4.3.2. Корневые методы оценки показателей качества

Корневые методы для определения косвенной оценки показателя качества используют корни характеристического уравнения замкнутой системы и их расположения на комплексной плоскости.

Передаточная функция любой системы может быть представлена в следующем виде:

,

где _i – это нули передаточной функции; _i – полюса передаточной функции (корни характеристического уравнения).

_i определяет устойчивость системы и качество переходных процессов, _i определяет только качество переходных процессов.

4.3.2.1. Влияние полюсов передаточной функции на качество переходных процессов

Каждому полюсу _i на комплексной плоскости соответствует определенная точка. Данные корни определяют на плоскости следующую замкнутую плоскость.

В

корневых методах используют так называемыекорневые показатели, определяемые по расположению корней

р₁, р₂, …, р_п характеристического уравнения замкнутой системы на комплексной плоскости.

1. Наиболее общим корневым показателем качества является среднее геометрическое значение модулей корней

,

которое легко вычисляется через крайние коэффициенты характеристического уравнения.₀ определяет центр расположения всех корней характеристического уравнения и влияет на быстродействие системы. Чем меньше показатель ₀, тем ближе «созвездие» корней к мнимой оси и тем больше длительность переходного процесса.

Пусть : Чем ближек мнимой оси, тем ближе САУ к границе устойчивости. Поскольку- где - передаточный коэффициент разомкнутого контура для астатических систем, а - для статических систем.

Чем выше коэффициент усиленияk, тем лучше быстродействие системы.

2) Расстояние от мнимой оси до действительной части ближайшего к ней корня называется степенью устойчивости .

3) Колебательные свойства системы регулирования предопределяет k–ая пара комплексных корней , для которой наибольшее отношение

или наибольший угол  между действительной осью и лучами, соединяющими начало координат с этими корнями. В данном случае такой парой являются комплексные корни р₂ и р₃.

Отношение _д мнимой части  к действительной части  доминирующей пары комплексных корней называют степенью колебательности.

В практических расчетах чаще используют корневой показатель колебательности

,

также определяемый через доминирующую пару комплексных корней. При выборе настроек регуляторов стремятся получить значения .

4) Абсолютное значение  действительной части корня, наиболее удаленного от мнимой оси.

4.3.2.2. Связь степени устойчивости с быстродействием системы

Степень устойчивости  характеризует в переходном процессе самую медленную составляющую, поэтому быстродействие (время переходного процесса) в значительной мере зависит от .

Допустим, что  определяет апериодическую составляющую переходного процесса (ближайший корень действительный). Будем считать, что установившееся время . Это означает, что весь переходный процесс

Здесь ∆ - это числовая характеристика, показывающая, во сколько раз изменилась величина С во времени (0;).

Для типовых систем ∆ задается (∆=0,05) и тогда время переходного процесса составляет

,

т.о. t_ПП в таких случаях будет определяться только степенью устойчивости t_ПП=f().

Если ближайший к мнимой части корень комплексный, то это определяет колебательную составляющую