1.8. Примеры случайных процессов
Приведем примеры случайных процессов, которые можно определить и изучить на основе понятий, введенных ранее в этой главе.
Пример 1.5. Процесс с взаимно независимыми значениями. Пусть Fn(Х) – последовательность одномерных функций распределения, где n пробегает множество целых чисел. Для любой конечной группы целых чисел n1, …, nk функция
является k-мерной функцией распределения. Очевидно, что семейство всех таких F с k = 1,2, … удовлетворяет условиям симметрии и согласованности. Следовательно, по теореме Колмогорова существует случайный процесс с целочисленным параметром …, –1, 0, 1, …, семейство конечномерных распределений которого совпадает с семейством всех F. В силу определения F, случайные величины n взаимно независимы. Процесс n называется процессом с взаимно независимыми значениями.
Пример 1.6. Стационарный марковский процесс. Пусть 1, 2, … – последовательность независимых случайных величин, распределенных нормально с параметрами (0, 1); иначе говоря, каждая случайная величина n имеет нормальную функцию распределения (x). Определим новую последовательность случайных величин:
1 = 1,
2 = r1 + (1 – r2)1/2 2,
n = rn-11 + (1 – r2)1/2 (rn-22 + rn-33 + … +n),
где r – некоторое число, r< 1. Для всех m и n
n = 0, n2 = 1, mn = rm–n.
Любая конечная группа величин n имеет совместное нормальное распределение с нулевыми средними, единичными дисперсиями и с коэффициентами корреляции для любой пары n и т, равными rm-n, так что свойство стационарности имеет здесь место.
Найдем
= 1,
,
.
Случайные величины, стоящие в этих равенствах справа, независимы и нормально распределены с параметрами (0, 1). Следовательно, условная плотность распределения
при условии, что величины 1, …, n–1 приняли некоторые определенные значения, не зависит от этих значений и равна нормальной плотности (x). Величины 1, …, n–1 однозначно определяют 1, …, n–1, и наоборот. Поэтому условное распределение n–1 при данных 1, …, n–1 нормально с условным средним rn–1 и дисперсией (1 – r2)1/2. Заметим, что это распределение зависит только от непосредственно предшествующей величины n–1 и не зависит от 1, …, n–2. Случайный процесс, для которого зависимость от прошлого носит такой характер, называется марковским.
Приведенные примеры иллюстрируют применение теоремы Колмогорова при доказательстве существования случайных процессов с конечномерными распределениями.
2. Случайные потоки сообщений
2.1. Основные понятия
Входящим потоком (потоком событий) называется последовательность событий, наступающих через какие-либо интервалы или в какие-то моменты времени. В теории массового обслуживания под входящим потоком принято понимать последовательность вызовов, поступающих от абонентов или групп абонентов, поток неисправностей отдельных устройств, поток информации, поступающий на обработку в ЭВМ, поток заявок на измерения в измерительных системах и т.п.
Следует различать детерминированный и случайный потоки. Детерминированный входящий поток – последовательность событий (вызовов, заявок), в которой вызовы поступают в определенные, строго фиксированные, неслучайные промежутки времени. Случайный поток заявок отличается от детерминированного тем и только тем, что моменты поступления заявок и промежутки времени между поступлениями заявок не строго фиксированы, а случайны. Детерминированные потоки являются частным случаем случайных потоков и на практике встречаются редко. Примерами их могут служить: поток сеансов связи с искусственным спутником Земли, поток поступления деталей ритмично работающего предприятия, поток заявок на измерение при циклической работе коммутатора. Строго говоря, даже в таких потоках имеют место случайности. В связи с этим в теории систем массового обслуживания основное внимание уделяется рассмотрению случайных входящих потоков.
Условимся в дальнейшем случайные величины обозначать прописными (большими) буквами, а их возможные значения – соответствующими строчными (малыми) буквами.
Входящий поток может быть определен тремя эквивалентными последовательностями: последовательностью вызывающих моментов t1, t2, …, tn; последовательностью промежутков времени z1, z2, …, zn; последовательностью чисел k1, k2, …, kn, определяющих количество вызовов, поступающих в течение заданных отрезков времени [t0, t1), [t0, t2), ..., [t0, tn). При этом под вызывающим моментом понимается момент одновременного поступления одного, двух и более вызовов; для вызывающих моментов всегда zi > 0, если ti > ti-1, в то время как для момента поступления вызова ti ti-1 и zi 0.
Определения случайного потока вызовов связано с определением в вероятностном смысле либо последовательности вызывающих моментов, либо последовательности промежутков между вызывающими моментами, либо последовательности чисел вызовов, поступающих в течение отрезков времени [t0,t1), [t0,t2), …, [t0,tn).
Для задания случайных потоков, как и других случайных величин и процессов, используются функции распределения. Функцией распределения вероятностей некоторых случайных величин Х называется функция F(x) = P{Х < x}, определяющая вероятность того, что Х < x, где х – определенная заданная величина. С учетом изложенного, для задания случайного потока могут быть использованы следующие эквивалентные законы:
1) совместный закон распределения n случайных вызывающих моментов P{Ti < ti, i = 1, 2, …, n} = P{T1 < t1, T2 < t2, …, Tn < tn}, где Ti – i-й вызывающий момент; n может принимать любое значение;
2) совместный закон распределения n случайных промежутков времени между вызывающими моментами: P{Zi < zi, i = 1, 2, …, n} = P{Z1 < z1, Z2 < z2, …, Zn < zn}, где Zi – промежуток времени между (i–1) и i-м вызывающими моментами; n может принимает любое значение;
3) совместный закон распределения числа вызовов K на n отрезках времени [t0, t1), [t0, t2), …, [t0, tn): P{K(t0,ti) = Ki < ki, i = 1,2,…, n} = P{K(t0, t1) =K1 < k1, K(t0, t2) = K2 < k2, …, K(t0, tn) = Kn < kn}, где n может принимать любое значение; k1 k2 kn; t1 < t2 < … < tn.
Введем некоторые ограничения на рассматриваемые случайные потоки. Потоки подразделяются на неоднородные и однородные. В неоднородных потоках каждая заявка имеет две и более характеристики. Например, заявки, поступающие на измерения, определяются моментами их поступления, запросами на требуемое число разрядов измерительного устройства, приоритетами и другими характеристиками.
Однородный поток вызовов характеризуется последовательностью, определяющей только закономерность поступления вызовов, т.е. последовательностью моментов поступления вызовов или промежутков времени между вызовами либо иным способом задания потока.
На практике потоки, как правило, являются неоднородными. Несмотря на это, целесообразно рассматривать и более простую модель, т.е. однородные потоки. Ограничимся рассмотрением потоков, в которых на любом конечном отрезке времени поступает конечное число вызовов и математическое ожидание числа поступающих вызовов также является конечной величиной. Такие потоки называются финитными.
Математическое ожидание числа вызовов, поступающих в интервале времени [0, t], называется ведущей функцией потока. Обозначим эту функцию (0, t). Функция (0, t) – неотрицательная, неубывающая и в практических задачах принимает конечное значение. Потоки с непрерывной ведущей функцией называются регулярными, а со ступенчатой – сингулярными. Вероятность поступления хотя бы одного вызова в определенный момент времени для регулярного потока равна нулю, а для сингулярного потока в моменты разрыва ведущей функции отлична от нуля. Классические модели систем массового обслуживания (СМО) ориентированы на случайные однородные финитные регулярные потоки.