pdf математика / tv-sibguti
.pdf
|
|
|
|
ПРИЛОЖЕНИЕ |
|
|
|
121 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
x |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
||||
|
Таблица 3. Функция Φ(x) = |
√ |
|
|
Z e−t |
/2dt |
|
|
|||||||
|
2π |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−∞ |
|
|
|
|
(функция распределения стандартного нормального закона) |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
x |
Φ(x) |
|
x |
|
Φ(x) |
|
x |
|
Φ(x) |
|
x |
Φ(x) |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
−5 |
0, 0000003 |
|
−2, 48 |
|
0, 0066 |
|
−1, 91 |
|
0, 0281 |
|
−1, 58 |
0, 0571 |
|
||
−4, 5 |
0, 0000034 |
|
−2, 46 |
|
0, 0069 |
|
−1, 9 |
|
0, 0287 |
|
−1, 57 |
0, 0582 |
|
||
−4 |
0, 0000317 |
|
−2, 44 |
|
0, 0073 |
|
−1, 89 |
|
0, 0294 |
|
−1, 56 |
0, 0594 |
|
||
−3, 8 |
0, 0000724 |
|
−2, 42 |
|
0, 0078 |
|
−1, 88 |
|
0, 0301 |
|
−1, 55 |
0, 0606 |
|
||
−3, 6 |
0, 0001591 |
|
−2, 4 |
|
0, 0082 |
|
−1, 87 |
|
0, 0307 |
|
−1, 54 |
0, 0618 |
|
||
−3, 4 |
0, 0003370 |
|
−2, 38 |
|
0, 0087 |
|
−1, 86 |
|
0, 0314 |
|
−1, 53 |
0, 0630 |
|
||
−3, 2 |
0, 0006872 |
|
−2, 36 |
|
0, 0091 |
|
−1, 85 |
|
0, 0322 |
|
−1, 52 |
0, 0643 |
|
||
−3 |
0, 00135 |
|
−2, 34 |
|
0, 0096 |
|
−1, 84 |
|
0, 0329 |
|
−1, 51 |
0, 0655 |
|
||
−2, 98 |
0, 00144 |
|
−2, 32 |
|
0, 0102 |
|
−1, 83 |
|
0, 0336 |
|
−1, 5 |
0, 0668 |
|
||
−2, 96 |
0, 00154 |
|
−2, 3 |
|
0, 0107 |
|
−1, 82 |
|
0, 0344 |
|
−1, 49 |
0, 0681 |
|
||
−2, 94 |
0, 00164 |
|
−2, 28 |
|
0, 0113 |
|
−1, 81 |
|
0, 0351 |
|
−1, 48 |
0, 0694 |
|
||
−2, 92 |
0, 00175 |
|
−2, 26 |
|
0, 0119 |
|
−1, 8 |
|
0, 0359 |
|
−1, 47 |
0, 0708 |
|
||
−2, 9 |
0, 00187 |
|
−2, 24 |
|
0, 0125 |
|
−1, 79 |
|
0, 0367 |
|
−1, 46 |
0, 0721 |
|
||
−2, 88 |
0, 00199 |
|
−2, 22 |
|
0, 0132 |
|
−1, 78 |
|
0, 0375 |
|
−1, 45 |
0, 0735 |
|
||
−2, 86 |
0, 00212 |
|
−2, 2 |
|
0, 0139 |
|
−1, 77 |
|
0, 0384 |
|
−1, 44 |
0, 0749 |
|
||
−2, 84 |
0, 00226 |
|
−2, 18 |
|
0, 0146 |
|
−1, 76 |
|
0, 0392 |
|
−1, 43 |
0, 0764 |
|
||
−2, 82 |
0, 00240 |
|
−2, 16 |
|
0, 0154 |
|
−1, 75 |
|
0, 0401 |
|
−1, 42 |
0, 0778 |
|
||
−2, 8 |
0, 00256 |
