага (и до (к + 1)-го) система 5 будет находиться в состоянии 5,(/ =1,2 , ..., п). Очевидно, для любого к
im)^i |
(2.1) |
1=1 |
|
Начальным распределением вероятностей марковской цепи назы вается распределение вероятностей состояний в начале процесса:
Л(0), />2(0), ..., Л(0), ..., Рп(01 |
(2.2) |
43
в частном случае, если начальное состояние системы S в точ ности известно 3(0) = Sj, то начальная вероятность РДО) = 1, а все остальные равны нулю.
Вероятностью перехода (переходной вероятностью) на к-м шаге из состояния 5/ в состояние Sj называется условная вероятность то го, что система S после к-го шага окажется в состоянии Sj при ус ловии, что непосредственно перед этим (после к — 1 шага) она на ходилась в состоянии 5/.
Поскольку система может пребывать в одном из п состояний, то для каждого момента времени / необходимо задать п вероятно стей перехода P^y, которые удобно представить в виде следующей
матрицы: |
|
|
|
Рп |
Р\п |
РЦ |
Рц |
Рщ |
Ы Рп |
Рп |
(2.3) |
|
fn\ Гп1
где Pij вероятность перехода за один шаг из состояния S^ в состояние Sj\ вероятность задержки системы в состоянии iS/.
Матрица (2.3) называется переходной или матрицей переходных вероятностей.
Если переходные вероятности не зависят от номера шага (от времени), а зависят только от того, из какого состояния в какое осуществляется переход, то соответствующая цепь Маркова назы вается однородной.
Переходные вероятности однородной марковской цепи Р^- об разуют квадратную матрицу размера п х п. Отметим некоторые ее особенности:
1.Каждая строка характеризует выбранное состояние системы,
аее элементы представляют собой вероятности всех возможных переходов за один шаг из выбранного (из /-го) состояния, в том числе и переход в самое себя.
2.Элементы столбцов показывают вероятности всех возмож ных переходов системы за один шаг в заданное (/-е) состояние (иначе говоря, строка характеризует вероятность перехода системы из состояния, столбец — в состояние).
3.Сумма вероятностей каждой строки равна единице, так как переходы образуют полную группу несовместных событий:
44
(2.4)
У=1
4. По главной диагонали матрицы переходных вероятностей стоят вероятности Рц того, что система не выйдет из состояния 5у, а останется в нем.
Если для однородной марковской цепи заданы начальное рас пределение вероятностей (2.2) и матрица переходных вероятностей
ЦР^Ц (2.3), то вероятности состояний системы P^ik) (/ = 1,л;у |
=1,л) |
|
определяются по рекуррентной формуле: |
|
|
Piik)^ S Pj{k-\)Pji, |
(/ = !,«; у = !,«). |
(2.5) |
у=1 |
|
|
Пример 2.1. Рассмотрим процесс функционирования систе мы автомобиля. Пусть автомобиль (система) в течение одной сме ны (суток) может находиться в одном из двух состояний: исправ ном (Sx) и неисправном (52). Граф состояний системы представлен на рис. 2.2.
= 0.2
Pii=0,8 as> Х50 22 = 0.1
P21 = 0,9
Рис. 2.2. Граф состояний автомобиля
В результате проведения массовых наблюдений за работой ав томобиля составлена следующая матрица вероятностей перехода:
|
|
0,8 |
0,2 |
(2.6) |
|
|
^ • 1 1 = |
|
|
|
|
0,9 0,1 |
|
|
где Pxi = 0,8 |
— |
вероятность того, что автомобиль останется в исправном |
||
Pi2 = 0,2 |
|
состоянии; |
|
«испра |
— вероятность перехода автомобиля из состояния |
||||
Рц = 0,9 |
— |
вен» в состояние «неисправен»; |
|
|
вероятность перехода автомобиля из состояния «неиспра |
||||
/^22 = 0,1 |
— |
вен» в состояние «исправен»; |
|
|
вероятность того, что автомобиль останется в состоянии |
||||
|
|
«неисправен». |
|
|
Вектор начальных вероятностей состояний автомобиля задан
Р(0) = о], т.е. Л(0) = 0 и Р2(0) = 1.
