Задачи, представленные в общей симплекс-таблице (табл. 7,23), решаются обычным симплекс-методом, алгоритм которого приве ден выше.
Сформулируем признаки оптимальности двойственной пары задач:
• планы X— {xi, ^2, ..., Xf^) и f/= (wj, «2» •••» ^т) оптимальны, ес ли Z^^(X) = X^in(f/);
• решения Л'= (xj, Х2, ..., x„) и f/= (W|, W2, ..., w^;,) оптимальны, если все произведения сопряженных условий для этих решений равны 0.
Запишем следующие сопряженные условия: I группа:
(^1 - ^ 1 Л - ^12^2 - - ~ ^in^n) Щ = 0;
(^т - ^ml^l - ^m2^2 - - ^ ^тп^п) ^т = О-
II группа получается, если умножить naxi, Х2, ..., х„ выражения для базисных переменных двойственной задачи:
(«11^1 + «21^2 + ... + ат\^т " ^l) ^1 = 0; (^1л«1 + ^2/2«2 + ... + «m««m " О ^л = 0.
Пример 7.17. По исходной задаче построить двойственную и найти оптимальное решение обеих задач.
^тах ^ -3Xi + 5X2 + ^3 + ^4>
Ъхх + 8x2 + ^3 "^ ^4 - 50; 5xi — 4x2 — ^3 "^ .^4 ~ 14; Ху>0,у=Г74.
Согласно общему правилу составления двойственных задач за пишем:
3^1 + 5«2 ^ - 3 ; 8MI - 4«2 > 5;
Wj — «2 |
^ 1» |
«1 + «2 |
^ 1; |
^min = 50«1 + 14«2; Wj И «2 ^ 0.
Решим задачи в единой симплекс-таблице. Для этого предста вим их в виде, позволяющем применить симплекс-метод: