3_19
.pdfПостроение подобных методов, как правило, оказывается значительно более сложным.
Из числа методов, свободных от транспонирования, в настоящее время широко применяется TFQMR2, алгоритм которого показан на рис. B.1.
2Transpose-Free Quasi-Minimal Residuals.
71
r0 := ~r0 := b Ax0 q0 := p 1 := d0 := 00 := 0 := 0
1 := 1; 0 := kr0k2
äëÿ n=0,1,2,... {
n := (~r0; rn); n := n=n 1 un := rn + nqn
pn := un + n(qn + npn 1); vn := Apn; n := (~r0; vn)
n := n=n ; qn+1 := un n vn; vn := n (un + qn+1)
rn+1 := rn Avn
åñëè krn+1k2 < " то КОНЕЦ
äëÿ m îò 2n + 1 äî 2n + 2 { |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
если (m + 1) четно |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
!m+1p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
n+1 |
|
|
|
||||||
|
|
òî !m+1 |
:= krn+1k krnk |
||||||||||||||
|
|
иначе |
|
|
|
|
:= kr |
|
k |
|
|
||||||
m := |
!m+1 |
; |
|
cm |
:= |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
p |
m |
n |
|||||||||||
m |
m 1 m m |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
m 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 + |
2 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m |
||
:= |
c ; |
m |
:= c2 |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
если m четно |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
òî ym := qn |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
иначе ym |
:= un |
|
|
|
|
|
|
||||||||
dm := ym + 2 |
|
|
m 1 |
dm 1 |
|
|
|||||||||||
|
|
|
n |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
m 1 |
|
|
|
|
|
|
|
xm := xm 1 + mdm
}
}
Ðèñ. B.1. TFQMR
72
Список литературы
[1]Абаффи Й., Спедикато Э. Математические методы для
линейных и нелинейных уравнений: проекционные ABSалгоритмы. — Ì.: Ìèð, 1996.
[2]Годунов С. К. Современные аспекты линейной алгебры. —
Новосибирск: Научн. книга, 1997.
[3]Голуб Дж., Ван Лоун Ч. Матричные вычисления. — Ì.: Ìèð, 1999.
[4]Ильин В. П. Методы неполной факторизации для решения линейных систем. — М.: Физматлит, 1995.
[5]Ортега Дж. Введение в параллельные и векторные методы решения линейных систем. — Ì.: Ìèð, 1991.
[6]Писсанецки С. Технология разреженных матриц. — Ì.: Ìèð, 1988.
[7]Фаддеев Д. К., Фаддеева В. Н. Вычислительные методы линейной алгебры. — М.: Физматгиз, 1963.
[8]Aspects of Computational Science. — Stichting Nationale Computer Faciliteiten, The Netherlands, 1995.
[9]Chow E., Saad Y. ILUS: an Incomplete LU Preconditioner in Sparse Skyline Format. — In: Int. J. for Num. Meth. in Fluids. — Vol. 25, 739–748 (1997).
73
[10]Kadioglu M., Mudrick S. On the Implementation of the GMRES(m) Method to Elliptic Equations in Meteorology. — In:
J.of Comput. Phys., 102, 348–359 (1992).
[11]Kooper M. N. et al. Application of the Implicitly Updated Arnoldi Method with a Complex Shift-Invert Strategy in MHD. — In:
J.of Comput. Phys., 118, 320–328 (1995).
[12]Saad Y. SPARSKIT: a basic tool kit for sparse matrix computations3, 1994.
[13]Saad Y. Iterative Methods for Sparse Linear Systems. — PWS Publishing Company, 1996.
[14]Stewart G. W. Son of Afternotes on Numerical Analysis. — University of Maryland, 1996.
[15]Stewart G. W. A Survey of Matrix Algorithms. Vol.1: Basic Decompositions. — University of Maryland, 1995.
[Доп] Баландин М. Ю., Шурина Э. П. Методы решения СЛАУ большой размерности: Учеб. пособие. — Новосибирск: Изд-во НГТУ, 2000.
3Распространяется в электронной версии. Доступно по адресу http://www.cs.umn.edu/Research/arpa/SPARSKIT/
74
Содержание
Введение |
2 |
||
Используемые обозначения и соглашения |
3 |
||
1 |
Хранение и обработка разреженных матриц |
5 |
|
|
1.1 |
Форматы хранения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
5 |
|
1.2 |
Матрично-векторное умножение . . . . . . . . . . . . . . |
8 |
|
1.3 |
Симметричность портрета и учет |
|
|
|
краевых условий . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
9 |
|
1.4 |
Прямой и обратный ход . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
11 |
2 |
Предобусловливание. Неполное LU-разложение |
14 |
2.1Предобусловливание . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.2ILU-факторизация . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.3 Симметричный случай . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.4О программной реализации
ILU-предобусловливания . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3 Классические итерационные методы и релаксация |
24 |
|
3.1 |
Методы Якоби и Гаусса-Зейделя . . . . . . . . . . . . . . |
25 |
3.2 |
Ускорение сходимости |
|
|
релаксационных методов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
28 |
3.3 |
Связь с предобусловливанием . . . . . . . . . . . . . . . |
29 |
4 Проекционные методы. Подпространства Крылова |
31 |
4.1 Общий подход к построению проекционных методов . |
31 |
75
4.2 |
Случай одномерных подпространств . . . . . . . . . . . |
33 |
4.3 |
Два важных выбора подпространств . . . . . . . . . . . . |
36 |
4.4 |
Подпространства Крылова . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
38 |
4.5Базис подпространства Крылова.
|
Ортогонализация Арнольди . . . . . . . . . . . . . . . . . |
39 |
4.6 |
Биортогонализация Ланцоша . . . . . . . . . . . . . . . . |
43 |
5 Методы крыловского типа |
47 |
|
5.1 |
FOM: Метод полной ортогонализации . . . . . . . . . . . |
47 |
5.2 |
Предобусловливание в схеме метода . . . . . . . . . . . . |
52 |
5.3GMRES: Метод обобщенных
|
|
минимальных невязок . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
54 |
|
5.4 |
BCG: Метод бисопряженных градиентов . . . . . . . . . |
57 |
6 |
Симметричный случай |
60 |
|
|
6.1 |
Трехчленные соотношения для невязок. |
|
|
|
Метод Ланцоша . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
60 |
|
6.2 |
CG: Метод сопряженных градиентов . . . . . . . . . . . |
61 |
|
6.3 |
О связи симметричного и несимметричного случая . . |
64 |
Заключение |
64 |
||
A |
LU-факторизация трехдиагональных матриц |
67 |
|
B |
Методы, не использующие транспонирование. TFQMR |
70 |
|
Список литературы |
73 |
76