Теормех шпоры столбцами

01. Введение в динамику. Основные определения и понятия. Законы Ньютона.

Динамика изучает движение материальных объектов с учетом причин, вызывающих это движение. Причинами являются силы, которые в динамике рассматриваются как переменные векторные величины.

Для построения динамики требуется предположение о пространстве и времени. Пространство - трехмерное Евклидовое. Время - универсальная величина. Все скорости меньше скорости света. Свойства пространства-времени от движения не зависит.

Материальная точка - тело конечной массы, размерами которого можно пренебречь по сравнению с его движением.

Система материальных точек - совокупность материальных точек, движения которых взаимосвязаны.

Абсолютно твердое тело - тело, у которого расстояние между двумя любыми точками постоянно.

1) Закон Галилея-Ньютона - изолированная материальная точка сохраняет состояние покоя или равномерного прямолинейного движения. Существуют системы отсчета, в которых это движение обнаруживается, значит выполняется закон инерции. Такие системы называется инерциальными. Изолированная точка означает, что она не взаимодействует с другими телами, т.е. сила действия на точку равна нулю. F=0 следственно a=0.

2) Закон Ньютона - ускорение приобретаемое точкой под действием силы пропорционально этой силе и направлено в сторону действия силы. ma=F

3) Закон Ньютона - две материальные точки взаимодействуют с силами равными по величине и противоположными по направлению. F₁=-F₂

Закон независимости действия сил- если на точку действует несколько сил, то ускорение приобретаемое точкой от действия каждой силы будет точно таким же как если бы сила действовала одна.

02. Дифференциальные уравнения движения материальной точки в декартовых координатах. Естественные уравнения движения материальной точки.

В инерциальной системе отсчета движется материальная точка массой m под действием n сил. ma= ∑F_k

Получим уравнение движения материальной точки. Для этого второй закон ньютона проектируем на оси координат.

1) в произвольном положении изобразить точку в системе координат

2) приложить все силы, действующие на точку.

3) составить в векторном виде второй закон Ньютона

4) спроектировать второй закон Ньютона на оси координат.

Часто систему уравнений движения составляют в естественной форме, для этого второй закон Ньютона проектируют на оси естественного трехгранника:

m*a_τ = ∑ F_kτ а_τ = dV/dt

m*a_n= ∑ ∑ F_kn а_n = V²/ р_о

m*a_b = ∑ F_kb ab=0

04. Механическая система материальных точек. Классификация сил, действующих на систему. Свойства внутренних сил.

Механическая система материальных точек - такая их совокупность в которой движение каждой точки зависти от движения остальных. Движение зависит от движения. Не всякий набор материальных точек является механической системой. Систему выбирает исследователь.

Пусть выбрана мех.система, силы действующие на неё разделяются на две части - на силы внешние и силы внутренние.

Внешние - силы, действующие со стороны точек или тел не входящих в механическую систему.

Внутренние - силы, действующие со стороны точек или тел, входящих в механическую систему.

Свойства внутренних сил:

1) Главный вектор внутренних сил равен нулю. ∑ F_kⁱ = 0

Доказательство - имеется произвольная механическая. F₁+F₂=0. Складываем все точки системы, получаем ноль.

2) Главный момент внутренних сил относительно произвольного центра всегда равен нулю. Внутренние силы механической системы всегда уравновешены.

∑ m_o (F_kⁱ) = 0

Вывод - внутренние силы механической системы всегда уравновешены.

05. Масса механической системы. Центр масс.

Считается, что масса каждой точки известна, масса системы - ∑ масс.

Масса считается аддитивной величиной.

Центр масс механической системы - геометрическое понятие, характеризующее распределение масс в механической системе. Определяется по аналогии с центром тяжести.

Радиус вектор центра масс - это ∑ произведений массы каждой точки на её радиус-вектор, деленная на массу механической системы. Если эту формулу спроектировать на оси, то получатся координаты центра масс. Если масса в теле распределена непрерывно, то суммы переходят в интегралы.

