РГР Трехфазные цепи Электротехника 2 семестр
.pdfРасчетно-графическая работа № 3
РАСЧЕТ ТРЕХФАЗНОЙ ЭЛЕКТРИЧЕСКОЙ ЦЕПИ
3.1.Задание
1.По заданному номеру варианта изобразить цепь, подлежащую расчету, выписать значения параметров элементов цепи.
2.Рассчитать фазное и линейное напряжения генератора, ток, фазное и линейное напряжения нагрузки, мощность, вырабатываемую генератором и расходуемую в нагрузке:
а) в симметричном режиме; б) несимметричном режиме.
3.Рассчитать потенциалы всех точек и построить совмещенную топографическую диаграмму потенциалов, принимая потенциал нейтральной точки генератора равным нулю, и векторную диаграмму токов для симметричного и несимметричного режимов.
5.Определить аналитически и по топографической диаграмме напряжение между двумя заданными точками, записать мгновенное значение этого напряжения.
7.Составить уравнение баланса активных и реактивных мощностей генератора и нагрузки, проверить его выполнимость для симметричного и несимметричного режимов.
3.2.Выбор варианта и расчет
параметров элементов цепи
1.По заданному номеру варианта изобразить цепь (рис. 3.1), подлежащую расчету, выписать значения параметров элементов.
2.В качестве источника задан симметричный трехфазный генератор, обмотки которого соединены звездой с прямой
последовательностью чередования фаз. Величина ЭДС фазы А EA
для четных вариантов выбирается равной 127 В, для нечетных вариантов – 220 В. Численные значения комплексных сопротивлений обмоток генератора в Омах рассчитываются по следующей формуле:
1
Z0 0,1 A0 jB0 ,
где A0 − сумма цифр номера варианта;
B0 − разность цифр номера варианта (из первой цифры вычитается вторая; если число – однозначное, то B0 равно номеру варианта).
Например, для варианта № 35 комплексное сопротивление обмоток генератора
Z0 0,1 (3 5) j(3 5) 0,1(8 j2) 0,8 j0,2 Ом, для варианта № 53
Z0 0,1 (3 5) j(5 3) 0,1(8 j2) 0,8 j0,2 Ом,
для варианта № 88
Z0 0,1 (8 8) j(8 8) 0,1(16 j0) 1,6 Ом.
3.Граф схемы, режим нейтрали, несимметричный режим и определяемое напряжение заданы в табл. 3.1.
4.Численные значения комплексных сопротивлений линии определяются по формулам:
Z |
|
|
|
B |
|
jB ; Z |
|
|
|
B B |
|
j B 5 ; |
Z |
|
|
1 |
|
j |
1 |
, |
|||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
л1 |
|
|
0 |
|
0 |
|
л2 |
|
|
0 |
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
л3 |
B |
|
|
B |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
|
||
где B1 – первая цифра номера варианта (если число – однозначное, то |
|||||||||||||||||||||||||||
B1 равно номеру варианта). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
5. Численные значения |
комплексных |
сопротивлений фазы |
|||||||||||||||||||||||
определяются по формулам: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
Zф |
10Zл |
; Zф |
2 |
10Zл |
2 |
; Zф |
3 |
10Zл |
. |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
2
Zл |
1 |
Zл |
2 |
|
|
A m
Zл3
ZN
О
B n
C
k
Zл1 |
Zл 2 |
A m
Zл 3
B n
a
Zф |
|
Zф |
2 |
|
