РГР Трехфазные цепи Электротехника 2 семестр
.pdfсинусоидального тока. Целесообразно использовать векторные диаграммы при расчете таких цепей.
В случае отсутствия нейтрального провода (ZN ) в формуле напряжения смещения нейтрали (3.13) проводимость нейтрального провода YN принимают равной нулю. При этом, если генератор симметричный, а симметрия нагрузки нарушена сопротивлением нагрузки, подключенным в одной из фаз (например, Zb Zc Z Za ), удобно для определения напряжения смещения нейтрали воспользоваться формулой
|
|
|
|
|
Ya Y |
|
|
|
|
|
||||
|
|
UN |
EA |
Ya |
|
|
, |
|
|
|
|
(3.17) |
||
|
|
|
|
|
2Y |
|
|
|
|
|
||||
для оставшихся случаев |
|
Za Zc |
Z Zb |
и Za |
Zb |
Z Zc |
||||||||
соответственно: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Yb Y |
|
|
|
|
|
Yc Y |
|
|
|||
UN |
EB |
Yb 2Y |
|
; UN |
EC |
Yc |
|
. |
|
(3.18) |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2Y |
|
|
||||
Если нагрузка соединена звездой без нейтрального провода и известны линейные напряжения UAB,UBC ,UCA , то фазные напряжения Ua ,Ub,Uc нагрузки находятся по формулам:
|
|
UAB |
Y |
b UCAYc |
|
|
|
|
UBCYc UABYa |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
Ua |
|
Ya Yb Yc |
; |
Ub |
|
Ya |
|
Y |
b |
|
Y |
c |
; |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
. |
(3.19) |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
UCA |
Y |
a UBC |
Y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Uc |
|
b |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
Ya Yb Yc |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Для любой трехфазной системы сумма комплексных значений линейных напряжений равна нулю:
UAB UBC UCA 0. |
(3.20) |
11
3.3. Пример расчета
Дано: к симметричному трехфазному генератору (рис. 3.4) с фазной ЭДС E = 220 В и внутренним сопротивлением Z0 0,2 j0,4 Ом через линию, сопротивление каждого провода
которой Zпр 1 j1,6 Ом, подключена симметричная нагрузка
Z 7,8 j3,2 Ом, соединенная звездой.
|
|
|
|
A |
Z |
пр |
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
Z0 |
|
|
IA |
|
Z |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
т |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
EA |
|
|
|
|
|
|
|
|
О |
EB |
|
|
|
|
о1 |
Z0 |
l |
|
n |
Z0 |
|
|
Z |
Z |
|
|
|
||||||
|
|
EC |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
B |
Zпр |
c |
|
b |
|
|
|
|
|
|
IB |
||
IC C
Zпр
Рис. 3.4
Решение. Запишем фазные ЭДС генератора в комплексном
виде:
EA EA 220 В;
EB EAe j120 220e
EC EAej120 220e
j120
j120
|
|
|
3 |
|
|
|
|||||
|
0,5 j |
|
110 j190,52 |
В; |
|||||||
|
|
|
|||||||||
220 |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
3 |
|
|
|
|||||
220 |
0,5 j |
|
|
|
|
110 j190,52 В. |
|||||
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
12
Расчет симметричного режима
Ввиду полной симметрии системы напряжение между нулевыми точками генератора и нагрузки равно нулю. Каждую фазу можно рассматривать независимо от других фаз и вести расчет по одной фазе, к примеру, фазе А.
|
Определим ток в |
фазе А по закону |
Ома (полагаем, что |
||||||
EA 220 В): |
|
|
|
|
|
|
|||
IA |
|
EA |
|
EA |
|
|
220 |
21,17e j30 |
18,33 j10,59А. |
|
Z0 Zпр Z |
|
|||||||
|
|
Zф |
|
9 j5,2 |
|
||||
Токи в фазах В и С соответственно:
|
|
EB |
|
|
j120 |
|
j150 |
|
|
IB |
|
Zф |
IAe |
|
21,17e |
|
18,33 j10,59А; |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
EC |
|
|
j120 |
|
j90 |
|
|
IC |
|
Zф |
IAe |
21,17e |
j21,17А. |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Проверка:
IA IB IC 18,33 j10,59 18,33 j10,59 j21,17 0,01 0 .
