5. Коэффициент теплопроводности

Коэффициент пропорциональности в законе Фурье называется коэффициентом теплопроводности. Он является физическим свойством вещества и характеризует его способность проводить теплоту:

. (1.4)

Значение коэффициента теплопроводности представляет собой количество теплоты, которое проходит в единицу времени через единицу площади изотермической поверхности при температурном градиенте, равном единице. В общем случае коэффициент теплопроводности зависит от рода вещества, температуры и давления.

Для большинства материалов зависимость коэффициента теплопроводности от температуры может быть выражена линейной формулой:

(1.5)

где – коэффициент теплопроводности при температуре ; – температурная постоянная, определяемая опытным путем.

Ниже приведены значения коэффициента теплопроводности для различных материалов:

1) для газов лежит в пределах 0,005÷0,5 Вт/(м·С);

2) для жидкостей лежит в пределах 0,08÷0,7 Вт/(м·С);

3) для электроизоляционных материалов, Вт/(м·С):

- пропитанная кабельная бумага ;

- полиэтилен ;

- поливинилхлорид ;

- резина ;

- минеральное масло .

4) для металлов лежит в пределах 20÷400 Вт/(м·С):

- серебро ;

- медь ;

- золото ;

- алюминий ;

- железо .

Материалы, у которых коэффициент теплопроводности Вт/(м·С), называются теплоизоляционными.

2. Дифференциальное уравнение теплопроводности

В основу вывода дифференциального уравнения теплопроводности положен закон сохранения энергии, который в рассматриваемом случае может быть сформулирован следующим образом: количество теплоты , введенное в элементарный объем извне за время вследствие теплопроводности, а также от внутренних источников теплоты, равно изменению внутренней энергии вещества, содержащегося в элементарном объеме:

, (1.6)

где – количество теплоты, Дж, введенное в элементарный объем извне путем теплопроводности за время ; – количество теплоты, которое за время выделилось в элементарном объеме за счет внутренних источников; – изменение внутренней энергии содержащейся в элементарном объеме , за время .

Дифференциальное уравнение энергии

. (1.7)

В твердых телах перенос теплоты осуществляется по закону Фурье

.

Проекции вектора плотности теплового потока на координатные оси , , определяются выражениями

;;.

Подставляя полученные выражения проекций вектора плотности теплового потока в уравнение (1.7), получим:

. (1.8)

Выражение (1.8) называется дифференциальным уравнением теплопроводности. Оно устанавливает связь между временным и пространственным изменениями температуры в любой точке тела, в котором происходит процесс теплопроводности.

Если принять, что теплофизические характеристики постоянны, то:

. (1.9)

В уравнении (1.9) можно обозначить:

и

где – выражение оператора Лапласа в декартовой системе координат;– коэффициент температуропроводности, являющийся мерой тепловой инерции вещества,.

Тогда

. (1.10)

Выражение в цилиндрической системе координат имеет вид:

,

где – радиус-вектор;– полярный угол;– аппликата.

Если система тел не содержит внутренних источников тепла (), тогда уравнение (1.10) принимает форму уравнения Фурье:

. (1.11)

Уравнение теплопроводности для стационарного режима, но с внутренним источником тепла превращается в уравнение Пуассона:

. (1.12)

При стационарной теплопроводности и отсутствии внутренних источников теплоты уравнение (1.9) примет вид уравнения Лапласа:

. (1.13)