|
−2, 14 |
|
0, 0162 |
|
−1, 74 |
|
0, 0409 |
|
−1, 41 |
0, 0793 |
|
||
−2, 78 |
0, 00272 |
|
−2, 12 |
|
0, 0170 |
|
−1, 73 |
|
0, 0418 |
|
−1, 4 |
0, 0808 |
|
||
−2, 76 |
0, 00289 |
|
−2, 1 |
|
0, 0179 |
|
−1, 72 |
|
0, 0427 |
|
−1, 39 |
0, 0823 |
|
||
−2, 74 |
0, 00307 |
|
−2, 08 |
|
0, 0188 |
|
−1, 71 |
|
0, 0436 |
|
−1, 38 |
0, 0838 |
|
||
−2, 72 |
0, 00326 |
|
−2, 06 |
|
0, 0197 |
|
−1, 7 |
|
0, 0446 |
|
−1, 37 |
0, 0853 |
|
||
−2, 7 |
0, 00347 |
|
−2, 04 |
|
0, 0207 |
|
−1, 69 |
|
0, 0455 |
|
−1, 36 |
0, 0869 |
|
||
−2, 68 |
0, 00368 |
|
−2, 02 |
|
0, 0217 |
|
−1, 68 |
|
0, 0465 |
|
−1, 35 |
0, 0885 |
|
||
−2, 66 |
0, 00390 |
|
−2 |
|
0, 0228 |
|
−1, 67 |
|
0, 0475 |
|
−1, 34 |
0, 0901 |
|
||
−2, 64 |
0, 00415 |
|
−1, 99 |
|
0, 0233 |
|
−1, 66 |
|
0, 0485 |
|
−1, 33 |
0, 0918 |
|
||
−2, 62 |
0, 00440 |
|
−1, 98 |
|
0, 0239 |
|
−1, 65 |
|
0, 0495 |
|
−1, 32 |
0, 0934 |
|
||
−2, 6 |
0, 00466 |
|
−1, 97 |
|
0, 0244 |
|
−1, 64 |
|
0, 0505 |
|
−1, 31 |
0, 0951 |
|
||
−2, 58 |
0, 00494 |
|
−1, 96 |
|
0, 0250 |
|
−1, 63 |
|
0, 0516 |
|
−1, 3 |
0, 0968 |
|
||
−2, 56 |
0, 00523 |
|
−1, 95 |
|
0, 0256 |
|
−1, 62 |
|
0, 0526 |
|
−1, 29 |
0, 0985 |
|
||
−2, 54 |
0, 00554 |
|
−1, 94 |
|
0, 0262 |
|
−1, 61 |
|
0, 0537 |
|
−1, 28 |
0, 1003 |
|
||
−2, 52 |
0, 00590 |
|
−1, 93 |
|
0, 0268 |
|
−1, 6 |
|
0, 0548 |
|
−1, 27 |
0, 1020 |
|
||
−2, 5 |
0, 00621 |
|
−1, 92 |
|
0, 0274 |
|
−1, 59 |
|
0, 0559 |
|
−1, 26 |
0, 1038 |
|
||
122 |
ПРИЛОЖЕНИЕ |
Окончание табл. 3
x |
Φ(x) |
|
x |
Φ(x) |
|
x |
Φ(x) |
|
x |
Φ(x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−1, 25 |
0, 1056 |
|
−0, 93 |
0, 1762 |
|
−0, 61 |
0, 2709 |
|
−0, 29 |
0, 3859 |
−1, 24 |
0, 1075 |
|
−0, 92 |
0, 1788 |
|
−0, 6 |
0, 2743 |
|
−0, 28 |
0, 3897 |
−1, 23 |
0, 1093 |
|
−0, 91 |
0, 1814 |
|
−0, 59 |
0, 2776 |
|
−0, 27 |
0, 3936 |
−1, 22 |
0, 1112 |
|
−0, 9 |
0, 1841 |
|
−0, 58 |
0, 2810 |
|
−0, 26 |
0, 3974 |
−1, 21 |
0, 1131 |
|
−0, 89 |
0, 1867 |
|
−0, 57 |
0, 2843 |
|
−0, 25 |
0, 4013 |
−1, 2 |
0, 1151 |
|
−0, 88 |
0, 1894 |
|
−0, 56 |
0, 2877 |
|
−0, 24 |
0, 4052 |
−1, 19 |
0, 1170 |
|
−0, 87 |
0, 1922 |
