вующих заводов-изготовителей были определены локальные крите рии функционирования необходимого оборудования. Исходные данные представлены в следующей таблице:
Варианты |
Локальные критерии эффективности оборудования* |
производи |
стоимость |
объем |
|
оборудования |
надежность, |
|
тельность, |
оборудования, |
памяти, |
у е. |
|
д. е. |
д. е. |
у е. |
|
|
I |
100 |
5 |
5 |
8 |
II |
150 |
6 |
8 |
5 |
III |
120 |
4 |
6,5 |
6 |
Г/ |
200 |
7 |
6 |
4 |
Коэффици |
|
|
|
|
енты веса |
0,25 |
0,20 |
0,32 |
0,23 |
*Значения локальных критериев даны в условных единицах.
9.3.Для шести проектов транспортных устройств определены относительные единичные показатели технического совершенства конструкций. Численные значения единичных показателей и соот ветствующие весовые коэффициенты приведены в следующей таб лице:
|
Варианты |
|
Относительные единичные показатели |
|
|
транспорт |
скорос |
прочно |
пере |
устойчи |
мета?1ло- |
мощно |
|
ных |
ти, |
сти. |
грузки. |
вости. |
емкости. |
сти. |
1 |
устройств |
Кх |
Кг |
Кг |
к. |
Кь |
к. |
I |
1,0 |
0,798 |
0,92 |
1,0 |
1,0 |
0,77 |
|
II |
1,0 |
1,0 |
0,65 |
0,92 |
0,94 |
0,92 |
|
III |
1,0 |
0,93 |
0,924 |
1,0 |
0,98 |
0,95 |
|
IV |
0,87 |
0,96 |
0,91 |
0,915 |
0,99 |
0,85 |
|
V |
0,85 |
0,97 |
1,0 |
0,90 |
0,7 |
0,82 |
|
VI |
0,88 |
0,78 |
0,75 |
0,967 |
0,8 |
1,0 |
|
Коэффици |
|
|
|
|
|
|
|
енты веса |
0,210 |
0,195 |
0,174 |
0,157 |
0,124 |
0,140 |
Проведите ранжировку проектов технических систем по ком плексному критерию.
9.4. Абсолютные показатели качества двигателей различных ва риантов приведены в следующей таблице:
|
Варианты |
|
Показатели качества |
|
|
мощность, |
крутящий |
масса, |
|
двигателей |
1 |
1 |
л. с. |
момент, кгс • м |
кг |
180 |
67 |
850 |
|
2 |
176 |
70 |
1000 |
|
3 |
176 |
68 |
860 |
|
4 |
181 |
67 |
820 |
|
5 |
177 |
68 |
860 |
|
6 |
180 |
66 |
800 |
|
7 |
175 |
69 |
900 |
|
8 |
176 |
67 |
850 |
|
9 |
180 |
68,2 |
880 |
|
10 |
179 |
38,5 |
870 |
1 Коэффициенты веса |
0,4 |
0,24 |
0,36 |
Найдите оптимальный вариант двигателя.
