Бережная_Матметоды моделирования эк cистем

6. Определяют показатели качества функционирования СМО путем обработки результатов моделирования методами математиче­ ской статистики.

Методику решения задачи рассмотрим на примере моделирова­ ния СМО с отказами.

Пусть система имеет два однотипных канала, работающих с от­ казами, причем моменты времени окончания обслуживания на пер­ вом канале обозначим через t^, на втором канале - через /2/- Закон распределения интервала времени между смежными поступающи­ ми требованиями задан плотностью распределения fi(tj). Продол­ жительность обслуживания также является случайной величиной с плотностью распределения/2(/о).

Процедура решения задачи будет выглядеть следующим об­ разом:

1. Вырабатывают равномерно распределенное случайное чис­ ло ^,..

2.Равномерно распределенное случайное число преобразуют в величины с заданным законом распределения, используя формулы табл. 4.1. Определяют реализацию случайного интервала времени (A/j^^) между поступлениями требований в систему.

3.Вычисляют момент поступления заявки на обслуживание:

4.Сравнивают моменты окончания обслуживания предшеству­ ющих заявок на первом ^i(/_i) и втором /(2/-i) каналах.

5.Сравнивают момент поступления заявки ti с минимальным моментом окончания обслуживания (допустим, что /i(/_i) < ^2(/-i))' а) если [// — ^1(/_1)] < О, то заявка получает отказ и вырабатыва­

ют новый момент поступления заявки описанным способом;

б) если [ti - /i(/_i)] > О, то происходит обслуживание.

6.При выполнении условия 5 б) определяют время обслужива­ ния /-Й заявки на первом канале А/^/ путем преобразования случай­ ной величины ^/ в величину (время обслуживания /-й заявки) с за­ данным законом распределения.

7.Вычисляют момент окончания обслуживания /-й заявки на первом канале t^ = [^i(i-i) + A^i/]-

8.Устанавливают новый момент поступления заявки, и вычис­ лительная процедура повторяется в соответствии с изложенным.

9.В ходе моделирования СМО накапливаются статистические данные о процессе обслуживания.

10.Определяют показатели качества функционирования систе­ мы путем обработки накопленных результатов моделирования ме­ тодами математической статистики.

130

4.3. Моделирование потоков отказов элементов сложных технических систем

Под сложной технической системой будем понимать систему, состоящую из элементов (два и более). Отказ одного из элементов системы приводит к отказу системы в целом.

Рассмотрим последовательность замен некоторого определен­ ного элемента Z данного наименования. Эксплуатация каждого но­ вого элемента начинается с момента окончания срока службы предьщущего. Первый элемент отрабатывает время A^j, второй — А^2» третий - А/з и т. д.

Случайная ситуация, сложившаяся в к-м опыте (ситуации) для элемента Z, показана на рис. 4.3.

Рис. 4.3. Временная эпюра случайной ситуации при к-м опыте в случае мгновенного восстановления отказавшей системы путем замены элемента

На рис. 4.3 видно, что система начинает свою работу в момент времени / = О и, отработав случайное время A^i^, выходит из строя в момент tii^ = A^i^^.. В этот момент система мгновенно восстанавли­ вается' (элемент заменяется) и снова работает случайное время АГ2;^ По истечении некоторого времени система (элемент) вновь выхо­ дит из строя в момент tik = A^Dt + ^hk ~ hk "*" ^hk ^ вновь мгновен­ но восстанавливается.

Считают, что интервалы времени между отказами A/j^^, Mjb •••»

А/^^ представляют собой систему взаимно независимых случайных величин с плотностями распределения наработок между отказами ЛА^1),ЛА/2)ЛА/з), ...,ЛАд.

Моменты отказов или восстановлений образуют в каждом Л-м опыте (испытании) ряд чисел по следующему правилу:

' Здесь можно считать, что восстановление происходит мгновенно.

131

Числа /ц^, tiky ..., tpi^ образуют случайный поток, который назы­ вается процессом восстановления. Этот процесс является различным для различных элементов и продолжается до окончания срока служ­ бы системы. Изучением таких процессов занимается теория вос­ становления.

