Бережная_Матметоды моделирования эк cистем
.pdf4, Вероятность отказа в обслуживании заявки ^отк = ^3 = 0,180.
5. Относительная пропускная способность ВЦ
^ = 1 ~ Ротк = 1 - 0Л80 = 0,820.
6. Абсолютная пропускная способность ВЦ A = Xq=-l- 0,820 = 0,820.
7, Среднее число занятых каналов - ПЭВМ к ^р(1- Р^к) = Ь8 . (1 - 0,180) = 1,476.
Таким образом, при установившемся режиме работы СМО в среднем будет занято 1,5 компьютера из трех — остальные полтора будут простаивать. Работу рассмотренного ВЦ вряд ли можно счи тать удовлетворительной, так как центр не обслуживает заявки в среднем в 18% случаев (Р^ = 0,180). Очевидно, что пропускную способность ВЦ при данных Яиц можно увеличить только за счет увеличения числа ПЭВМ.
Определим, сколько нужно использовать ПЭВМ, чтобы сокра тить число необслуженных заявок, поступающих на ВЦ, в 10 раз, т.е. чтобы вероятность отказа в решении задач не превосходила 0,0180. Для этого используем формулу (3.28):
Составим следующую таблицу:
п |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
•6 |
|
Ро |
0,357 |
0,226 |
0,186 |
0,172 |
0,167 |
0,166 |
j |
р |
0,643 |
0,367 |
0,18 |
0,075 |
0,026 |
0,0078 |
|
'* ОТК |
|
|
|
|
|
|
|
Анализируя данные таблицы, следует отметить, что расширение числа каналов ВЦ при данных значениях Л и ц до 6 единиц ПЭВМ позволит обеспечить удовлетворение заявок на решение задач на 99,22%, так как при л = 6 вероятность отказа в обслуживании (Рсггк) составляет 0,0078.
100
Многоканальная система массового обслуживания с ожиданием.
Процесс массового обслуживания с ожиданием характеризуется следующим: входной и выходной потоки являются пуассоновскими с интенсивностями Я и ц соответственно; параллельно могут обслуживаться не более С клиентов. Система имеет С каналов об служивания. Средняя продолжительность обслуживания одного клиента равна 1/ц.
В установившемся режиме функционирование многоканальной СМО с ожиданием и неограниченной очередью может быть описа
но с помощью системы алгебраических уравнений: |
|
||
О = Я P^^i - |
(Я + /1 . ц) Р„ + (га + 1) ц P^^i |
|
|
при 1 < л < С; |
|
(3.32) |
|
О = Я P^^i - |
(Я + С . ц) Р^ + С ц />^+1 |
|
|
при я > с. |
|
|
|
Решение системы уравнений (3.32) имеет вид: |
|
||
|
р |
при 0<л<С, |
(3.33) |
|
|
||
П |
асИ - /г^о, |
при п>С, |
(3.34) |
|
|
||
где |
|
-1 |
|
|
|
|
|
Рп = |
|
(3.35) |
|
|
/1=0 п\ |
С! 1- |
|
|
|
|
Решение будет действительным, если выполняется следующее
условие: \кСЯ <1.
Вероятностные характеристики функционирования в стацио нарном режиме многоканальной СМО с ожиданием и неограниченной очередью определяются по следующим формулам:
вероятность того, что в системе находится п клиентов на обслу живании, определяется по формулам (3.33) и (3.34);
среднее число клиентов в очереди на обслуживание
С-9 1 |
(3.36) |
|
^я =.(C-p)2jРс; |
||
|
101
среднее число находящихся в системе клиентов (заявок на об служивание и в очереди)
1^ = L^ + р; |
(3.37) |
средняя продолжительность пребывания клиента (заявки на об |
|
служивание) в очереди |
|
W.^b., |
(3.38) |
средняя продолжительность пребывания клиента в системе |
|
^S=^g+rr |
(3.39) |
Рассмотрим примеры многоканальной системы массового об служивания с ожиданием.
Пример 3.5. Механическая мастерская завода с тремя поста ми (каналами) выполняет ремонт малой механизации. Поток неис правных механизмов, прибывающих в мастерскую, — пуассоновский и имеет интенсивность Л = 2,5 механизма в сутки, среднее время ремонта одного механизма распределено по показательному закону и равно t = 0,5 сут. Предположим, что другой мастерской на заводе нет, и, значит, очередь механизмов перед мастерской мо жет расти практически неограниченно.
Требуется вычислить следующие предельные значения вероят ностных характеристик системы:
вероятности состояний системы; среднее число заявок в очереди на обслуживание;
среднее число находящихся в системе заявок; среднюю продолжительность пребывания заявки в очереди;
среднюю продолжительность пребывания заявки в системе.
Решение
1.Определим параметр потока обслуживании
ц= 4 = 1/0,5 = 2.
2.Приведенная интенсивность потока заявок
р = Х ^ = 2,5/2,0 = 1,25, при этом 'k/\i • с = 2,5/2 • 3 = 0,41.