9.5. Показатели эффективности работы предприятий приведе ны в следующей таблице:
|
|
Показатели эффективности работы предприятий |
|
№ |
i |
себестои |
|
|
произво |
|
пред |
|
фондо |
|
прибыль, |
мость |
доходы, |
|
приятия |
дитель |
|
единицы |
отдача, |
|
|
д. е. |
д. е. |
ность, |
|
|
продукции, |
у е. |
|
|
|
|
у е. |
|
|
|
д. е. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
I |
30,0 |
40,0 |
20,0 |
0,2 |
300 |
|
II |
25,0 |
20,0 |
30,0 |
0,3 |
200 |
|
III |
40,0 |
45,0 |
54,0 |
0,1 |
250 |
|
IY |
28,0 |
30,0 |
35,0 |
0,4 |
160 |
|
V |
15,0 |
12,0 |
20,0 |
0,25 |
280 |
|
VI |
50,0 |
30,0 |
40,0 |
0,21 |
120 |
|
Весовые |
|
|
|
|
|
|
коэффи |
|
|
|
|
|
|
циенты |
0,32 |
0,23 |
0,15 |
0,20 |
0,10 |
Выберите наиболее эффективно работающее предприятие. 9.6. Рассмотрим следующую платежную матрицу (матрицу до
ходов):
|
"^1 |
^2 |
"^3 |
54 |
•^^5 |
•^б |
л, |
15 |
12 |
1 |
- 3 |
18 |
20 |
R, |
2 |
15 |
9 |
7 |
1 |
3 |
Л, |
0 |
6 |
15 |
21 |
- 2 |
5 |
/?4 |
8 |
20 |
12 |
3 |
0 |
4 |
Вероятности состояний природы {.5^} неизвестны. Определите оптимальную стратегию /?/, используя критерии Лапласа и максимина. Сравните полученные решения.
9.7.Сравните решения в задаче 9.6 при использовании крите риев Сэвиджа и Гурвица (положите а = 0,4).
9.8.Один из пяти станков должен быть выбран для изготовле ния партии изделий, размер которой Q может принимать три зна чения: 150; 200; 350. Производственные затраты Q для / станка за даются следующей формулой
|
|
|
Q = Pi + а. |
е. |
|
|
|
Данные Р/ и с,- приведены ниже в таблице: |
|
|
|
Показатели |
|
Модель станка |
|
|
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
|
|
|
PI |
30 |
80 |
50 |
160 |
100 |
|
|
14 |
6 |
10 |
5 |
4 |
Решите задачу для каждого из следующих критериев Лапласа, Вальда, Сэвиджа и Гурвица (положите а = 0,6). Полученные реше ния сравните.
9.9. При выборе стратегии Rj (/ = 1,3) каждому возможному состоянию природы S,{i =1,4) соответствует один результат (исход) Vjiij = 1,3; / = 1,4). Элементы Vji, являющиеся мерой потерь при принятии решения, приведены ниже в таблице (д. е.):
Стратегии |
|
Состояние природы |
|
|
|
|
S, |
|
^1 |
^2 |
^3 |
|
2 |
6 |
5 |
8 |
Ri |
3 |
9 |
1 |
4 |
|
5 |
1 |
6 |
2 |
Выберите оптимальное решение в соответствии с критериями Лапласа, Вальда, Сэвиджа и Гурвица (при а = 0,5).
9.10. Намечается крупномасштабное производство легковых ав
томобилей. Имеются четыре варианта проекта |
автомобиля |
Rjij = 1,4). Определена экономическая эффективность |
К- каждого |
проекта в зависимости от рентабельности производства. По истече нии трех сроков Si(i =1,3) рассматриваются как некоторые состо яния среды (природы). Значения экономической эффективности для различных проектов и состояний природы приведены в следу ющей таблице (д. е.):
Проекты |
|
Состояние природы |
|
|
|
|
|
|
|
^1 |
^2 |
^3 |
|
^1 |
20 |
25 |
15 |
|
|
25 |
24 |
10 |
|
|
15 |
28 |
12 |
1 |
RA |
9 |
30 |
20 |
Требуется выбрать лучший проект легкового автомобиля для производства, используя критерии Лапласа, Вальда, Сэвиджа и Гур вица при а = 0,1. Сравните решения и сделайте выводы.
9.11. Определите тип электростанции, которую необходимо по строить для удовлетворения энергетических потребностей комплек са крупных промышленных предприятий. Множество возможных стратегий в задаче включает следующие параметры:
Ri — сооружается гидростанция; J?2 — сооружается теплостанция; i?3 — сооружается атомная станция.
Экономическая эффективность сооружения электростанции за висит от влияния случайных факторов, образующих множество со стояний природы S^iJ =1,5).