Из большого количества различных процессов восстановления для исследования надежности элементов технической системы (как перемонтируемых, так и ремонтируемых) используют три типа про­ цессов:

• простой, при котором все функции распределения наработок до первого и между последующими отказами /}(/) равны;

• общий, при котором вид функции распределения наработки до первого отказа элемента, установленного в системе заводомизготовителем, отличается от вида функций распределения нара­ боток элементов при последующих заменах, т. е. Fx(t) Ф F^(t),

/= 2, 3, 4, ...;

•сложный, при котором все функции распределения /)•(/) раз­ личны.

Основной характеристикой процесса восстановления является функция восстановления Q(t) и ее дифференциальная характерис­ тика — плотность восстановления со(0, определяемые по следую­ щим формулам:

mcf„(i) и F„{t) - соответственно плотность и функция распределения на­ работки до л-го отказа.

В случае независимости наработок между отказами функции распределения /),(/) наработок до л-го отказа находятся путем по­ следовательного применения правила свертки для суммы двух слу­ чайных величин:

132

о

Flit) = до.

Анализ и классификация методов расчета параметра и ведущей функции потока отказов приведены в книге авторов'. Следует от­ метить, что сложность получения аналитических выражений для Q(0 и со(/) по формулам (4.13), (4.14) состоит в том, что свертка (4.15) лишь для некоторых законов распределения вычисляется в конечном виде. Использование аналитических методов расчета плотности со(/) и функции восстановления Q.{f) ограничено из-за сложности математической формализации применяемых стратегий восстановления работоспособности технических систем и необхо­ димости учета множества факторов, влияющих на замену элемента в системе. В этих условиях наиболее эффективным методом расче­ та Q(/) и со(/) является метод Монте-Карло.

Расчет ведущей функции и параметра потока отказов этим ме­ тодом в случае простого, общего или сложного процессов произво­ дится в следующем порядке.

По известным законам распределения наработок элементов с использованием формул преобразования (табл.4.1) моделируются

где / — номер отказа, / = 1,/?;

к- номер реализации при моделировании, к = l,N;

р— максимальное число отказов элемента, получаемое в к-н реализа­ ции случайного процесса.

Затем полученные случайные величины наработок tj/^ фуппируются по интервалам времени.

Номера интервалов, в которые попадают моменты возникнове­ ния отказов /j^, t2/c, ..., tif^, ..., tp/^, определяются по формуле

* Бережной В. И., Бережная Е. В. Методы и модели управления матери альными потоками микрологистической системы автопредприятия. — Ставрополь: Интеллект-сервис, 1996.

133

Параметр и ведущая функция потока отказов в у-м интервале времени определяются по следующим формулам:

j=u=i

где Пу — число попаданий случайной наработки до /-го отказа tn^ в у-й ин­ тервал времени (/ = 1, Л) за Дереализации.

(4.21)

Методика расчета параметра со(/) и ведущей функции нестаци­ онарного потока отказов с использованием метода статистических испытаний подробно рассмотрена в книге авторов*.

Пример 4.7. Законы распределения наработок элемента сис­ темы до первого и второго отказов и соответствующие параметры этих законов приведены в табл. 4.2.

^Бережной В. И., Бережная Е. В. Методы и модели управления матери­ альными потоками микрологистической системы автопредприятия. — Ста­ врополь: Интеллект-сервис, 1996.

134

Определите номера временных интервалов, на которых про­ изойдут первый и второй отказы в ходе первого опыта (испытания) (А/ = 1 час).

Решение

1. Выберем равномерно распределенное случайное число. До­ пустим ^1 = 0,725.

2. Вычислим случайные значения наработок на отказ элемента, используя формулы табл. 4.1.

Гц = А/ц = ~ 6 . (In^i)^/^ = -45,8 • (In 0,725)^/^'"^ = 20,37 час; hi = ^11 + ^hu

A / 2 i = ~ l n ^ l = - ^ l n 0 , 7 2 5 = l,07 час;

hi = ^11 + ^h\ = 20*37 + 1,07 = 21,44 час.