|
−0, 55 |
0, 2912 |
|
−0, 23 |
0, 4090 |
−1, 18 |
0, 1190 |
|
−0, 86 |
0, 1949 |
|
−0, 54 |
0, 2946 |
|
−0, 22 |
0, 4129 |
−1, 17 |
0, 1210 |
|
−0, 85 |
0, 1977 |
|
−0, 53 |
0, 2981 |
|
−0, 21 |
0, 4168 |
−1, 16 |
0, 1230 |
|
−0, 84 |
0, 2005 |
|
−0, 52 |
0, 3015 |
|
−0, 2 |
0, 4207 |
−1, 15 |
0, 1251 |
|
−0, 83 |
0, 2033 |
|
−0, 51 |
0, 3050 |
|
−0, 19 |
0, 4247 |
−1, 14 |
0, 1271 |
|
−0, 82 |
0, 2061 |
|
−0, 5 |
0, 3085 |
|
−0, 18 |
0, 4286 |
−1, 13 |
0, 1292 |
|
−0, 81 |
0, 2090 |
|
−0, 49 |
0, 3121 |
|
−0, 17 |
0, 4325 |
−1, 12 |
0, 1314 |
|
−0, 8 |
0, 2119 |
|
−0, 48 |
0, 3156 |
|
−0, 16 |
0, 4364 |
−1, 11 |
0, 1335 |
|
−0, 79 |
0, 2148 |
|
−0, 47 |
0, 3192 |
|
−0, 15 |
0, 4404 |
−1, 1 |
0, 1357 |
|
−0, 78 |
0, 2177 |
|
−0, 46 |
0, 3228 |
|
−0, 14 |
0, 4443 |
−1, 09 |
0, 1379 |
|
−0, 77 |
0, 2206 |
|
−0, 45 |
0, 3264 |
|
−0, 13 |
0, 4483 |
−1, 08 |
0, 1401 |
|
−0, 76 |
0, 2236 |
|
−0, 44 |
0, 3300 |
|
−0, 12 |
0, 4522 |
−1, 07 |
0, 1423 |
|
−0, 75 |
0, 2266 |
|
−0, 43 |
0, 3336 |
|
−0, 11 |
0, 4562 |
−1, 06 |
0, 1446 |
|
−0, 74 |
0, 2296 |
|
−0, 42 |
0, 3372 |
|
−0, 1 |
0, 4602 |
−1, 05 |
0, 1469 |
|
−0, 73 |
0, 2327 |
|
−0, 41 |
0, 3409 |
|
−0, 09 |
0, 4641 |
−1, 04 |
0, 1492 |
|
−0, 72 |
0, 2358 |
|
−0, 4 |
0, 3446 |
|
−0, 08 |
0, 4681 |
−1, 03 |
0, 1515 |
|
−0, 71 |
0, 2389 |
|
−0, 39 |
0, 3483 |
|
−0, 07 |
0, 4721 |
−1, 02 |
0, 1539 |
|
−0, 7 |
0, 2420 |
|
−0, 38 |
0, 3520 |
|
−0, 06 |
0, 4761 |
−1, 01 |
0, 1562 |
|
−0, 69 |
0, 2451 |
|
−0, 37 |
0, 3557 |
|
−0, 05 |
0, 4801 |
−1 |
0, 1587 |
|
−0, 68 |
0, 2483 |
|
−0, 36 |
0, 3594 |
|
−0, 04 |
0, 4840 |
−0, 99 |
0, 1611 |
|
−0, 67 |
0, 2514 |
|
−0, 35 |
0, 3632 |
|
−0, 03 |
0, 4880 |
−0, 98 |
0, 1635 |
|
−0, 66 |
0, 2546 |
|
−0, 34 |
0, 3669 |
|
−0, 02 |
0, 4920 |
−0, 97 |
0, 1660 |
|
−0, 65 |
0, 2578 |
|
−0, 33 |
0, 3707 |
|
−0, 01 |
0, 4960 |
−0, 96 |
0, 1685 |
|
−0, 64 |
0, 2611 |
|
−0, 32 |
0, 3745 |
|
0 |
0, 5000 |
−0, 95 |
0, 1711 |
|
−0, 63 |
0, 2643 |
|
−0, 31 |
0, 3783 |
|
|
|
−0, 94 |
0, 1736 |
|
−0, 62 |
0, 2676 |
|
−0, 3 |
0, 3821 |
|
|
|
При x > 0 значения Φ(x) находят по правилу: Φ(x) = 1 − Φ(−x).
