Операционное исчисление

Один из многочисленных способов решения обыкновенных линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами основан на рассмотрении операции дифференцирования неизвестной функции как некоторого оператора: .

Описывая свойства и операции, возможные для оператора , получим возможность построения решения дифференциальных уравнений, их систем и интегро-дифференциальных уравнений методами линейной алгебры. Предложенный метод называют символическим или операторным.

В условиях операционного исчисления оператору придают смысл произвольной комплекснозначной переменной, связанной с неизвестной функциейпреобразованием Лапласа. В этом случае переход от дифференциального уравнения к алгебраическому уравнению осуществляется операциями умножения и интегрирования, отсюда и название метода. Определяющим в этом переходе является интегрирование, что породило и другое название предлагаемого метода – интегральное преобразование.

Оригинал. Изображения. Преобразование Лапласа.

Нахождение изображений.

Комплекснозначная функция действительного переменного называетсяоригиналом, если она удовлетворяет следующим трём условиям:

1. для всех;

2. – абсолютно интегрируема на любом отрезкеположительной полуоси;

3. существуют действительные числа ,и, такие, чтопри всех.

Выбор описанных выше условий обусловлен рядом причин:

1. В класс рассматриваемых функций должны попасть все функции, получаемые в качестве частных решений линейных неоднородных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами, в правой части которых стоят функции того же класса, при произвольных начальных условиях, заданных для некоторого начального значения аргумента. Последнее всегда можно считать нулевым. Это и позволяет наложить условие 1, так как поведение решения нужно знать лишь для значений аргумента, больших начального. Отметим, что для решений линейных дифференциальных уравнений рассматриваемого вида оно оказывается выполненным автоматически.

2. Ко всем функциям рассматриваемого класса нужно иметь возможность применять преобразование Фурье. Последнее, при выполнении условия 2, снова потребует наложения условия 1 (чтобы функция , где, при всякомбыла абсолютно интегрируема вдоль всей оси, включая ее отрицательную часть) и условия 3.

К функции , нельзя применить формулу Фурье, так как она не является абсолютно интегрируемой вдоль всей оси. Но при этом, вспомогательная функцияуже будет обладать этим свойством.

Простейшим оригиналом является функция Хевисайда, определяемая следующим образом:

Заметим, что если функция удовлетворяет условиям 2 и 3, то функция удовлетворяет условиям 1-3, то есть является оригиналом. Для упрощения записи в дальнейшем, за редким исключением, сомножительбудем опускать и вместобудем записывать просто.

Итак: пусть – оригинал, а– комплексное число.Изображением оригинала называется функция, определяемая равенством: .

Функция называется такжепреобразованием Лапласа от функции .

Отметим, что несобственный интеграл в определении изображения сходится для значений , удовлетворяющих условию, а определяемая им функцияявляется аналитической в полуплоскости.

Обычно используют следующие обозначения: тот факт, что является изображением оригинала, записывается так:,или.

Утверждение 1 (единственность изображения). Если оригиналы инепрерывны и имеют одно и то же изображение, то функцииисовпадают.

Прежде чем говорить об остальных свойствах оригиналов и изображений, условимся обозначать изображение оригинала той же буквой, только заглавной (;) и т.п.

Утверждение 2 (свойство линейности). Любой линейной комбинации оригиналов в качестве их изображения соответствует такая же линейная комбинация их изображений. Так, например, для произвольных комплексных постоянных исправедливо соотношение:.

Утверждение 3 (о подобии). Для любого действительного справедливо соотношение:.

Утверждение 4 (о смещении аргумента). Для любого комплексного числа имеет место следующая связь между оригиналом и изображением:.

Утверждение 5 (о запаздывании аргумента). Для любого действительного числа имеет место соотношение: .

Утверждение 6 (о дифференцировании оригинала). Если функция и ее производные являются оригиналами и, то

,

,

.

Утверждение 7 (о дифференцировании изображения) Если ,то. В общем случае,.

Выпишем частные случаи этого утверждения: .

Утверждение 8 (об интегрировании оригинала). Если , то

.

Утверждение 9 (об интегрировании изображения). Если и интегралявляется сходящимся, то.

Утверждения о дифференцировании и интегрировании оригиналов демонстрируют тот факт, что эти операции сводятся соответственно к умножению и делению на их изображений.