3. Определим номер временного интервала, на котором про­

В ходе первой реализации элемент системы первый раз откажет на 21-м временном интервале, а второй отказ произойдет на 22-м временном интервале.

135

Задачи

4.1. Периодичность поступления заявок на обслуживание под­ чинена показательному закону распределения_^Средний интервал между поступлениями заявок в систему равен / = 2 час.

Определите последовательность значений продолжительности интервалов между поступлениями заявок. Число реализаций рав­ но 10.

4.2. Время обслуживания работника предприятия кассой бух­ галтерии является случайной величиной, распределенной в соот­ ветствии с законом Вейбула. Среднее время обслуживания / = 3 мин., среднее квадратическое отклонение равно а = 2 мин.

Требуется смоделировать случайную величину, отвечающую этим условиям. Число реализаций принять равным 10.

4.3. При обработке экспериментальных данных было установ­ лено, что время, расходуемое на станции технического обслужива­ ния автомобилей для замены двигателя, распределено по нормаль­ ному закону, параметры которого х = 2,8 час. на один двигатель и (5^ = 0,6 час.

Требуется смоделировать для отмеченных условий случайную величину — время X, расходуемое для замены двигателя. Число ре­ ализаций принять равным 5.

4.4. Время проверки приемки квартального отчета инспектором налоговой службы (О величина случайная, распределенная в соот­ ветствии с законом Вейбула. Среднее время проверки и приемки равно / = 20 мин. Коэффициент вариации величины / равен Vt = 0,52.

Требуется смоделировать для заданных условий случайные чис­ ла t (число реализаций принять равным 10).

4.5.Среднее число исправных станков в токарном цехе на за­ воде равно л: = 6. Среднее квадратическое отклонение а^ = 2,2.

Требуется смоделировать число исправных станков в цехе (чис­ ло реализаций равно 5) при условии, что случайная величина X имеет гамма-распределение.

4.6.Вероятность замены неисправной детали на новую при ре­ монте автомобиля в каждом испытании р = 0,63.

Смоделировать пять испытаний и определить последователь­ ность замены детали на новую или восстановленную.

4.7. При испытании могут иметь место зависимые и совмест­ ные три события: работает только первый кассир по выдаче зара­ ботной платы, работает только второй кассир, работают оба касси­ ра. При этом известно, что вероятность работы первого кассира равна 0,6; вероятность работы второго кассира равна 0,7; вероят­ ность работы двух кассиров равна 0,4.

136

Смоделировать возможность реализации двух событий: работает только первый кассир; работает только второй кассир в трех испы­ таниях.

4.8. Известны законы распределения наработок элемента сис­ темы до первого и второго отказов. Средние значения и средние квадратические отклонения наработок приведены в следующей таб­ лице:

Определите параметр и ведущую функцию потока отказов эле­ мента по интервалам времени (А/ = 10 час). Число реализаций N= 10.

4.9.Используя условия задачи 4.8, определите номер интервала,

вкоторый попадет максимальное количество отказов.

4.10.Система имеет два элемента. Средняя периодичность пер­ вого элемента / i = 60 час, второго элемента — t 2 = ^^ час Пери­ одичности отказа первого и второго элементов - случайные вели­ чины, подчиненные экспоненциальному закону распределения.

Определите параметр и функцию распределения потока отка­ зов системы по интервалам времени А/ = 8 час. Число реализаций N= 10.

4.11.Используя условия задачи 4.10, определите номера интер­ валов, в которые попадут максимальные количества отказов перво­ го, второго элементов и в целом всей системы.

4.12.Пусть при испытании могут иметь место зависимые и сов­ местные события АиВ. Известно, что вероятности появления со­ бытий равны Р(А) = 0,6; P{D) ~ 0,3, а также вероятность совмест­

ного появления событий А и D: P(AD) = 0,4.

Смоделируйте появление событий АиЪв пяти испытаниях. 4.13. Периодичность проверки предприятий налоговой инспек­

ции — величина случайная (А/), подчиняющаяся закону гамма-рас­ пределения. Средний интервал проверки А^ = 2,5 мес Коэффици­ ент вариации величины А^ равен К= 0,38.