Результаты расчета экономической эффективности приведены в следующей таблице:
Тип |
|
|
Состояние природы |
|
|
станции |
^1 |
^2 |
^3 |
^4 |
Ss |
|
^1 |
40 |
70 |
30 |
25 |
45 |
^2 |
60 |
50 |
45 |
20 |
30 |
^3 |
50 |
30 |
40 |
35 |
60 |
9.12. Фирма рассматривает вопрос о строительстве станции тех нического обслуживания (СТО) автомобилей. Составлена смета расходов на строительство станции с различным количеством об служиваемых автомобилей, а также рассчитан ожидаемый доход в зависимости от удовлетворения прогнозируемого спроса на предла гаемые услуги СТО (прогнозируемое количество обслуженных ав томобилей в действительности). В зависимости от принятого реше ния ~ проектного количества обслуживаемых автомобилей в сутки (проект СТО) Rj и величины прогнозируемого спроса на услуги СТО - построена нижеследующая таблица ежегодных финансовых результатов (доход, д. е.):
Проекты |
Прогнозируемая величина удовлетворяемости спроса |
|
|
|
|
|
|
СТО |
0 |
10 |
20 |
30 |
40 |
50 |
20 |
-120 |
60 |
240 |
250 |
250 |
250 |
30 |
-160 |
15 |
190 |
380 |
390 |
390 |
40 |
-210 |
-30 |
150 |
330 |
500 |
500 |
50 |
-270 |
-80 |
100 |
280 |
470 |
680 |
Определите наилучший проект СТО с использованием критери ев Лапласа, Вальда, Сэвиджа и Гурвица (при а = 0,5).
9.13. Найдите седловую точку и значение игры для каждой из двух следующих иф. Платежные матрицы имеют вид:
|
Г8 |
6 |
2 |
8^ |
|
(4, |
- 5 |
- 4 |
6^ |
|
|
-5 |
- 6 |
- 7 |
-1 |
|
А=Ы\ = 8 |
9 |
4 |
5 |
В=Ш, |
|
5 |
10 |
- 3 |
- 5 |
|
7 |
5 |
3 |
5 |
|
|
|
7 |
2 |
-10 |
6 |
|
|
|
|
|
|
9.14.Определите области значений х, для которых стратегии А2
и^2 будут оптимальными в следующих ифах:
fl |
4 6^ |
Г2 |
4 |
5^ |
А = 5 |
x 9 ; 5 = 10 X 6 |
7 |
3 |
4 |
4 |
8 |
3 |
|
|
|
V |
|
|
9.15. Определите, будут ли значения следующих игр больше, меньще или равны нулю:
9.24. |
(2 |
-1 |
ъЛ |
9.25. |
(\ |
-1 |
3 ^ |
|
А = 1 |
2 |
- 2 |
|
5 |
2 |
- 4 |
|
|
О |
3 |
5 |
|
3 |
4 |
О |
, |
9.26, |
(2 |
6 |
Л |
5\ |
9.27. |
(2 |
4 |
1 |
51 |
|
/J = 5 3 6 2 |
|
А = 1 -1 3 2 |
|
ч7 2 1 3у |
|
5 |
2 |
- 4 0^ |
9.28. |
(2 |
1 |
3 |
О"! |
9.29. |
Г2 |
3 |
-1 |
4 "i |
|
2 |
4 |
-1 |
5 |
|
^4=|з |
2 |
4 |
1 |
|
5 7 - 4 3 |
|
4 - 1 0 - 2 |
9.30. |
^3 |
4 |
2 |
П |
|
|
|
|
|
|
А = 5 |
2 |
0 |
3 |
|
|
|
|
|
|
0 |
3 |
5 |
4^ |
|
|
|
|
|
Глава 10
Нелинейное программирование
10.1. Геометрическая интерпретация задач нелинейного программирования
Если целевая функция или система ограничений (или и та и другая) содержит выражения, не линейные относительно искомых величин, то имеем задачу нелинейного профаммирования.