3 |
d
Zф
3
о1
e
f
b
c
а
a
Zф
3
Zф
e |
2 d |
Zф
1
f |
в |
|
c |
C |
б |
|
k |
|
Рис. 3.1 |
3
Таблица 3.1
Вариант |
Граф |
ZN , Ом |
Несимметричный режим |
Напря- |
||||
жение |
||||||||
1, 34, 67 |
а |
0 |
обрыв фазы а |
|
|
unf |
||
2, 35, 68 |
б |
− |
обрыв фазы ab |
|
|
umf |
||
3, 36, 69 |
а |
10 |
короткое замыкание фазы а |
ube |
||||
4, 37, 70 |
б |
− |
обрыв линии А |
|
|
ued |
||
5, 38, 71 |
а |
∞ |
обрыв фазы b |
|
|
umk |
||
6, 39, 72 |
б |
− |
обрыв фазы bс |
|
|
umd |
||
7, 40, 73 |
а |
10 j10 |
обрыв фазы c |
|
|
umn |
||
8, 41, 74 |
б |
− |
обрыв линии B |
|
|
ued |
||
9, 42, 75 |
а |
10 j10 |
обрыв Z |
N |
и Z |
ф1 |
фазы а |
uAb |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
||
10, 43, 76 |
б |
− |
обрыв фазы сa |
|
|
uAf |
||
11, 44, 77 |
а |
j10 |
обрыв Zл |
линии А |
uOn |
|||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
12, 45, 78 |
б |
− |
обрыв линии С |
|
|
ueA |
||
13, 46, 79 |
а |
j10 |
обрыв Zф1 |
фазы b |
uAe |
|||
14, 47, 80 |
б |
− |
обрыв Zл |
линии Aa |
uak |
|||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
15, 48, 81 |
а |
0 |
обрыв Zл2 |
линии Aa |
unk |
|||
16, 49, 82 |
б |
− |
обрыв Zф1 |
фазы bс |
umf |
|||
17, 50, 83 |
а |
10 |
обрыв Zф2 |
фазы c |
ube |
|||
18, 51, 84 |
б |
− |
обрыв Zл2 |
линии Bb |
uae |
|||
19, 52, 85 |
а |
∞ |
короткое замыкание фазы b |
umb |
||||
20, 53, 86 |
б |
− |
обрыв Zф2 |
фазы ab |
uak |
|||
21, 54, 87 |
а |
10 j10 |
обрыв ZN |
и Zл3 |
линии Bb |
udc |
||
22, 55, 88 |
б |
− |
обрыв Zл3 |
в линии Cc |
ucd |
|||
23, 56, 89 |
а |
10 j10 |
обрыв ZN |
и Zф3 |
фазы b |
ume |
||
24, 57, 90 |
б |
− |
обрыв Zф3 |
фазы сa |
udn |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
Окончание табл. 3.1
Вариант |
Граф |
ZN , Ом |
Несимметричный режим |
Напря- |
|
жение |
|||||
25, 58, 91 |
а |
j10 |
короткое замыкание Zл |
линии Cc |
umd |
|
|
|
1 |
|
|
26, 59, 92 |
б |
− |
короткое замыкание Zл |
линии Aa |
uAk |
|
|
|
1 |
|
|
27, 60, 93 |
а |
j10 |
обрыв ZN и Zф1 фазы b |
|
ueA |
28, 61, 94 |
б |
− |
короткое замыкание Zф1 |
фазы ab |
udn |
29, 62, 95 |
а |
0 |
короткое замыкание Zл2 |
линии Bb |
umk |
30, 63, 96 |
б |
− |
короткое замыкание Zл2 |
линии Bb |
uBd |
31, 64, 97 |
а |
∞ |
короткое замыкание фазы c |
umf |
|
32, 65, 98 |
б |
− |
короткое замыкание Zф2 |
фазы bc |
ume |
33, 66, 99 |
а |
10 |
короткое замыкание Zф2 |
фазы ab |
uOk |
3.2. Основные теоретические сведения
Трехфазные цепи являются одним из видов цепей синусоидального тока, и, следовательно, для них в полной мере применимы методы расчета и анализа цепей в символической форме. Анализ трехфазных цепей удобно осуществлять с использованием векторных диаграмм, позволяющих достаточно просто определять фазовые сдвиги между токами и напряжениями. Однако существующая определенная специфика трехфазных цепей вносит характерные особенности в их расчет.
Основным признаком классификации трехфазных систем ЭДС, напряжений и токов является их симметричность.