Приведем таблицу изображений некоторых основных функций (как и ранее будем считать, что и– комплексные числа,– натуральное число).

Таблица изображений некоторых элементарных оригиналов.

Приведем примеры использования определения и результатов утверждений для нахождения изображений.

Найти изображение функции , используя преобразование Лапласа.

Подчеркнем, что является оригиналом. Так какдля всех, то изображениеэтой функции будет определено и аналитично в полуплоскости. Далее находим:

.

Используя таблицу изображений и свойство линейности преобразования Лапласа найти изображения оригинала:

По таблице изображений найдем: .

.

Найти изображение функции , воспользовавшись свойством дифференцирования изображений.

Воспользовавшись таблицей изображений, запишем:

.

Тогда по теореме о дифференцировании получим:

.

Последовательно вычисляя производные, находим:

и далее .

Окончательно запишем: .

Найти изображение функции .

Можно, вычислив интеграл, найти изображение по таблице изображений. Однако в данном случае проще воспользоваться теоремой об интегрировании оригинала. Действительно, имеем: . Тогда по теореме обинтегрировании оригинала имеем право, записать:

.

Свертка функций. Отыскание оригинала по изображению. Сверткой функций будем называть функцию .

Отметим, что операция свертывания обладает свойством коммутативности: , то есть .

Утверждение 10 (об умножении изображений, или теорема о свертке). Пусть ;. Тогда.

Таким образом, изображением свертки двух оригиналов является произведение их изображений.

Найти свертку функций и:

Приведем два способа решения этой задачи.

Первый способ. Воспользуемся таблицей изображений: и.

Воспользовавшись теоремой о свертке, запишем: .

Итак, изображение свертки найдено. Найдем саму свертку. Для этого, как и в предыдущей задаче, с помощью метода неопределенных коэффициентов представим дробь в виде суммы простейших дробей: . Тогда по таблице изображений запишем:.

Второй способ. Вычислим свертку функций, воспользовавшись определением: .

Интегрируем по частям: . Следовательно,.

Теперь по таблице изображений находим изображение свертки: .

Итак, нами получен тот же результат.

Пользуясь теоремой о свертке, найти оригинал изображения: .

Представим изображение в виде произведения. По теореме о свертке имеем:. Найдем теперь свертку функцийи:

.

Таким образом, .

Заметим, что в данном случае оригинал можно было найти и по таблице изображений.

При нахождении оригиналов по заданным изображениям можно использовать несколько приемов.

Первый состоит в том, что изображение представляется в виде суммы элементарных дробей, каждая из которых является изображением простых оригиналов. Далее, используя таблицу оригиналов и свойство линейности преобразования Лапласа, находят оригинал, соответствующий исходной дроби.

Второй способ состоит в том, чтобы представить дробь в виде произведения дробей, каждая из которых является изображением некоторой функции, и применить теорему о свертке.

Третий способ основан на следующем утверждении:

Утверждение 11 (о разложении). Пусть функция представляет собой правильную рациональную дробь, имеющую полюсы в точках, где. Тогда оригиналом для неё служит функция, где сумма берется по всем полюсам.

Отметим, что данное утверждение допускает некоторое упрощение в случае, когда

а) все корни многочлена, стоящего в знаменателе изображения имеют кратность единица: ,

б) корни многочлена, стоящего в знаменателе изображения кратные:

, .

Приведем примеры использования вышеперечисленных идей при решении задач.

Найти оригинал изображения: .

При работе с первым слагаемым по таблице изображений находим: . Поэтому, по свойству линейности преобразования Лапласа, находим соответствующий оригинал:.

Аналогично преобразуем второе слагаемое в выражении: .

Для нахождения оригинала, соответствующего третьему слагаемому выделим полный квадрат в знаменателе:. С учетом этого запишем:. Окончательно для этого слагаемого получим:.

Для нахождения оригинала, соответствующего последнему слагаемому , воспользуемся утверждением запаздывания оригинала. Так как оригиналдля функции:, то, применив теперь теорему запаздывания оригинала, имеем

Итак, оригинал, соответствующий нашему изображению имеет вид:

.

Найти оригинал изображения: .

Представим дробь в виде суммы простейших дробей .