Общая формулировка задачи имеет вид:
•^max.min |
F^b ^2> •••' ^л) |
(10.1) |
при ограничениях
/•(xi, x-i, ..., х„) > О, Xj > О, / = 1, /я,у = 1, п.
Если все неравенства преобразовать в уравнения, то получим классическую задачу на условный экстремум, которая может быть решена методом множителей Лагранжа. Практически системы по лучаются трудно разрешимыми, поэтому ограничения преобразуют в неравенства, и задачу решают методами математического про граммирования. Существующие методы позволяют решать узкий класс задач.
С помощью большинства вычислительных методов можно най ти точку локального оптимума, но нельзя установить, является ли она точкой глобального (абсолютного) оптимума или нет.
Если в задачах линейного программирования точка экстремума является вершиной многогранника, то в задачах нелинейного про граммирования она может лежать в вершине многогранника, на ребре (грани) или внутри области. Если задача содержит нелиней ные ограничения, то область допустимых решений не является вы пуклой и кроме глобального оптимума могут существовать точки локального оптимума.
Рассмотрим несколько примеров решения задач графическим методом.
Пример 10.1.
^max,min = 2(х - 5)^ + (у - if
х-Ь2у< 12; х-^у<9; х>0;у>0.
Решение
Построим область допустимых решений (рис. 10.1):
У
i
А Л)
"^
Рис. 10.1. Область допустимых решений
На этом же графике построим одну из семейства целевых функций, для этого преобразуем Z в каноническую форму
1—ji^^i:L ^— = 1. Получим уравнение эллипса с полуосями
a^-yjz/2; b = 4z. Полагая Z = 16, имеем b = 4; a ~ 2,8. Согласно
чертежу максимальное значение Z достигается в точке (0;0) Z^^^x ~ = 2 • 25 + 49 = 99; Zj^j^ достигается в точке Z), в которой эллипс касается области ОАВС. Для нахождения координат точки D приравняем угловые коэффициенты первой прямой и целевой
функции: у = - 1/2 л: ~ 6; О = 4(x - 5) + 20; ~ 7)У; у^ ^^2(х~5),
у-7
-1/2 = —^^ -; упрощая, получим: 4(х - 5) = д; - 7.
у-7
Решая совместно систему
4(х-5) = з;-7 х + 2>; = 12.
находим координаты точки
D (38/9; 35/9).
Zmin = 2(38/9 - 5)2 + (35/9 - 7)^ « 11.
Пример 10.2.
'^тах, min |
-^1 "^ ^2 |
Xi + Х2 < 4; |
|
^1 + Х2 > 5; |
Xi > 0; |
x i < 7 ; |
|
Х2 > 6; |
Х2 > 0. |
Решение
В этом случае область допустимых решений не является выпук лой и состоит из двух отдельных частей (рис. 10.2).
Минимальное значение функции Z = 11 достигается в точках А
(1; 4) и L (4; 1). Функция Z имеет два локальных максимума: в точ2417
ках D (2/3; 6); Z = 328/9 и в точке М (7; 4/7); Z = ^=j^, Точка М
является точкой глобального максимума. |
^" |
IV
X1
Рис. 10.2. Область допустимых решений
10.2. Метод множителей Лагранжа
Пусть задана задача математического программирования: мак симизировать функцию
Z = /(xi, ^2, ...,х^) = О |
(10.2) |
при ограничениях |
|
&= (xi,X2, ...,х^) = 0; / = 1, т. |
(10.3) |
Ограничения в задаче заданы уравнениями, поэтому для ее ре шения можно воспользоваться классическим методом отыскания условного экстремума функций нескольких переменных. При этом полагаем, что функции (10.2) и (10.3.) непрерывны вместе со сво ими первыми частными производными.
Для решения задачи составим функцию
|
|
(10.4) |
^ |
dF |
df |
Определим частные производные |
dxj |
и -гг— и приравняем их |
|
оЛ/ |
нулю. В результате получим систему уравнений