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Абсолютно непрерывное распределение, 53 совместное распределение, 75
Асимметрия, 98
Байеса формула, 38 Бернулли
закон больших чисел, 108 распределение, 58 схема, 43 формула, 43
Бернштейна пример, 41 Биномиальное распределение, 59
дисперсия, 92 математическое ожидание, 92
Вероятности аксиомы, 17 свойства, 18
Вероятностная мера, 17 Вероятностное пространство, 17 Вероятность, 17
апостериорная, 38 априорная, 38 геометрическая, 32 классическая, 22 условная, 35
Выбор без возвращения, 27, 28
без учёта порядка, 28, 29
свозвращением, 27, 29
сучётом порядка, 28, 29 Вырожденное распределение, 58
дисперсия, 92 математическое ожидание, 92
Гамма-распределение, 65 Гамма-функция Эйлера, 65 Гаусса распределение, 61
Геометрическое распределение, 44, 59
дисперсия, 93 математическое ожидание, 93
Гипергеометрическое распределение, 24, 60 Группа событий полная, 37
Дискретное пространство элементарных исходов, 21 распределение, 53
Дисперсия, 90 разности, 92 распределения
Бернулли, 92 биномиального, 92 геометрического, 93 Коши, 95 нормального, 94 Парето, 95 Пуассона, 93 показательного, 94 равномерного, 93
стандартного нормального, 93 суммы, 91, 99
суммы n слагаемых, 99 Дополнение, 14 Достоверное событие, 14 Дробь Ляпунова, 111
Задача
овстрече, 33
орассеянной секретарше, 25 Закон больших чисел
Бернулли, 108 Чебышёва, 107
Индикатор события, 106
Квантиль распределения, 97 Классическая вероятность, 22 Ковариация, 99 Корреляция, 100 Коши распределение, 66
124 |
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ |
||
Коэффициент |
|
Муавра — Лапласа |
|
асимметрии, 98 |
|
приближение, 47, 48 |
|
корреляции, 100 |
|
теорема, 111 |
|
свойства, 101 |
|
интегральная, 47 |
|
эксцесса, 98 |
|
локальная, 48 |
|
Ляпунова |
|
Невозможное событие, 14 |
|
дробь, 111 |
|
Независимость |
|
условие, 111 |
|
случайных величин |
|
ЦПТ, 111 |
|
в совокупности, 80 |
|
Марковская цепь, 114 |
|
событий, 39 |
|
|
в совокупности, 40 |
||
Марковское свойство, 113 |
|
||
|
попарная, 41 |
||
Математическое ожидание |
|
||
|
Неравенство |
||
абсолютно непрерывного |
распределе- |
||
Йенсена, 91 |
|||
ния, 87 |
|
||
|
Маркова, 106 |
||
дискретного распределения, 87 |
|||
Чебышёва, 107 |
|||
постоянной, 88 |
|
||
|
Несовместные события, 15 |
||
произведения, 89 |
|
||
|
Номер первого успеха, 44 |
||
распределения |
|
||
|
Нормальное распределение, 61 |
||
Бернулли, 92 |
|
||
|
дисперсия, 94 |
||
биномиального, 92 |
|
||
|
математическое ожидание, 94 |
||
геометрического, 93 |
|
||
|
свойства, 62 |
||
Коши, 95 |
|
||
|
Объединение событий, 14 |
||
нормального, 94 |
|
||
Парето, 95 |
|
Определение вероятности |
|
Пуассона, 93 |
|
геометрическое, 32 |
|
|
классическое, 23 |
||
показательного, 94 |
|
||
равномерного, 93 |
|
Парето распределение, 66 |
|
стандартного нормального, 93 |
дисперсия, 95 |
||
суммы, 89 |
|
математическое ожидание, 95 |
|
Матрица |
|
Пересечение событий, 14 |
|