Если поле неоднородно, то нельзя вычислить ЦМ. Предполагается, что тело намного меньше Земли и силы тяжести параллельны. Центр тяжести приближенное понятие. В н.у. ЦТ=ЦМ.

06. Количество движения материальной точки и механической системы. Выражение количества движения системы через скорость центра масс.

q=mV [кг*м/с Н*с]

Q=∑ m_k*V_k

Вектор Q не полностью описывает движение (например вообще не описывает вращательную часть движения)

Чтобы вычислить вектор количества движения нужно знать скорость каждой точки, поэтому часто используют связь вектора Q с движением центра масс. Q=MV_c. Qx=MVx. Qy=MVy. Qz=MVz. Q=sqrt(Qx*Qx+Qy*Qy+Qz*Qz)

07. Теоремы об изменении количества движения материальной точки.

В инерциальной системе отсчета под действием сил движется точка. Выполняется второй закон Ньютона .

ma=∑F_k

08. Теоремы об изменении количества движения механической системы.

Движется МС, состоящая из материальных точек, связанных друг с другом. q_k=m_kV_k.

Для каждой точке выполняется: d/dt*(m_kV_k)=F_k^e+F_kⁱ. Таких теорем, сколько точек - складываем их все. dQ/dt=∑F_k^e.

Производная по времени от главного вектора количества движения механической системы равняется главному вектору внешних, действующих на систему. Используется в проекциях.

Замечание: явно в теорему входят только внешние силы, т.е. изменить количество движения системы только внутренними силами невозможно - обязательно наличие внешних сил. Удобство в том, что часто выбором механической системы можно спрятать неизвестные силы во внутренние.

Теорема используется также в дифференциальной и интегральной формах.

dQ = ∑ dS_k^e - дифф форма

Q-Q_o = ∑ S_k^e - интегральная форма

Связь с теоремой о движении центра масс:

Q=MV_c

d/dt * (MV_c) = ∑ F_k^e

M * dV_c/dt = ∑ F_k^e

M*a_c = ∑ F_k^e

08. Закон сохранения количества движения системы.

∑ внешних сил равна нулю. Вектор количества движения - константа.

Примеры: пушка со снарядом, вертолет. В роли снаряда выступает окружающая среда, а в роли ствола - устройство с винтом.

08. Применение теоремы об изменении количества движения к сплошной среде. Теорема Эйлера.

dQ/dt=∑F_k

Рассмотрим течение жидкости в некотором объеме.

1) Выделим объем, для удобства представим его в виде трубы переменного сечения, этот объем является механической системой для которой выполняется теорема.

2) Все внешние силы, действующие на объем разделим на 2 части. ∑F_k^e=F_об+F_пов

Объемные силы - внешние силы, действующие на каждую частицу объема, где бы она не находилась. "точкой" будет элементарный объем (силы поля)

Поверхностные силы - действующие на частицы, находящиеся на поверхности (реакции, трения).

3) Сделаем некоторые гидравлические приближения:

3.1) В сечении входа скорости каждой частицы жидкости одинаковые и перпендикулярны сечению входа, аналогично с сечением выхода.

3.2) Известны площади и плотности.

3.3) Соотношение неразрывности или сплошность образует величину на входе.

M₁=S₁γ₁V₁ [кг/с] - это величина называется секущей массой, т.е. количество вещества протекающего в секунду через поперечное сечение 1.

M₂=S₂γ₂V₂. Считается, что в выделенном объеме нет дополнительных источников и стоков. Выполняется закон сохранения массы. М₁=М₂

Т.Эйлера - при течении сплошной среды в выделенном объеме векторная ∑ поверхностных и объемных сил и секундных количеств движения направленных внутрь выделенного объема равна нулю.

M₁V₁-M₂V₂+F_пов+F_об = 0

09. Теорема о движении центра масс системы.

В любой момент времени t, все радиус-векторы функции времени.

Вектор скорости центра масс - ∑ произведений массы каждой точки на скорость, деленную на массу системы.

Движется механическая система в инерциальной системе отсчета. Система состоит из точек k=1,2...n масса точек постоянна, на каждую точку действуют внешние и внутренние силы. Для каждой точки выполняется второй закон Ньютона m_ka_k=F_k^e+F_kⁱ Сложим все вторые законы Ньютона по всем точкам. Это главный вектор внутренних и внешних сил. ∑ F_kⁱ=0 всегда. Левая часть выражается через ускорение центра масс ∑ m_ka_k=Ma_c.

Ma_c=∑F_k^e.

Центр масс механической системы движется как материальная точка с массой равной массе всей системы под действием внешних сил действующих на систему.

Примечания:

1) Внутренние силы явно в теорему не входят, это значит, что засчет внутренних сил нельзя сдвинуть центр масс системы, обязательно наличие внешних сил.

2) Внутренние силы оказывают влияние на движение системы, изменяя или перераспределяя внешние силы.

3) Удобство в том, что удачным выбором МС можно спрятать во внутренние силы неизвестные нам силы.

4) Нельзя найти внутренние силы.

5) Теорема дает критерий - какие мех.системы можно считать материальными точками. Пусть механическая система движется поступательно, тогда a_k=a_c у всех точек и совпадает с ускорением центра масс, тогда центр масс движется как любая другая точка, а это значит, если механическая система движется поступательно, то теорема полностью описывает движение каждой точки и механическую систему можно считать материальной точкой с массой равной массе всей системы.

09. Закон сохранения движения центра масс системы. Вычисление перемещений точек системы.

1) Главный вектор внешних сил равен нулю.

∑ F_k^e = 0 a_c=0 dV_c/dt=0 V_c=const

Если главный вектор внешних сил действующих на систему равен нулю, то сохраняет свою величину и направление вектор скорости центра масс. Пусть теперь на промежутке времени

∑ F_k^ex=0 Mx"_c = ∑ F_k^ex x"_c=0 dV_cx/dt=0

V_cx=const

Если на промежутке времени ∑ проекций внешних сил на ось равна нулю, то сохраняется величина скорости центра масс в этом направлении, если дополнительно в t=0 центр масс покоится, то x_c-const.

Формула абсолютного перемещения:

∑ m_k*∆x_k = 0

В условиях сохранения координаты центра масс, ∑ произведений всех точек системы на их абсолютное перемещение равно нулю.

10. Понятие о моменте инерции твердого тела. Радиус инерции.

Момент инерции — скалярная физическая величина, мера инертности во вращательном движении вокруг оси, подобно тому, как масса тела является мерой его инертности в поступательном движении. Характеризуется распределением масс в теле: момент инерции равен сумме произведений элементарных масс на квадрат их расстояний до базового множества (точки, прямой или плоскости).

Рассмотрим осевые моменты инерции твердых тел. Дана механическая система из материальных точек _k=1,2...n у каждой точки своя масса m_k

Определим осевой момент инерции относительно оси z. J_z=∑ m_k*h_k^2 - эта ∑ произведений масс каждой точки на квадрат расстояния от точки до оси [кг*м*м], неотрицательная величина. Аналогично для других осей. Удобнее в системе координат выражать осевые моменты инерции через координаты точек.

Если в механической системе массы распределены непрерывно, то суммы превращаются в интегралы.

Дано тело. Точкой в теле будут элементарный объем.

Теоретическое определение осевых моментов инерции вещь весьма сложная. Во многих случаях осевые моменты инерции определяют экспериментально, используя теорему об изменении кинетического моменты. Вводят радиус инерции тела относительно оси.

Jz=mr^2

iz=sqrt(Jz/M) [м]

Радиус инерции относительно оси - это расстояние от оси до такой геометрической точки, в которую надо поместить материальной точку с массой равной массе тела, чтобы её осевой момент инерции равнялся осевому моменту инерции тела.

Простейшие тела - тела с однородным распределением масс и простейшей формы.

11. Теорема о моментах инерции относительно параллельных осей.

Теорема Гюйгенса — Штейнера, или просто теорема Штейнера: момент инерции тела относительно произвольной оси равен сумме момента инерции этого тела относительно параллельной ей оси, проходящей через центр масс тела, и произведения массы тела на квадрат расстояния между осями:

J=J_c+md^2

Где J_c — известный момент инерции относительно оси, проходящей через центр масс тела,

J — искомый момент инерции относительно параллельной оси,

m — масса тела,

d — расстояние между указанными осями.

Т.к величины положительны, из теоремы следует, что осевой момент инерции относительно оси проходящей через центр масс наименьший. Это одна из причин по которым центр масс поместить в ось вращения.

Дано тело с известным центром масс. Возьмем оси координат с началом в этом центре. Известен осевой момент инерции тела J_zc. Ось z сдвинута до d. Найти новый J_z.

12. Момент количества движения материальной точки относительно оси.

Определим момент вектора количества движения относительно центра (определяется точно также как момент вектора силы)

m_o(mV)=mVh - перпендикулярно плоскости поворота!

В статике доказывалось, что проекция вектора момента на ось равна моменту относительно оси. Вычисляется по правилу нахождения моментов относительно оси.

Введем радиус-вектор точки r. И вспомним, что момент вектора это произведение радиус-вектора на вектор. m₀(mV)=r x mV

Момент вектора количества движения принято называть кинетическим моментом.

12.Теорема об изменении момента количества движения материальной точки.

В инерциальной системе отсчета движется материальная точка под действием сил, тогда выполняется теорема об изменении количества движения этой материальной точки.

d(mV)/dt=∑ Fк.

Умножим векторно левую и правую часть на радиус-вектор точки.

Производная по времени от кинетического момента материальной точки равна главному моменту сил, действующих на точку.

В теореме все моменты вычисляются относительно неподвижного центра. Используется в проекциях на оси.

Проекция вектора момента на ось равна моменту относительно этой оси.

Производная по времени от кинетического момента точки относительно оси равна сумме моментов сил относительно оси.

13. Кинетический момент материальной точки и системы. Теорема об изменении кинетического момента механической системы относительно центра и оси. Закон сохранения кинетического момента механической системы относительно центра и оси.

Кинетическим моментом  материальной точки относительно некоторого центра О называется векторная величина, равная векторному произведению радиус-вектора, определяющего положение этой точки относительно центра О, на количество движения точки

Кинетическим моментом механической системы относительно центра О называется геометрическая ∑ кинетических моментов всех точек системы относительно того же центра

 , k = 1, 2, ... , n

С учетом того, что

 ,

поскольку , получаем

 , k = 1, 2, ... , n .

Сложим почленно все эти n уравнений

 .

Меняя местами в левой части последнего уравнения операции суммирования и дифференцирования, получаем теорему об изменении кинетического момента:

 

16. Дифференциальные уравнения плоскопараллельного движения твердого тела.

Плоским или плоскопараллельным движением твердого тела называется такое движение, при котором каждая точка тела движется в плоскости, параллельной некоторой неподвижной плоскости.

Положение тела, совершающего плоскопараллельное движение, определяется в любой момент времени положением полюса и углом поворота вокруг полюса. Задачи динамики решаются проще, если за полюс принять центр масс C тела и определять положение тела координатами x_c и xy и углом ф.

Пусть на тело действуют внешние силы F^e₁, F^e₂, F^e_n, лежащие в плоскости этого сечения. Тогда уравнения движения точки находим по теореме о движении центра масс C:

Ma_c = ∑ F_k^e (1)

где a_c - ускорение центра масс, а вращательное движение вокруг центра C будет определяться уравнением:

I_c^E=M_c^e

где I_c и M_c^e - соответственно момент инерции тела и главный момент внешних сил относительно оси, проходящей через центр масс C перпендикулярно плоскости Oxy.

Спроектировав обе части равенства (1) на координатные оси, окончательно получим:

M*x"_c = ∑ F_kx^e

M*y"_c = ∑ F_ky^e

I_c*ф" = ∑ m_c*(F_k^e)

где М - масса тела; x"_c и y"_c - проекции ускорения центра масс на координатные оси.

Уравнения (3) представляют собой дифференциальные уравнения плоскопараллельного движения твердого тела. Интегрируя эти дифференциальные уравнения второго порядка, найдем x_c, y_c и ф в функциях от времени t и, следовательно, найдем движение тела.