Воспользуемся стандартной техникой нахождения неопределенных коэффициентов . Приведем правую часть равенства к общему знаменателю. Тогда дроби равны, знаменатели равны, а значит, и числители равны:.

Слева и справа у нас многочлены. По теореме о равенстве двух многочленов два многочлена равны тогда и только тогда, когда равны коэффициенты при одинаковых степенях неизвестного. Тогда запишем соответствующую систему и вычислим коэффициенты разложения:

.

Таким образом, исходную дробь представим в виде .

Следовательно, .

Проиллюстрируем теперь использование теоремы о разложении для нахождения оригиналов, соответствующих изображениям.

Пользуясь теоремой о разложении, найти оригинал изображения:.

Функцияимеет полюсы второго порядка:,и полюс первого порядка. Тогда по тереме о разложении оригиналом дляслужит функция. Вычислим соответствующие вычеты.

,

,

.

Следовательно, имеем право, записать

.

Найти оригинал изображения:.

Заметим, что все корни знаменателя действительные и простые.

При этом , аи.

Итак, корни многочлена знаменателя: .

Найдем соответствующие коэффициенты: ,,,.

Следовательно, .

Приведем также пример ситуации с кратными корнями.

Найти оригинал изображения:.

Разложение изображения на простые дроби имеет вид:.

Найдем коэффициенты этого разложения

;

;

;

;

??????????

Методы операционного исчисления удобно использовать при решении некоторых дифференциальных и интегро-дифференциальных уравнений, а также систем таких уравнений. При этом предполагают, что в правой части такого уравнения стоит оригинал некоторой функции. Приведем примеры использования утверждений, касающихся свойств оригиналов и изображений.

Найти частное решение дифференциального уравнения

.

_{Пусть функция , удовлетворяющая данному уравнению имеет изображение: . Тогда воспользовавшись утверждением о дифференцируемости оригинала запишем:}

_{, а .}

Правая часть уравнения преобразуется следующим образом:

_.

Приходим к операторному уравнению: _.

Выразим из полученного уравнения изображение _{частного решения дифференциального уравнения:}

_.

_{Найдем разложение получившейся дроби на сумму дробей, представляющих собой оригиналы элементарных функций.}

_.

_{Следовательно, решение исходной задачи Коши.}

Найти общее решение дифференциального уравнения .

_{Выберем произвольные начальные условия задачи Коши. Пусть . И пусть . Тогда}

_{и , кроме того . И соответствующее операторное уравнение имеет вид: .}

_{Выразим отсюда :}

_.

_{И значит решением исходного уравнения будет функция}

_{. (здесь ).}

_{Решить интегральное уравнение .}

_{Выпишем уравнение для изображений, воспользовавшись утверждением 8 об интегрировании оригинала. (Полагая, что ).}

_{. Выразим функцию изображения . Найдем оригинал, соответствующий данному изображению .}

_{Решить интегральное уравнение .}

_{Отметим, что левая часть уравнения представляет собой свертку функций и . Переходя к соответствующим изображениям запишем}

_{. Выражая из последнего уравнения убедимся . И, значит, этому изображению соответствует оригинал .}

Решить систему уравнений

Пусть и.Выпишем соответствующую операторную систему линейных уравнений

.

Выразим из получившейся операторной системы _{и :}

_{, .}

_{Отметим, что для нахождения соответствующих оригиналов удобно воспользоваться теоремой разложения, учтя при этом, что корни знаменателя имеют первую кратность.}

_{Таким образом , и .}

Найти изображение функции Хевисайда: (см. рис.)

Ранее было получено, что изображением для оригинала является функция,тогда, воспользовавшись теоремой запаздывания, получим: .

Найти изображение функции, заданной следующим графиком:

Аналитически запись этой функции будет выглядеть следующим образом:

Поэтому ее изображение можно найти, используя формулу преобразования Лапласа, учитывая области определения кусочно-заданного оригинала:

.

Найти изображение ступенчатой функции, изображенной на рисунке.

Аналитически запись этой функции будет выглядеть следующим образом:

. Это легко проверяется графическим сложением функций ,, и т.д., изображенных на одном и том же чертеже. По теореме запаздывания получаем:. Второй сомножитель из правой части равенства представляет собой геометрическую прогрессию, со знаменателем. Так как,, то геометрическая прогрессия сходится, и получаем:.