ковариаций, 78, 99 |
|
Перестановка, 28 |
|
положительно определённая, 78 |
Плотность |
||
стохастическая, 114 |
|
распределения, 53 |
|
Медиана распределения, 97 |
|
распределения суммы, 81 |
|
Мера вероятностная, 17 |
|
совместного распределения, 75 |
|
Множество |
|
Показательное распределение, 61 |
|
всех подмножеств, 17 |
|
дисперсия, 94 |
|
пустое, 14 |
|
математическое ожидание, 94 |
|
Мода распределения, 98 |
|
Поле событий, 16 |
|
Момент |
|
Полиномиальное распределение, 49 |
|
первый, 87 |
|
Полная группа событий, 37 |
|
порядка k , 90 |
|
Полной вероятности формула, 37 |
|
абсолютный, 90 |
|
Попарно несовместные события, 15 |
|
абсолютный центральный, 90 |
Правило трёх сигм, 64, 107 |
||
центральный, 90 |
|
Пример |
|
факториальный, 93 |
|
Бернштейна, 41 |
|
Монотонность вероятности, 18 |
|
Производящая функция моментов, 95 |
|
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ |
125 |
Пространство элементарных исходов, 11 дискретное, 21
Противоположное событие, 14 Пуассона
приближение, 46 распределение, 46, 59
Пустое множество, 14
Равномерное распределение, 60 дисперсия, 93 математическое ожидание, 93
Разбиение пространства исходов, 37 Размещение, 28 Распределение, 24
Бернулли, 58 моменты, 92
биномиальное, 59 моменты, 92
вектора абсолютно непрерывное, 75
вырожденное, 58 моменты, 92
Гаусса, 61 гамма, 65
геометрическое, 44, 59 моменты, 93
гипергеометрическое, 24, 60 Коши, 66
моменты, 95 маргинальное, или частное, 74 многомерное нормальное, 78 нормальное, 61
моменты, 94 свойства, 62
Парето, 66 моменты, 95
Пуассона, 46, 59 моменты, 93 показательное, 61 моменты, 94 полиномиальное, 49
равномерное, 60 моменты, 93
равномерное в области, 77 Симпсона, 85 случайной величины
абсолютно непрерывное, 53 дискретное, 53
совместное, 73
стандартное нормальное, 62 моменты, 93
треугольное, 85 унимодальное, 98 хи-квадрат, 65 числа успехов, 43 Эрланга, 65 экспоненциальное, 61
моменты, 94
Свойства абсолютно непрерывного распределе-
ния, 58 вероятности, 17, 18 дисперсии, 91
математического ожидания, 88 моментов, 90 нормального распределения, 62
операций над событиями, 15 плотности, 54 плотности совместного распределения,
75 сходимости по вероятности, 106
таблицы совместного распределения, 74 функции распределения, 57 функции совместного распределения, 73
Свойство марковское, 113 нестарения
геометрического распределения, 44 показательного распределения, 61
отсутствия последействия геометрического распределения, 44 показательного распределения, 61
Симпсона распределение, 85 Случайная величина, 51 Случайные величины
независимые в совокупности, 80
некоррелированные, 102 одинаково распределённые, 56
отрицательно коррелированные, 102 положительно коррелированные, 102
Событие, 11, 16 достоверное, 14 невозможное, 14
противоположное (дополнительное), 14 События
вложенные, 15
126 |
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ |
независимые, 39 в совокупности, 40 попарно, 41
несовместные, 15 попарно несовместные, 15
Сочетание, 29 Среднее значение, 87
Среднеквадратическое отклонение, 90 Стандартное нормальное распределение, 62
дисперсия, 93 математическое ожидание, 93
Статистическая устойчивость, 10 Стационарное распределение цепи Марко-
ва, 116 Стационарный режим цепи Маркова, 117 Схема Бернулли, 43 Сходимость
по вероятности, 106 Счётная аддитивность
вероятности, 17
σ -алгебра, 16
Таблица распределения, 53
совместного распределения, 74 Теорема
закон больших чисел Бернулли, 108 Чебышёва, 107
Муавра — Лапласа, 111 интегральная, 47 локальная, 48
о перемножении шансов, 27 Пуассона, 46 умножения вероятностей, 36 ЦПТ, 109 ЦПТ Ляпунова, 111
центральная предельная, 109 Треугольное распределение, 85
Унимодальное распределение, 98 Уравнения Колмогорова, 116 Урновая схема, 27 Условие Ляпунова, 111 Условная вероятность, 35
Устойчивость по суммированию биномиального распределения, 83 гамма-распределения, 83 нормального распределения, 82
распределения Пуассона, 83
Факториальный момент, 93 Формула
Байеса, 38 Бернулли, 43
включения-исключения, 18 полной вероятности, 37 свёртки, 81
Функция распределения, 54
вектора, 73 свойства, 57
совместного распределения, 73
Хи-квадрат распределение, 65
Центральная предельная теорема, 109 Цепи Маркова
вероятности перехода, 114 матрица вероятностей перехода, 114 начальное распределение, 114 стационарное распределение, 116 стационарный режим, 117 эргодичность, 116
Цепь Маркова, 114 однородная, 114 ЦПТ Ляпунова, 111
Число перестановок, 28 размещений, 28 сочетаний, 29
Экспоненциальное распределение, 61 дисперсия, 94 математическое ожидание, 94
Эксцесс, 98 Элементарный исход, 11
Эргодичность цепи Маркова, 116 Эрланга распределение, 65
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1.Бочаров П. П., Печинкин А. В. Теория вероятностей. Математическая статистика. М.: Гардарика, 1998, 328 с.
2.Вентцель Е. С. Теория вероятностей. М.: Высшая школа, 1999, 576 с.
3.Гнеденко Б. В. Курс теории вероятностей. М.: Наука, 1988, 406 с.
4.Колемаев В. А., Калинина В. Н. Теория вероятностей и математическая статистика. М.: ИНФРА-М, 1997, 302 с.
5.Пугачев В. С. Теория вероятностей и математическая статистика. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2002, 496 с.
6.Чистяков В. П. Курс теории вероятностей. М.: Агар, 2000, 255 с.
7.Гмурман В. Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике. М.: Высшее образование, 2006, 404 с.
8.Сборник задач по теории вероятностей, математической статистике и теории случайных функций / Под редакцией А. А. Свешникова. М.: Наука, 1970, 656 с.
9.Вентцель Е. С., Овчаров Л. А. Задачи и упражнения по теории вероятностей. М.: Высшая школа, 2000, 366 с.
Наталья Исааковна Чернова
ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
Учебное пособие
Редактор: О. А. Игнатова Корректор:
Подписано в печать Формат бумаги 62 × 84/16, отпечатано на ризографе, шрифт №10,
изд. л. , зак. № , тир. – экз., СибГУТИ 630102, Новосибирск, ул. Кирова, 86.