1.5. Вещественный параметр. Непрерывный случай

Для большинства случайных процессов, которые рассматриваются в этом учебном пособии, множеством значений параметра служит некоторый интервал на вещественной оси R. В основном будут встречаться три случая: 1) T совпадает со всей прямой R = (–, +); 2) Т представляет собой положительную полуось [0, +); 3) Т является конечным интервалом [а, b]. Параметр t рассматривается как время.

Очень часто имеется прямое соответствие между результатами, полученными для процессов с непрерывным параметром, и аналогичными, обычно проще получаемыми, результатами для дискретного случая.

В § 1.4 мы видели, что в дискретном случае класс борелевских множеств в выборочном пространстве достаточно широк, чтобы включить все события, c которыми мы обычно встречаемся в приложениях. Даже если непосредственное вычисление вероятностей таких событий связано с большими трудностями, мы знаем, что они все равно однозначно определяются конечномерными распределениями. Если эти распределения известны, то вероятностная структура случайного процесса полностью определена.

Сделаем одно замечание для дискретного процесса. Пусть _n и _n – эквивалентные процессы (см. § 1.1), тогда _n и _n имеют одинаковые конечномерные распределения и Р(_n = _n) = 1 для каждого фиксированного n = 1, 2, … Так как n принимает лишь счетное множество значений, то отсюда следует , что Р(_n = _n для всех n = 1, 2, ...) = 1. Таким образом, можно сказать, что два эквивалентных дискретных процесса с вероятностью единица тождественны.

В непрерывном случае ситуация не столь проста. Выборочным пространством здесь является пространство Х всех конечных вещественных функций x(t) 0  t < . Борелевские множества в Х были определены в § 1.3 как множества из наименьшего -поля, cодержащего все интервалы. Каждое множество, полученное с помощью счетного числа операций над счетной совокупностью интервалов, является борелевским. На вероятностном языке это означает, что соответствующее событие определяется с помощью некоторых ограничений, наложенных на значения случайных величин (t) в точках t₁, t₂, … из некоторого счетного множества. Вероятность любого такого события однозначно определяется конечномерными распределениями.

Однако очевидно, что многие события, вероятности которых мы хотели бы знать, нельзя определить таким образом. Каждому элементарному событию  соответствует определенная выборочная функция (t) = (t, ). Когда  пробегает пространство элементарных событий , получаем совокупность «значений» соответствующей случайной функции (t). Часто (в дальнейшем это будет видно) интересно знать вероятность того, что эта случайная функция обладает тем или иным свойством, которое определяется ее поведением в несчетном множестве точек t.

Например, может потребоваться знать вероятность того, что (t) < h для всех t в некотором интервале I = [a, b], или вероятность того, что (t) непрерывна, дифференцируема или интегрируема на I. События такого вида, вообще говоря, не являются борелевскими множествами и их вероятности не определяются однозначно конечномерными распределениями процесса. Иными словами, иногда можно найти два случайных процесса (при этом каждый из них задается некоторой функцией вида (t, )), имеющие одно и то же семейство конечномерных распределений, для которых вероятности таких неборелевских множеств не равны.

Покажем это на следующем примере.

Пример 1.2. Возьмем в качестве вероятностного пространства интервал Лебега [2]  = [0, 1] и равномерное распределение на нем. Определим случайные процессы (t) и (t) следующими соотношениями:

(t) = (t, ) = 0 для всех t и ,

(t) = (t, )

Очевидно, (t) и (t) имеют одно и то же семейство конечномерных распределений. Все эти распределения сосредоточены в начале координат, так что соответствующие функции распределения имеют вид

F(x₁, …, x_n; t₁, …, t_n)

Тем не менее,

и

Таким образом, даже в примере сталкиваемся с событиями, вероят-ности которых не определяются однозначно конечномерными распределе-ниями.

Несколько изменив этот пример, можно показать, что даже вероят-ность того, что выборочная функция непрерывна в отдельной точке t = t₀, не определятся однозначно конечномерными распределениями.

Пример 1.3. Действительно рассмотрим процесс (t), определяемый соотношениями

(t) = (t, ) =

Конечномерные распределения остаются теми же, что и в примере 1.2, и (0) = 0, (0) = 0 для всех , но

P{(t)  0 при t  0} = 1,

P{(t)  0 при t  0} = 0.

Все три процесса (t), (t), (t) эквивалентны, т.к.

P{(t) = (t) = (t) = 0} =1

для каждого фиксированного t. Однако

P{(t) = (t) = (t) для всех t} = 0,

так что эти процессы не являются тождественными.

Как следует из приведенных примеров, вероятности многих событий, связанных со случайным процессом с непрерывным параметром, не определяются конечномерными распределениями этого процесса. Рассмотрим два возможных способа преодоления этого препятствия.

Первый способ. Пусть (t) – случайный процесс с известными конечномерными распределениями. При каких условиях в терминах этих распределений существует процесс такой ₀(t), что (t) и ₀(t) эквивалентны, т.е. P{(t) = ₀ (t)} = 1 для любого фиксированного t  T, и выборочные функции процесса ₀(t) с вероятностью единица обладают определенным свойством регулярности?

Если в рассматриваемом случае такой процесс ₀(t) существует, то естественно изучать ₀ вместо , используя получаемое при этом упрощение.

Джордж Дуб [4] дал определение свойства регулярности, которое он назвал сепарабельностью. По известному определению сепарабельная функция может быть в известном смысле восстановлена по ее значениям на некотором счетном всюду плотном множестве точек. Случайный процесс называется сепарабельным, если с вероятностью единица его выборочные функции обладают свойством регулярности. Дж. Дуб показал, что для любого случайного процесса (t) можно найти эквивалентный ему сепарабельный процесс ₀(t). Это решает сформулированную выше проблему в том случае, когда свойство регулярности совпадает с сепарабельностью.

Второй способ. Этот подход основан на использовании явного аналитического выражения, которым задается процесс (t). Рассмотрим, например, функцию

(t, ) = q(t, ₁, ₂, …),

где ₁, ₂, ... – конечное или счетное множество случайных величин (т.е. функций ); q – аналитическое выражение, содержащее t и _j. Если это выражение достаточно простое, то выборочные функции, полученные при фиксированных значениях _j, часто будут обладать свойством регулярности. Приведем пример использования этого метода.

Пример 1.4. Пусть  и  – независимые случайные величины,   0 и имеет плотность распределения , а  равномерно распределена на [0, 2]. Тогда функция (t, ) =  cos (t – ), где  – некоторое положительное число, определяет случайный процесс () = (t, ), который представляет собой гармоническое колебание с угловой частотой , случайной амплитудой  и случайным сдвигом по фазе . Все выборочные функции этого процесса непрерывны, так что вероятности событий, о которых говорилось раньше, однозначно определяются. Например, легко найти вероятность

P{(t)  h для всех t} = P{  h} = .