45
Требуется определить вероятности состояний автомобиля через трое суток.
Используя матрицу переходных вероятностей, определим веро ятности состояний Pi{k) после первого шага (после первых суток):
Pi(l) = PI(0)PH + Р2Ф)Р2х = О . 0,8 + 1 . 0,9 = 0,9; Р2(1) = Л(0)Л2 + ^2(0)^22 = о • 0,2 + 1 . 0,1 = 0,1.
Вероятности состояний после второго шага (после вторых су ток) таковы:
/>i(2) = Pi(l)/>H + ^2(1)^21 = 0,9 . 0,8 + 0,1 . 0,9 = 0,81; Р2(2) = Л(1)Л2 + ^2(1)^22 = 0,9 • 0,2 + 0,1 . 0,1 = 0,19.
Вероятности состояний после третьего шага (после третьих су ток) равны
Pi(3) = Л(2)Л1 + ^2(2)/'21 = 0,81 • 0,8 + 0,19 • 0,9 = 0,819; ^2(3) = Л(2)Л2 + ^2(2)/'22 = 0,81 . 0,2 + 0,19 • 0,1 = 0,181.
Таким образом, после третьих суток автомобиль будет нахо диться в исправном состоянии с вероятностью 0,819 и в состоянии «неисправен» с вероятностью 0,181.
Пример 2.2. В процессе эксплуатации ЭВМ может рассматри ваться как физическая система 5, которая в результате проверки может оказаться в одном из следующих состояний:
Si - ЭВМ полностью исправна;
5*2 - ЭВМ имеет неисправности в оперативной памяти, при ко торых она может решать задачи;
15*3 — ЭВМ имеет существенные неисправности и может решать ограниченный класс задач;
^4 — ЭВМ полностью вышла из строя.
В начальный момент времени ЭВМ полностью исправна (со стояние i^i). Проверка ЭВМ производится в фиксированные мо менты времени ti, ti, ty Процесс, протекающий в системе S, может рассматриваться как однородная марковская цепь с тремя шагами (первая, вторая, третья проверки ЭВМ). Матрица переходных веро ятностей имеет вид:
0,3 |
0,4 |
0,1 |
0,2 |
v> О |
О |
0,4 |
0,6 |
О |
0,2 |
0,5 |
0,3 |
О |
О |
О |
1,0 |
46
Определите вероятности состояний ЭВМ после трех проверок.
Решение
Граф состояний имеет вид, показанный на рис. 2.3. Против каж дой стрелки проставлена соответствующая вероятность перехода. Начальные вероятности состояний Р](0) = 1; Р2(0) = Р^ф) = Р^(0) = 0.
Рис. 2.3. Граф состояний ЭВМ
По формуле (2.5), учитывая в сумме вероятностей только те со стояния, из которых возможен непосредственный переход в данное состояние, находим:
Pi(l) = Pi(0)Pu = 1 • 0,3 = 0,3
P2(l) = Pi(0)Pi2 = 1 • 0,4 = 0,4
Pjd) = Р,(0)Лз = 1 • 0,1 = 0,1
P4(l) = Pi(0)Pi4 = 1 • 0,2 = 0,2
/',(2) = Pi(l)Pu = 0,3 • 0,3 = 0,09;
/'2(2) = ^1(1)^12 + P2(nPi2- 0,3 • 0,4 + 0,4 • 0,2 = 0,20; Рз(2) = Л(1)Лз + ^2(1)^23 + Л(1)^зз= 0.27;
/'4(2) = /'i(l)/',4 + P2(l)P24 + ^3(1)^34 + ^4(1)^44= 0.44;
Pl(3) = /'i(2)Pii = 0,09 • 0,3 = 0,027;
^2(3) = Pi(2)Pn + /'2(2)/'22= 0,09 • 0,4 + 0,20 • 0,2 = 0,076; /'з(З) = /',(2)P,3 + /'2(2)P23 + ^'з(2)Рзз= 0,217;
/^4(3) = ^(2)^4 + P2(2)P24 + ^(2)^^34 + ^(2)^44 = 0,680.