Симметричные трехфазные системы
Условиями симметричности является равенство мгновенных (комплексных) значений ЭДС фаз генератора. Мгновенные и комплексные значения ЭДС трехфазного симметричного генератора имеют вид:
5
eA Em sin t |
|
EA EAej ; |
|
|
|
|
|
|
|||||||
eB |
Em sin t 120 |
|
EB |
EAe j120 |
EAej240 |
a2EA; |
(3.1) |
||||||||
eC |
Em sin t 240 |
|
EC |
EAe j240 |
EAej120 |
aEA, |
|
||||||||
где a – оператор поворота, причем |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
a ej120 |
1 |
j |
3 , a2 |
ej240 |
|
1 |
j |
3 , |
a3 1, a4 |
a и т.д. |
|||||
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
Условием симметричности трехфазного приемника является |
|||||||||||||
равенство комплексных сопротивлений соответствующих фаз: т.е. |
|||||||||||||||
если |
Za |
Zb |
Zc |
(фазы нагрузки соединены звездой, |
рис. 3.2, а) |
||||||||||
или |
Zab |
Zbc |
Zca (фазы нагрузки соединены треугольником, см. |
||||||||||||
рис. 3.2, б). В противном случае приемник является |
|||||||||||||||
несимметричным. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
A |
|
Ia |
a |
Za |
|
A |
|
IA |
|
|
a |
Iab |
|
||
|
Ib |
|
|
Zb |
|
IB |
|
Zca |
|
|
|||||
|
|
b |
Z b |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
B |
|
|
|
|
o1 |
B |
IC |
Ica |
|
Zab |
|||||
C |
|
Ic |
c |
Zс |
|
C |
c |
|
|
|
b |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Zbc |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Ibc |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
а |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
б |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ia |
|
a |
Z a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
Ib |
|
|
Zb |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
B |
|
|
b |
Zb |
|
o1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Zb |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
C |
|
Ic |
|
c |
Z с |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ZN |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
О |
|
IN |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
в |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 3.2 |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
Существуют трехфазные системы, в которых нулевые точки генератора О и нагрузки о1 соединяются проводом с сопротивлением ZN 0 или ZN 0 (см. рис. 3.2, в). Такой провод называют нулевым или нейтральным проводом.
Если к симметричной трехфазной цепи приложена симметричная трехфазная система напряжений генератора, то в ней будет действовать симметричная система токов. Такой режим работы трехфазной цепи называется симметричным. В этом режиме токи и напряжения соответствующих фаз равны по модулю и сдвинуты по фазе на 120 . Расчет таких цепей проводится для одной (базовой) фазы, в качестве которой обычно принимают фазу А. При этом соответствующие величины в других фазах получают формальным
добавлением |
к аргументу переменной фазы А |
фазового |
сдвига 120 |
при сохранении неизменным ее модуля. |
|
Для симметричной трехфазной системы при соединении нагрузки звездой (см. рис. 1, а) существуют следующие зависимости
между действующими значениями |
линейных и фазных напряжений |
|||||||||||
и токов: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Uл |
|
Uф; Iл Iф , |
(3.2) |
||||
|
|
|
|
|
3 |
|||||||
между комплексными значениями токов фаз: |
|
|
||||||||||
|
|
EA |
|
j |
|
|
|
|
|
j120 |
j( 120 ) |
|
Ia |
|
Za |
Iae ; |
Ib |
Iae |
Iae |
|
; |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(3.3) |
|
|
|
|
j120 |
|
|
j( 120 |
) |
. |
|
|
|
|
Ic |
Iae |
Iae |
|
|
|
|
|
|||||
При наличии нейтрального провода ток в этом проводе |
||||||||||||
определяется по первому закону Кирхгофа: |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
IN |
Ia Ib Ic , |
|
(3.4) |
||||
при отсутствии нейтрального провода: |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
Ia |
Ib Ic |
0 . |
|
(3.5) |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7 |
Для симметричной трехфазной системы при соединении нагрузки треугольником (см. рис. 3.2, б) действующие значения линейных и фазных напряжений и токов связаны соотношениями:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Uл Uф; |
Iл 3 Iф , |
|
|
|
|
|
|||||||||||
комплексные значения токов фаз: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
Uab |
|
|
|
|
j |
|
|
|
|
|
|
j120 |
j( 120 ) |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
Iab |
|
Zab |
Iabe |
|
|
; |
|
|
Ibc |
|
Iabe |
|
Iabe |
|
|
; |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
j120 |
|
|
|
|
|
j( 120 ) |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