Фазные напряжения на зажимах генератора:
UAO EA IA Z0 220 (18,33 j10,59) (0,2 j0,4) 212,098
j5,214 212,162e j1,41 B
инагрузки:
Uao1 IAZ (18,33 j10,59) (7,8 j3,2) 176,862 j23,946
178,476e j7,71 B.
Такие напряжения в других фазах сдвинуты соответственно на 120 и 240 :
13
UBO 212,162e
UCO 212,162e
Ubo1 178,476e
Uco1 178,476e
j121,41
j118,59
j127,71
j112,29
110,57 j181,072 B;
101,528 j186,292 B;
109,168 j141,195B;
67,695 j165,14 B.
Линейные напряжения на выводах генератора и нагрузки:
|
|
|
|
322,668 j175,858 367,479e |
j28,59 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
j30 |
|
||||
UAB |
UAO |
UBO |
|
|
|
|
3UAOe |
|
В; |
|||||||||||||
UBC |
UBO |
UCO |
9,042 j367,364 367,475e j91,41 |
|
|
|
|
|
|
|
UAOe j90 В; |
|||||||||||
|
|
3 |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
313,626 j191,506 367,472e |
j148,59 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
j150 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
UCA |
UCO |
UAO |
|
|
3UAOe |
|
В; |
|||||||||||||||
|
|
|
|
286,03 j117,249 309,129e |
j22,29 |
|
|
|
|
|
|
|
e |
j30 |
В; |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
Uab Uao |
Ubo |
|
|
|
|
3Uao |
|
|
|
|||||||||||||
|
1 |
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|||||||||
Ubc |
Ubo |
Uco |
|
41,473 j306,335 309,13ej 97,71 |
|
|
|
|
Uao e j90 В; |
|||||||||||||
|
|
3 |
||||||||||||||||||||
|
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
244,557 j189,086 309,13e |
j142,29 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e |
j150 |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
Uca |
Uco Uao |
|
|
|
|
|
3Uao |
|
В. |
|||||||||||||
|
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|||||||||
|
Активная мощность, вырабатываемая генератором, |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
* |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
P 3Re UAO I A 3Re 220 21,17ej30 3 220 21,17cos30 |
|
|
|||||||||||||||||||
|
Г |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
12100,28Вт. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Мощность, расходуемая в нагрузке, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
P |
3I2R 3 21,172 7,8 10487,152 Вт. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
Н |
A |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Составим баланс активной и реактивной мощностей генератора и нагрузки и проверим его выполнимость.
Комплексная мощность генератора
* |
|
|
|
S~Г 3EA IA 3 220 21,17ej30 |
|
13972,2ej30 |
|
12100,28 j6986,1ВА. |
|
|
|
14
Активная мощность генератора P 12100,28 Вт, реактивная
Г
мощность − Q 6986,1 вар.
Г
Потребляемая активная мощность складывается из мощностей расхода на внутреннем сопротивлении генератора, сопротивлении линии и нагрузки:
P 3(P |
P |
P |
) 3I2 |
(R |
R |
R |
) 3 21,172 9 12100,56 Вт, |
0 |
пр |
Н |
A |
0 |
пр |
|
Н |
реактивная мощность в элементах внутреннего сопротивления генератора, линии и приемника
|
|
|
|
Q 3(Q |
Q |
Q ) 3 21,172 5,2 6991,435вар. |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
0 |
|
|
пр |
|
|
Н |
|||||||||||
|
|
Допускается расхождение баланса активных мощностей: |
||||||||||||||||||||
P |
|
P P |
|
100% |
|
|
12100,28 12100,56 |
|
|
100% 2,3 10 3 % 0,5% |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
Г |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
P |
|
|
|
|
|
|
12100,28 |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
Г |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и реактивных мощностей |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
Q |
|
Q Q |
|
|
100% |
|
6986,1 6991,435 |
|
|
100% 0,07% 0,5%. |
||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
Г |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
Q |
|
|
|
|
|
6986,1 |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Г
Поскольку баланс активных и реактивных мощностей выполняется, то расчет произведен верно.
Построение топографической диаграммы
Рассчитаем потенциалы всех точек схемы (см. рис. 3.4), приняв потенциал нейтральной точки генератора O равным нулю:
O 0;
m EA 220В;
A m IAZ0 220 (18,33 j10,59)(0,2 j0,4)
212,098 j5,214 В;
15
a A IAZпр 212,098 j5,214 (18,33 j10,59)(1 j1,6)
176,824 j23,952 В;
o1 a IA Z 176,824 j23,952 (18,33 j10,59)(7,8 j3,2)
0,038 j6 10 3 0 В; |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
EB |
110 j190,52 В; |
|
||||
n |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
IB Z0 110 j190,52 ( 18,33 j10,59)(0,2 j0,4) |
||||||
B |
n |
|||||
110,57 j181,07 В; |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
IB Zпр |
110,57 j181,07 ( 18,33 j10,59)(1 j1,6) |
|||||
b |
B |
|||||
109,184 j141,152 В; |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
IB Z 109,184 j141,152 ( 18,33 j10,59)(7,8 j3,2) |
||||||
o |
b |
|||||
1 |
|
|
|
|
|
|
0,098 j0,106 0 В; |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
EC |
110 j190,52 В; |
|
||||
l |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
IC Z0 110 j190,52 j21,17(0,2 j0,4) |
||||||
C |
l |
|||||
101,532 j186,29 В; |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
IC Zпр |
101,532 j186,29 j21,17(1 j1,6) |
|||||
c |
C |
|||||
67,66 j165,12 В; |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
IC Z 67,66 j165,12 j21,17(7,8 j3,2) |
||||||
o |
c |
|||||
1 |
|
|
|
|
|
|
0,084 j6 10 3 0 В. |
|
|||||
|
Совмещенная векторная диаграмма токов и потенциальная |
|||||
диаграмма напряжений представлены на рис. 3.5. |
||||||
|
Определим напряжение между точками n и b: |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Unb n |
b ( 110 j190,52) ( 109,184 j141,152) |
||||
|
0,816 j49,368 49,375e j90,95 |
В, |
||||
мгновенное значение напряжения
unb (t) 49,375
2sin( t 90,95 ) В.
16
|
|
|
|
|
|
|
|
Im(I), A |
|
|
|
|
|
Im( ), В |
|
|
|
l |
C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
c |
|
|
|
|
|
E |
|
|
|
|
|
C |
|
|
|
|
|
|
Uco |
I |
|
|
|
|
1 |
C |
UCA |
|
|
|
|
|
|
|
UBC |
Ubc |
10 |
|
Uca |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
25 |
|
m Re(I), A |
|
–10 |
O |
(o1) |
20 |
|
|
–50 |
|
50 |
EA |
A Re( ), В |
|
|
|
–25 |
Uao1 |
a |
|
IB |
–10 |
|
IA |
|
|
|
|
|
||
|
Ubo |
E |
|
|
|
|
1 |
B |
|
|
|
|
|
Uab |
UAB |
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
B
n
Рис. 3.5
Расчет несимметричного режима
Пусть несимметрия режима возникает вследствие короткого замыкания резистора в фазе А. В этом случае между нулевыми точками генератора и нагрузки возникает напряжение смещения нейтрали:
17
UN |
|
EAYa EB |
Y |
b ECYc |
. |
||
|
|||||||
|
|
|
|||||
|
|
Ya |
Y |
b Yc YN |
|||
|
|
||||||
Для определения величины UN вычислим комплексные проводимости фаз, помня о том, что комплексное сопротивление
нагрузки фазы А равно ZНa |
j3,2Ом, сопротивления нагрузки фаз B |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
и C ZНb |
ZНc Z 7,8 j3,2Ом: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
Ya |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0,042 j0,183См; |
||||
|
Z0 Zпр |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
ZНa |
|
0,2 j0,4 1 j1,6 j3,2 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
Y |
|
b |
Y |
c |
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
0,083 j0,048 См, |
|
|||||||||||||||
|
|
Zф |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Z0 Zпр Z |
|
9 j5,2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
проводимость нейтрального провода YN 0. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