Итак, вероятности состояний ЭВМ после трех проверок следу ющие: ^1(3) = 0,027; ^2(3) = 0,076; />з(3) = 0,217; ^4(3) = 0,680.
47
2.3. Непрерывные цепи Маркова
Марковский случайный процесс с дискретными состояниями и непрерывным временем называется непрерывной цепью Маркова при условии, что переход системы из состояния в состояние происхо дит не в фиксированные, а в случайные моменты времени.
В экономике часто встречаются ситуации, которые указать за ранее невозможно. Например, любая деталь или агрегат автомоби ля могут выйти из строя в любой, непредсказуемый заранее мо мент времени. Для описания таких систем в отдельных случаях можно использовать математический аппарат непрерывной цепи Маркова.
Пусть система характеризуется п состояниями SQ, S^, SI, ..., S^, a переход из состояния в состояние может осуществляться в любой момент времени. Обозначим через РДО вероятность того, что в мо мент времени t система S будет находиться в состоянии 5/ (/ = 0,1,
..., п). Требуется определить для любого t вероятности состояний Ро(0, Л(0, ..., ^л(0. Очевидно, что
Для процесса с непрерывным временем вместо переходных ве роятностей Pij рассматриваются плотности вероятностей перехода Xip представляющие собой предел отношения вероятности перехо да системы за время А/ из состояния 5/ в состояние Sj к длине про межутка А/:
Xij(t)= lim |
\ ^ \ |
(2.7) |
|
•^ |
Аг->0 |
А/ |
|
где Pij{t\ At) — вероятность того, что система, пребывавшая в момент t в со стоянии 5/, за время At перейдет из него в состояние Sj (при этом всегда / ^у).
Если Л^y = const, то процесс называется однородным, если плот ность вероятности зависит от времени Ху = Л^y(/), то - неоднородным.
При рассмотрении непрерывных марковских процессов приня то представлять переходы системы S из состояния в состояние как происходящие под влиянием некоторых потоков событий'. Пото ком событий называется последовательность однородных событий,
'Вентцель Е. С, Овчаров Л. А. Прикладные задачи теории вероятностей.
-М.: Радио и связь, 1983.
48
следующих одно за другим через какие-то, вообще говоря, случай ные интервалы времени. Плотность вероятности перехода интер претируется как интенсивность Х^ соответствующих потоков собы тий. Если все эти потоки пуассоновские, то процесс, протекающий в системе S, будет марковским.
При изучении марковских случайных процессов с дискретны ми состояниями и непрерывным временем в фафе состояний над стрелками, ведущими из состояния Si в Sp проставляют соответст вующие интенсивности Я^y. Такой граф состояний называют разме ченным.
Пусть система S имеет конечное число состояний S^, ^ j , ..., S^. Случайный процесс, протекающий в этой системе, описывается вероятностями состояний P^{t), P\(t), ... Р^(0, где Р/(0 — вероят ность того, что система S в момент / находится в состоянии 5/. Для любого t
iPi(t)=h
Вероятности состояний РДО находят путем решения системы
дифференциальных уравнений (уравнений Колмогорова), имеющих вид
^=i^jiPj(t)-Pi(t)iXy, |
(2.8) |
|
dt |
y=i ' - |
y-i |
где / = 0,1, ..., n.
Величина Xj.Pi(t) называется потоком вероятности перехода из состояния 5/ в Sp причем интенсивность потоков Ху может зависеть от времени или быть постоянной.
Уравнения (2.8) составляют по размеченному фафу состояний системы, пользуясь следующим мнемоническим правилом:
производная вероятности каждого состояния равна сумме всех потоков вероятности, идущих из других состояний в данное состояние, минус сумма всех потоков вероятности, идущих из данного состояния в другие.
Чтобы решить систему дифференциальных уравнений (2.8), нужно задать начальное распределение вероятностей PQ(0), Pi(0),..., РДО), ..., P^iO). Для решения применяют численные методы.
Финальные вероятности состояний
Если процесс, протекающий в системе, длится достаточно дол го, то имеет смысл говорить о предельном поведении вероятностей Pj(t) при / —> оо. В некоторых случаях существуют финальные (пре дельные) вероятности состояний:
49