Ica |
Iabe |
|
|
Iabe |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
комплексные значения линейных токов: |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
j30 |
|
|
|
|
|
|
j( 30 |
) |
|
|
|
|
|
j120 |
|
|
j( 150 |
) |
|
|||||||
|
|
3Iabe |
; |
|
|
|
|
; |
||||||||||||||||||||||
IA |
3Iabe |
|
|
|
|
|
|
|
|
IB |
IAe |
3Iabe |
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
j120 |
|
|
|
|
|
|
|
j( 90 |
) |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
IC |
IAe |
|
3Iabe |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(3.6)
(3.7)
(3.8)
Комплексная, полная, активная и реактивная мощности в симметричной трехфазной системе определяются соответственно по указанным ниже формулам:
– для схем «звезда – звезда»:
S~λ 3U |
* |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ф I ф; |
|
S 3UфIф 3UлIф; |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
U |
2 |
|
|
|
Р |
3U |
ф |
I |
ф |
cos |
|
3U |
л |
I |
ф |
cos 3I2R |
|
ф |
; |
(3.9) |
|||||||
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||||||
потр |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ф |
ф |
|
R |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ф |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
U |
2 |
|
|
|
Q |
3U |
|
I |
|
sin |
3U |
|
I |
|
sin 3I2X |
|
|
ф |
; |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
потр |
|
|
ф |
|
ф |
|
|
|
|
|
л |
|
ф |
|
ф |
ф |
|
Xф |
|
– для схем «треугольник – треугольник»:
S~ 3Uф I* ф; S 3UфIф 3UфIл;
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos 3I2R |
I2R ; (3.10) |
||||
Р |
3U |
ф |
I |
ф |
cos |
|
3U |
ф |
I |
л |
|||||||
потр |
|
|
|
|
|
|
|
ф |
ф |
л |
ф |
|
|||||
Q |
3U |
|
I |
|
sin |
|
U |
|
I |
|
sin 3I2X |
|
I2 X |
|
. |
||
ф |
ф |
3 |
ф |
л |
ф |
ф |
|||||||||||
потр |
|
|
|
|
|
|
|
ф |
л |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8 |
Несимметричные трехфазные системы
Если хотя бы одно из условий симметрии не выполняется, трехфазная цепь работает в несимметричном режиме. Такие режимы при подключении статической нагрузки рассчитываются любым из известных методов расчета линейных электрических цепей с источниками гармонических воздействий. Как правило, падением напряжения на внутреннем сопротивлении генератора пренебрегают и фазные напряжения генератора заменяются соответствующими идеальными источниками ЭДС. Поскольку в трехфазных цепях, помимо значений токов, обычно представляют интерес также величины потенциалов узлов, в большинстве случаев для расчета применяется метод узловых потенциалов.
Если заданы линейные напряжения, удобно рассчитывать трехфазные цепи при соединении фаз нагрузки в треугольник. Пусть в схеме (см. рис. 3.2, б) нагрузка несимметрична и Zab Zbc Zca .
Тогда при известных комплексах линейных напряжений в соответствии с законом Ома фазные токи:
|
Uab |
|
|
Ubc |
|
Uca |
|
|
|
Iab |
Zab |
; |
Ibc |
|
Zbc |
; Ica |
Zca |
. |
(3.11) |
|
|
|
|
|
|
|
|||
По найденным фазным токам приемника на основании |
|||||||||
первого закона Кирхгофа определяются линейные токи: |
|
||||||||
IA Iab Ica; |
IB |
Ibc |
Iab; |
IC |
Ica Ibc . |
(3.12) |
Если к трехфазному генератору, фазы которого соединены звездой (рис. 3.3), подключен приемник электрической энергии, фазы которого также соединены звездой, то в случае несимметричной трехфазной системы между нейтральными (нулевыми) точками приемника и генератора возникает напряжение смещения нейтрали:
UN |
|
EAYa EB |
Y |
b ECYc |
, |
(3.13) |
||
|
||||||||
|
|
|
||||||
|
|
Ya |
Y |
b Yc YN |
|
|||
|
|
9 |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
где EA, EB, EC – комплексы ЭДС соответствующих фаз генератора;
Ya,Yb,Yc,YN – комплексные проводимости соответствующих фаз нагрузки и нейтрального (нулевого) провода.
|
|
A |
a |
Za |
|
|
EA |
|
|
||
О |
EB |
B |
b |
Zb |
о |
|
|
|
|
1 |
|
|
EC |
C |
c |
Zс |
|
|
|
Z N |
|
|
|
|
|
Рис. 3.3 |
|
|
|
Напряжение на фазах нагрузки: |
|
|
|
Ua Ia Za EA UN ; |
Ub Ib Zb EB UN |
; |
|||||||
Uc Ic Zc EC UN . |
|
|
|
(3.14) |
|||||
|
|
|
|
||||||
Токи в фазах: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ia UaYa; |
Ib |
Ub |
Y |
b; |
Ic |
Uc |
Y |
c. |
(3.15) |
|
|
||||||||
Ток нейтрального провода |
|
|
|
|
|
||||
IN UN Y N |
Ia Ib Ic . |
|
|
|
|
(3.16) |
При расчете трехфазной системы «звезда – звезда с нейтральным проводом с сопротивлением ZN 0» нет необходимости рассчитывать напряжение смещения нейтрали,
поскольку UN 0. В этом случае трехфазную систему можно рассматривать как совокупность трех независимых контуров и рассчитывать каждый контур известными методами расчета цепей
10