Фазные ЭДС генератора в комплексном виде: |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
EA EA 220 В; |
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
j120 |
|
|
|
|
j120 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
EB EAe |
|
|
|
220e |
|
|
220 |
0,5 j |
|
|
110 j190,52 |
В; |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
j120 |
|
|
|
|
j120 |
|
|
3 |
|
|
|
||||||||||||||
E |
C |
E |
A |
e |
|
220e |
|
220 0,5 j |
|
110 j190,52 В. |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
220(0,042 j0,183) ( 110 j190,52)(0,083 j0,048) |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
UN |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
0,042 j0,183 2(0,083 j0,048) |
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
( 110 j190,52)(0,083 j0,048) |
|
9,02 j29,7 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
0,042 j0,183 2(0,083 j0,048) |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
0,208 j0,279 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
52,93 j71,79 89,193e j53,6 |
В. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
Токи всех фаз:
18
|
IA |
EA UN Ya |
20,155 j27,559 34,143e j53,82 |
А; |
|||||
|
IB |
EB UN Yb |
19,222 j2,034 19,33e j173,96 |
А; |
|||||
|
IC |
|
EC UN Yc |
0,932 j29,592 29,607ej91,8 |
А; |
||||
Проверка показывает, что IA IB IC 1 10 3 j1 10 3 |
0. |
||||||||
Напряжения на фазах нагрузки: |
|
|
|
|
|||||
Uao |
IA ZН |
(20,155 j27,559) j3,2 88,199 |
|
|
|
||||
1 |
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
j64,496 109,265ej36,18 B; |
|
|
|
|
|||||
Ubo |
IB Z ( 19,222 j2,034) (7,8 j3,2) |
|
|
|
|||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
143,423 j77,376 162,964e j151,65 B; |
|
|
|
||||||
Uco |
IC Z ( 0,932 j29,592) (7,8 j3,2) |
|
|
|
|||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
101,964 j227,835 249,611ej114,11 B. |
|
|
|
||||||
Напряжение на каждой фазе генератора |
|
|
|
||||||
UAO EA IA Z0 |
220 (20,155 j27,559)(0,2 j0,4) |
|
|
||||||
204,945 j2,55 204,961e j0,71 |
B; |
|
|
|
|||||
UBO |
EB IB Z0 |
106,962 j182,424 211,47e j120,39 |
B; |
|
|||||
UCO |
EC IC Z0 |
97,977 j184,974 209,32ej117,91 |
B. |
|
|||||
Линейные напряжения на выводах генератора и нагрузки:
UAB |
UAO |
UBO |
311,907 j179,874 360,057ej29,97 В; |
UBC |
UBO |
UCO |
8,985 j367,398 367,508e j91,4 В; |
UCA |
UCO |
UAO |
302,922 j187,524 356,268ej148,24 В; |
Uab |
Uao |
Ubo |
231,622 j141,872 271,618ej31,49 |
|
1 |
1 |
|
Ubc |
Ubo |
Uco |
41,459 j305,211 379,74e j97,74 |
|
1 |
1 |
|
В;
В;
19
Uca Uco1 Uao1 190,163 j163,339 250,682ej139,34 В.
Активная мощность, вырабатываемая генератором, складывается из активных мощностей каждой фазы генератора:
PГ PA PB PC .
Определим активную мощность каждой фазы генератора:
PA |
|
* |
|
Re 220 (20,155 j27,559) 4434,1 Вт; |
Re EA |
I A |
|||
|
|
|
|
|
PB |
|
* |
|
Re ( 110 j190,52)( 19,222 j2,034) |
Re EB |
IB |
|||
|
|
|
|
|
2501,938Вт; |
|
|||
PC |
|
* |
|
Re ( 110 j190,52)( 0,932 j29,592) |
Re EC |
IC |
|||
|
|
|
|
|
5740,388Вт.
Тогда P 12676,426 Вт.
Г
Мощность, расходуемая в нагрузке, равна сумме активных мощностей фаз В и С, так как в нагрузке фазы А отсутствует резистивное сопротивление:
P |
I2R I2R 19,332 |
7,8 29,6072 7,8 9751,742 Вт. |
|
Н |
B |
C |
|
Составим баланс активной и реактивной мощностей генератора и нагрузки и проверим его выполнимость.
Комплексная мощность генератора
~ |
|
* |
|
* |
|
* |
SГ |
EA |
I A EB |
IB EC |
IC 220(20,155 j27,559) |
||
( 110 j190,52)( 19,222 j2,034)
( 110 j190,52)( 0,932 j29,592)
13972,2ej30 12676,426 j12578,971ВА.
20