4. Теплопроводность при стационарном режиме

При установившемся или стационарном тепловом режиме температура тела во времени остается постоянной, т.е. .

При этом дифференциальное уравнение теплопроводности будет иметь вид:

. (1.20)

Если, то

. (1.21)

1. Передача теплоты через плоскую стенку ()

Рассмотрим однородную стенку толщиной (см. рис.1.5), коэффициент теплопроводностипостоянен, на наружных поверхностях стенки поддерживается постоянные температурыи.

Рис.1.5. Однородная плоская стенка

При заданных условиях температура будет изменяться только в направлении, перпендикулярном плоскости стенки, т.е. в направлении оси . А в направленииитемпература будет постоянной.

. (а)

Таким образом, уравнение теплопроводности примет вид:

. (1.22)

Граничные условия будут следующими

(б)

Уравнение (а) и условие (б) дают полную математическую формулировку рассматриваемой задачи.

Закон распределения температуры по толщине найдется в результате двойного интегрирования уравнения (1.22).

Первое интегрирование даст:

. (1.23)

После второго интегрирования получим:

, (1.24)

Т.е. температура изменяется по линейному закону.

Используя граничные условия, найдем постоянные интегрирования:

при и

при и

Таким образом, получаем:

. (1.25)

2. Передача теплоты через многослойную стенку, состоящую из n однородных слоев

Допустим, что контакт между слоями совершенный и температура на соприкасающихся поверхностях двух слоев одинакова.

При стационарном режиме плотность теплового потока постоянна и для всех слоев одинакова .

При заданных температурах на внешних поверхностях такой стенки, размер слоев и соответствующих коэффициентов теплопроводности можно составить систему уравнений:

(а)

Сделав преобразования и сложив эти уравнения, получим:

.

Отсюда плотность теплового потока определится:

. (1.31)

Величина есть сумма термических сопротивлений всехслоев, и называется полным термическим сопротивлением теплопроводности многослойной стенки.

Определив по формуле (1.31) и воспользовавшись системой уравнений (а) можно вычислить температуры на границах соприкосновения двух соседних слоев:

(1.33)

3. Теплопроводность через плоскую стенку. Граничное условие третьего рода

Передача тепла из одной подвижной среды (жидкости или газа) к другой через разделяющую их однородную или многослойную твердую стенку любой формы называется теплопередачей.

Теплопередача включает в себя теплоотдачу от более горячей жидкости к стенке, теплопроводность в стенке, теплоотдачу от стенки к более холодной подвижной среде.

Рассмотрим теплоотдачу через однородную стенку.

Рис. 1.6. Теплопередача через плоскую стенку.

Пусть плоская однородная стенка имеет толщину (см. рис.1.6). Заданы коэффициент теплопроводности стенки , температуры окружающей среды и , а также коэффициенты теплоотдачи и ; будем считать, что величины , , и постоянны и не меняются вдоль поверхности. Это позволяет рассматривать изменение температуры жидкостей и стенки только в направлении, перпендикулярном плоскости стенки.

При заданных условиях необходимо найти тепловой поток от горячей жидкости к холодной и температуры на поверхности стенки.

Плотность теплового потока от горячей жидкости к стенке определяется уравнением:

. (1.34)

При стационарном тепловом режиме тот же тепловой поток пройдет путем теплопроводности через твердую стенку:

. (1.35)

Тот же тепловой поток передается от второй поверхности стенки к холодной жидкости за счет теплоотдачи:

. (1.36)

Запишем:

(1.37)

Сложив равенство (1.37) почленно, получим:

.

Отсюда плотность теплового потока, Вт/м²:

. (1.38)

Для многослойной стенки:

. (1.42)

Температуры поверхностей однородной стенки можно найти из системы уравнений (1.37). Из них следует, что:

или

.

Для многослойной стенки:

. (1.44)