102
Поскольку Х/\\. • с <, то очередь не растет безгранично и в сис теме наступает предельный стационарный режим работы.
3. Вычислим вероятности состояний системы:
1-1
Рп = |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
«=0"! |
С! |
|
|
|
|
|
|
|
, Р' |
Р' |
|
Р' |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
1! |
2! |
3! |
1-? |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
Т = 0,279; |
2 |
|
3 |
, ,^^ 1,25^ |
1,25^ |
|
|
' |
6.(i-f) |
|
||||
1 + 1,25+-^-'^г—+6.(l-^'2^ |
||||||
|
|
Pi =^Ро =1.25-0,279 = 0,349; |
|
|
||
|
|
о^ |
1 25^ |
|
|
|
|
|
^з=1Г^0 = ^ - 0 , 2 7 9 = 0,091; |
|
|
||
|
|
о'* |
1 гз'' |
|
|
|
4. Вероятность отсутствия очереди у мастерской
= 0,279 + 0,349 + 0,218 + 0,091 = 0,937.
5, Среднее число заявок в очереди на обслуживание
Ср |
3-1,25 |
0,091 = 0,111. |
|
Ч =(С-р)^ |
(3-1,25)2 |
||
|
103
6.среднее число находящихся в системе заявок
1^ = L^ + р = 0,111 + 1,25 = 1,361.
7.Средняя продолжительность пребывания механизма в очере ди на обслуживание
И^ - --1 = M i l =: 0,044 суток. ^ л 2,5
8. Средняя продолжительность пребывания механизма в мас терской (в системе)
}Vs=JV^-^- = 0,044 + - = 0,544 суток. |
|
^ ц |
2 |
Модель обслуживания машинного парка
Модель обслуживания машинного парка представляет собой
модель замкнутой системы массового обслуживания.
До сих пор мы рассматривали только такие системы массового обслуживания, для которых интенсивность X входящего потока за явок не зависит от состояния системы. В этом случае источник за явок является внешним по отношению к СМО и генерирует нео граниченный поток требований. Рассмотрим системы массового обслуживания, для которых X зависит от состояния системы, при чем источник требований является внутренним и генерирует огра ниченный поток заявок.
Например, обслуживается машинный парк, состоящий из N машин, бригадой R механиков {N> К), причем каждая машина мо жет обслуживаться только одним механиком. Здесь машины явля ются источниками требований (заявок на обслуживание), а меха ники — обслуживающими каналами. Неисправная машина после обслуживания используется по своему прямому назначению и ста новится потенциальным источником возникновения требований на обслуживание. Очевидно, что интенсивность X зависит от того, сколько машин в данный момент находится в эксплуатации {N — к) и сколько машин обслуживается или стоит в очереди, ожи дая обслуживания (к).
В рассматриваемой модели емкость источника требований сле дует считать ограниченной. Входящий поток требований исходит из ограниченного числа эксплуатируемых машин (N - к), которые в случайные моменты времени выходят из строя и требуют обслу живания. При этом каждая машина из (Л'^ — к) находится в эксплу атации. Генерирует пуассоновский поток требований с интенсив-
104
ностью X независимо от других объектов; общий (суммарный) вхо дящий поток имеет интенсивность {N — к) . X. Требование, посту пившее в систему в момент, когда свободен хотя бы один канал, немедленно идет на обслуживание. Если требование застает все ка налы занятыми обслуживанием других требований, то оно не по кидает систему, а становится в очередь и ждет, пока один из кана лов не станет свободным.
Таким образом, в замкнутой системе массового обслуживания входящий поток требований формируется из выходящего.
Состояние Sj^ системы характеризуется общим числом требова ний, находящихся на обслуживании и в очереди, равным к. Для рассматриваемой замкнутой системы, очевидно, А: = О, 1,2, ..., N, При этом, если система находится в состоянии 5^, то число объек тов, находящихся в эксплуатации, равно (N - к).
Если X — интенсивность потока требований в расчете на одну машину, то
(N-k)'X 0<k<N,
Оk>N,
к^х, |
0<k<R, |
М^ = R'li |
R<k<N, |
Оk>N.
Система алгебраических уравнений, описывающих работу за мкнутой СМО в стационарном режиме, выглядит следующим об разом:
0 = -pNPo+Pi; |
|
|
||
0=:(N-k |
+ l)pPi,_i-[(N-k)p-hk]Pf,+(k + l)Pj,^l |
0<k<R, |
(3.40) |
|
0=^(N-k |
+ l)pPf,_i-[(N-k)'p-^R]Pl,+RP,,+l |
R<k<N, |
||
|
0 = 9PN-I-RPN'
Решая данную систему, находим вероятность к-то состояния:
т-р" |
:Рп |
l<k<R, |
Л = kHN-ky. |
|
(3.41) |
Rl'R^~^'(N-k)l •Рп |
R<k<N, |
105
N
Величина PQ определяется из условия нормирования Е Д = 1
А:=0
полученных результатов по формулам (3.41) для J\, к = 1, 2, ..., N.