Требуется смоделировать для заданных условий возможные мо­ менты проверок предприятия налоговой инспекцией (число реали­ заций принять равным 10).

4.14. Используя условия задачи 4.13, определите количество про­ верок налоговой инспекцией за первый год работы предприятия.

137

4.15. Среднее число работающих машин на заводе х = 25. Ко­ эффициент вариации числа работающих F= 0,6.

Требуется смоделировать число работающих машин на заводе (число реализаций равно 10). Случайная величина А" имеет распре­ деление Вейбула.

4.16. После каждой проверки предприятия налоговой инспек­ цией вероятность появления необходимости аудиторской проверки данного предприятия Р = 0,72.

Смоделируйте шесть испытаний.

Определите последовательность проведения различных прове­ рок предприятия.

Глава 5 Методы и модели

корреляционно-регрессионного анализа

5.1. Общие сведения

Большинство явлений и процессов в экономике находятся в по­ стоянной взаимной и всеохватывающей объективной связи. Иссле­ дование зависимостей и взаимосвязей между объективно существу­ ющими явлениями и процессами ифает большую роль в экономике. Оно дает возможность глубже понять сложный механизм причинноследственных отношений между явлениями. Для исследования ин­ тенсивности, вида и формы зависимостей широко применяется кор- реляционно-рефессионный анализ, который является ме-тодичес- ким инструментарием при решении задач прогнозирования, плани­ рования и анализа хозяйственной деятельности предприятий.

Различают два вида зависимостей между экономическими яв­ лениями и процессами:

•функциональную;

•стохастическую (вероятностную, статистическую).

В случае функциональной зависимости имеется однозначное отображение множества А на множество В. Множество А называют областью определения функции, а множество В - множеством зна­ чений функции.

Функциональная зависимость встречается редко. В большинст­ ве случаев функция {Y) или аргумент (Л) — случайные величины. X и Y подвержены действию различных случайных факторов, среди которых могут быть факторы, общие для двух случайных величин.

Если на случайную величину Л" действуют факторы Zi, Z2, ..., Kj, К2, а на У— ZQ, Z2, F^, К3 ..., то наличие двух общих факторов

138

Zi и Kj позволит говорить о вероятностной или статистической за­ висимости между Хи Y,

Определение. Статистической называется зависимость между случайными величинами, при которой изменение одной из величин влечет за собой изменение закона распределения другой величины.

В частном случае статистическая зависимость проявляется в том, что при изменении одной из величин изменяется математиче­ ское ожидание другой. В этом случае говорят о корреляции или корреляционной зависимости.

Статистическая зависимость проявляется только в массовом процессе, при большом числе единиц совокупности.

При стохастической закономерности для заданных значений зависимой переменной можно указать ряд значений объясняющей переменной, случайно рассеянных в интервале. Каждому фиксиро­ ванному значению аргумента соответствует определенное статисти­ ческое распределение значений функции. Это обусловливается тем, что зависимая переменная, кроме выделенной переменной, под­ вержена влиянию ряда неконтролируемых или неучтенных факто­ ров. Поскольку значения зависимой переменной подвержены слу­ чайному разбросу, они не могут быть предсказаны с достаточной точностью, а только указаны с определенной вероятностью.

В экономике приходится иметь дело со многими явлениями, имеющими вероятностный характер. Например, к числу случайных величин можно отнести стоимость продукции, доходы предприя­ тия, межремонтный пробег автомобилей, время ремонта оборудо­ вания и т. д.

Односторонняя вероятностная зависимость между случайными величинами есть регрессия. Она устанавливает соответствие между этими величинами.

Односторонняя стохастическая зависимость выражается с по­ мощью функции, которая называется регрессией.

Виды регрессий.

1.Регрессия относительно числа переменных:

•простая регрессия — регрессия между двумя переменными;

•множественная регрессия — регрессия между зависимой пере­ менной у и несколькими объясняющими переменными х^, Xi, ..., Xff^, Множественная линейная регрессия имеет следующий вид:

139