17. Кинетическая энергия материальной точки и системы. Кинетическая энергия твердого тела при поступательном, вращательном и плоском движении.

Зависит только от величины вектора скорости, а не от его направления.

Кинетическая энергия системы - ∑ кинетических энергий точек, входящих в систему.

Т=∑ mкVк^2/2

Вычисление зависит от типа движения системы.

1) Поступательное.

V_k=V_c T=1/2 * ∑m_k * V_c^2= MV_c^2 * 1/2

2) Вращательное

Т=1/2 * ∑ m_k*V_k^2= 1/2 * (∑ m_kh_k^2) * w^2 = 1/2*J_z*w^2

3) Плоское движение системы

При плоском движении тела происходит поступательное движение вместе с полюсом с одновременным вращением.

Т=1/2 * J_zcv * w^2

Осевой момент инерции вычисляется относительно оси проходящей через мгновенный центр скоростей и зависит от времени. Через центр масс проведем ось.

T=1/2MV_c^2+1/2Jz_cw^2

Если центр масс участвует в сложном движении, то V_c абсолютная скорость.

18.Элементарная работа силы. Аналитическое выражение элементарной работы силы. Работа силы на конечном пути. Работа равнодействующей.

Работа силы характеризует такое её действие, при котором изменяется скорость точки по величине, но не по направлению.

Силы рассматриваются переменными и потому сначала вводится элементарная работа силы.

Элементарная работа силы - алгебраическая величина, равная произведению проекции силы на касательную к траектории, на элементарное перемещение точки. dA=FτdS=FcosαdS [Н*м]=[Дж]

dA=Fcosα*dS=|F|cosα*|dr|=F*dr

dA=F*dr

dr=Vdt

dA=FVdt

Работа равнодействующей силы. dA =F*dr=(∑F_к)*dr=F₁dr+F₂dr...+F_ndr=dA₁+dA₂...+dA_n. Работа равнодействующей силы равна алгебраической сумме работ составляющих сил.

A_mmo= ∫ FVdt - Работа силы зависит в общем случае от траектории.

Работу силы на конечном перемещении можно вычислить только решив задачу о движении, т.е. узнав траекторию точки. Существует класс сил, работа которых не зависит от вида траектории, а зависит только от начального и конечного положения точки в пространстве, такие силы называется потенциальными (силы тяготения, сила упругости, электростатические силы).

Силы зависящие от скоростей движения, не являются потенциальными - их работа зависит от вида траектории (сила трения, сила сопротивления).

20. Мощность силы.

N=dA/dt если A-const N=A/τ [Дж/с]=[Вт] 1Л.С.=736Вт

dA=FVdt

N=FVdt/dt=FV=FVcosα

Мощность силы приложенная к вращательному телу:

dA=m_z(F)dф

N=m_z(F)dф/dt=m_z(F)w

N=m_z(F)w - момент силы относительно оси вращения умножить на угловую скорость

21. Теоремы об изменении КЭ материальной точки и механической системы. Неизменяемые системы.

Дифференциал кинетической энергии точки равен сумме элементарных работ сил действующих на точку:

d(mV^2 * 1/2) = ∑ dA_k

Теорема используется в форме мощности: d/dt * (mV^2 * 1/2) = ∑ N_k

Интегральная форма характеризует изменение кинетической энергии на произвольном промежутке времени: mV^2 * 1/2 - mV0^2 * 1/2 = ∑ A_k. Изменение кинетической энергии точки на произвольном промежутке времени равна сумме работ сил действующих на точку при её перемещении.

dT = ∑ dA_k^e + ∑ dA_kⁱ (dA_kⁱ не равно 0 в общем случае)

dT/dt = ∑ N_k^e + ∑ N_kⁱ

T-T0 = ∑ A_k^e + ∑ A_kⁱ

Изменение кинетической энергии при движении системы равняется сумме работа сил действующих на систему при перемещении.

Механические системы у которых при движении не меняются расстояния между точками называются неизменными (абсолютно твердое тело, нерастяжимые нити и т.д.)

∑ dA_kⁱ = 0