Изображение периодического оригинала.

Если оригинал является периодической функцией с периодом , то есть выполняется условие, то изображение такой функции находится по формуле:

и определено в области:

Найти изображение периодической функции с периодом , график которой изображен на рисунке.

Аналитическая запись функции на интервале периода следующая:

Период функции . Применив формулу для изображения периодического оригинала и учитывая, чтона интервале от0 до 1 равна нулю, запишем:

Найти изображение периодической функции, график которой изображен на рисунке.

Период функции . Аналитическая запись функции на интервале периода следующая:

На основании формул для периодически определенного оригинала находим:

Интегрируя по частям, получим:

Произведя все необходимые вычисления, окончательно перейдем к следующему выражению:

Задачи на расчет электрических контуров.

В электротехнике рассматривается модель устройства и организация ее функционирования на основе работы базовых электротехнических устройств, используемых в быту и промышленности. Как известно для того, чтобы электротехническое устройство работало, должна быть создана электрическая цепь, задача которой передать электрическую энергию данному устройству для обеспечения требуемого ему режима работы.

Электрической цепью называется совокупность устройств и объектов, образующих путь для электрического тока, электромагнитные процессы в которых могут быть описаны с помощью понятий об электрическом токе, ЭДС (электродвижущая сила) и электрическом напряжении.

Все устройства и объекты, составляющие электрическую цепь, могут быть разделены на три группы:

1. Источники электрической энергии (питания). Общим свойством всех таких источников питания является преобразование какого-либо вида энергии в электрическую. Источники, в которых происходит преобразование неэлектрической энергии в электрическую, называются первичными источниками. Вторичные источники – это такие источники, у которых и на входе, и на выходе – электрическая энергия (например, выпрямительные устройства).

2. Потребители электрической энергии. Общим свойством всех потребителей является преобразование электроэнергии в другие виды энергии (например, нагревательный прибор). Иногда потребители называют нагрузкой.

3. Вспомогательные элементы цепи. Соединительные провода, коммутационная аппаратура, аппаратура защиты, измерительные приборы и т.д., без которых реальная цепь не может функционировать в требуемом режиме.

Все элементы цепи участвуют в одном электромагнитном процессе. Расчет и анализ электрических цепей производится на основе: закона Ома, первого и второго законов Кирхгофа. Эти законы позволяют устанавливать взаимосвязь между значениями токов, напряжений, ЭДС всей электрической цепи и отдельных ее участков и параметрами элементов, входящих в состав этой цепи.

В математических приложениях, как правило, для вычисления значения переходного тока используют второй закон Кирхгофа. Приведем его формулировку.

Формулировка второго закона Кирхгофа.

В любом замкнутом контуре электрической цепи алгебраическая сумма ЭДС равна алгебраической сумме падений напряжений на всех его участках ,где n – число источников ЭДС в контуре; m – число элементов с сопротивлением в контуре; – напряжение или падение напряжения на k-ом элементе контура.

При записи уравнений по второму закону Кирхгофа необходимо:

1) задать условные положительные направления ЭДС, токов и напряжений;

2) выбрать направление обхода контура, для которого записывается уравнение;

3) записать уравнение, пользуясь одной из формулировок второго закона Кирхгофа, причем слагаемые, входящие в уравнение, берут со знаком «плюс», если их условные положительные направления совпадают с обходом контура, и со знаком «минус», если они противоположны.

Таким образом, второй закон Кирхгофа позволяет выписать интегро-дифференциальное уравнение для силы тока :

,

здесь - индуктивность катушки,- суммарное сопротивление,- ёмкость конденсатора,- суммарное напряжение на конденсаторе в момент времени().

Для того чтобы найти выражения переходных токов, целесообразно перейти к изображению интегро-дифференциального уравнения Кирхгофа, то есть построить соответствующее операторное уравнение. Для осуществления данного перехода необходимо найти начальные условия , учитывая условия конкретной задачи. После чего, с помощью элементарных алгебраических преобразований выразим изображение переходного тока. Последний этап решения задач рассматриваемого вида сводится к отысканию оригинала для найденного изображения переходного тока.

Сила тока удовлетворяет уравнению , найти, если,,,,,.

Дифференциальное уравнение Кирхгофа для этой задачи имеет вид:

.

Решим это уравнение операторным методом. Будем полагать, что . Образом уравнения является следующее равенство:

Найдем оригинал получившегося изображения, разложив дроби на простые слагаемые методом неопределенных коэффициентов. Представим наше изображение в виде суммы трех изображений:

Приведем данное выражение к общему знаменателю и приравняв числители в двух представлениях одного и того же изображения получим равенство:

Таким образом, мы отыскали изображение тока, для того чтобы довести задачу до ответа необходимо найти оригинал этого изображения. Оригиналом получившейся разности, в силу линейности преобразования Лапласа, будет сумма трех оригиналов слагаемых, следовательно, .

Заметим, что часто встречающейся является ошибка неверного определения изображений функций, находящихся в правой части уравнения Кирхгофа, так что на этот момент решения следует обратить серьёзное внимание.

Контур подключен к постоянной э.д.с. (см. рис.) При установившемся режиме включается рубильники накоротко замыкает сопротивление. Найти выражение переходного тока..

Дифференциальное уравнение Кирхгофа до включения рубильника в данном случае имеет вид:

Согласно постановке задачи . Решим это уравнение операционным методом, предполагая, что.

.

Найдем оригинал получившегося изображения, разложив дроби на простые слагаемые методом неопределенных коэффициентов:

Таким образом, .

Установившийся ток в контуре до включения рубильника есть. Дифференциальное уравнение Кирхгофа после замыкания рубильникаимеет вид:

.

Решим это уравнение операционным методом.

.

Как и в предыдущем случае воспользуемся методом неопределенных коэффициентов для разложения изображения на слагаемые.

Оригиналом получившейся разности, как нетрудно заметить, будет .

Ниже приведены варианты контрольной работы.