Определим следующие вероятностные характеристики системы:
среднее число требований в очереди на обслуживание
N |
(3.42) |
Lg= 1 {k-R)Pj,\ |
|
k=R |
|
Среднее число требований, находящихся в системе (на обслу |
|
живании и в очереди) |
|
Ls^^kPj,] |
(3.43) |
среднее число механиков (каналов), простаивающих из-за от |
|
сутствия работы |
|
Rn=i(R-k)Pk\ |
(3.44) |
А:=0 |
|
коэффициент простоя обслуживаемого объекта (машины) в |
|
очереди |
|
а , = ^ ; |
(3.45) |
коэффициент использования объектов (машин) |
|
а2 = 1 - |
(3.46) |
коэффициент простоя обслуживающих каналов (механиков)
среднее время ожидания обслуживания (время ожидания об служивания в очереди)
W'[lz2±yi, (3.48)
106
Пример 3.6. Пусть для обслуживания десяти персональных компьютеров (ПК) выделено два инженера одинаковой производи тельности. Поток отказов (неисправностей) одного компьютера ~ пуассоновский с интенсивностью X = 0,2. Время обслуживания ПК подчиняется показательному закону. Среднее время обслуживания одного ПК одним инженером составляет: t =1,25 час.
Возможны следующие варианты организации обслуживания ПК:
•оба инженера обслуживают все десять компьютеров, так что при отказе ПК его обслуживает один из свободных инженеров, в этом случае Л = 2,7V = 10;
•каждый из двух инженеров обслуживает по пять закреплен ных за ним ПК. В этом случае Л = 1, 7V = 5.
Необходимо выбрать наилучший вариант организации обслу живания ПК.
Решение
1.Вычислим параметр обслуживания
2.Приведенная интенсивность
^ |
0.2 |
„ ^ . |
Р = - = -Г7Г = 0,25. |
||
^ ц |
0,8 |
|
3. Вычислим вероятностные характеристики СМО для двух ва риантов организации обслуживания ПК.
Вариант 1
• Определим вероятности состояний системы:
Л = ЩЫ-ку.
Nl-o''
RlR''-^(N-ky.
_ 10!0,25' _ - . _
107
2!-22-2.(10-2)! Ю'О 25^
2!-2''-2-(10-4)! |
|
2!-2^-2-(10-5)! |
|
2!-2^-2-(10-6)! |
|
2!-2^-2(10-7)! |
|
2'-2^~2-(10-8)! |
|
2!-2'-2(10-9)! |
|
№0Д5'».Р, |
. „ „ „ |
2!Г"~2-(10-10)! |
|
• Учитывая, что Z Д =1> и используя результаты расчета Pf^,
вычислим PQ.
N
S Р^= 7^0+2,5-^0+2,812.Ро+2,8ЬРо+...+0,007.^0=1.
А:=0
Откуда PQ = 0,065, тогда
Р, = 0,162; Рз = 0,183; Р^ - 0,182; Р4 == 0,160; Ps - 0,11; Рб = 0,075; Ру = 0,037; Pg « 0,014; Р9 = 0,003; Рю == 0,000.
108
Определим среднее число компьютеров в очереди на обслу живание:
= О + (3 |
~ 2) . 0,182 + (4 -- 2) • 0,160 + (5 ~ 2) |
• 0,11 -f (6 - 2) • |
• 0,075 |
+ (7 - 2) • 0,037 + (8 -2) • 0,014 + (9 |
- 2) • 0,003 = |
= 0,182 + 0,32 + 0,33 + 0,3 + 0,185 + 0,084 + 0,021 == 1,42.
Определим среднее число ПК, находящихся в системе (на об служивании и в очереди):
N
= Ь Pj + 2 • ^2 + 3 • Рз + 4 • ^4 + 5 • ^5 + 6 • Рб + 7 • ^7 +
+8 • Pg + 9 • ^9 + 10 • Ло =
=0,162 + 2 . 0,183 + 3 • 0,182 + 4 • 0,16 + 5 . 0,11 +
-ь 6 • 0,075 + 7 • 0,037 + 8 • 0,014 + 9 • 0,003 + Ю • О = 3,11.
Определим среднее число инженеров, простаивающих из-за от сутствия работы:
Л„= 5 : ( Л ~ А : ) Р А : = ( 2 ~ 0 ) Р О + ( 2 ~ 1 ) / ! = 2 0 , 0 6 5 + 10,162 = 0,292.
Коэффициент простоя персонального компьютера в очереди следующий:
Lq 1,42 ^^,^
Коэффициент использования компьютеров определяется по формуле
—[^)-[^]= 0,689.
Коэффициент простоя обслуживающих инженеров рассчитыва ется так:
R„ 0,292 . , . , а з = - ^ = —2—= 0,146.
109