2.12.2. Предельная теорема для редеющих потоков
Потоки событий, встречающиеся на практике, часто подвергаются операции «разрежения». Она состоит в том, что под влиянием случайных причин те или иные события выпадают из потока. Например, поток космических частиц, прежде чем достичь уровня земли, редеет за счет столкновения этих частиц с атомами атмосферы; поток самолетов, прорывающихся через систему ПВО противника, редеет за счет поражения части этих самолетов; поток готовых изделий тоже редеет за счет выбраковывания части этих изделий в отделе технического контроля. В отличие от потока Эрланга k-го порядка, который получается путем строго закономерного разрежения простейшего потока (k точек выбрасывается, а (k + 1)-я точка оставляется), в приведенных выше примерах осуществляется случайное разрежение исходного потока событий, когда каждое событие с определенной вероятностью р исключается из потока независимо от того, исключены другие события или нет. В работе [9] приведен пример определения параметров разреженного потока для стационарного потока Пальма. Так, интенсивность р разреженного потока np будет равна интенсивности исходного потока П, умноженной на вероятность сохранения событий в потоке р:
р = р,
где – интенсивность исходного потока П.
Исследования показывают, что на практике уже 4–5-кратное разрежение (при р < 0,8) дает поток, близкий к простейшему, даже если исходный поток был регулярным.
3. Основы теории систем массового обслуживания
3.1. Элементы систем массового обслуживания
Система массового обслуживания включает в себя четыре основных элемента: входящий поток, очередь, обслуживающее устройство и выходящий поток. С каждым из них связан ряд возможных допущений, некоторые из них, как указано в работах [13, 14], были предметом специального исследования. Другие допущения приводят к еще нерешенным задачам обслуживания, требующим исследования. Пример обобщенной СМО приведен на рис. 3.1.
Рис. 3.1. Пример обобщенной СМО
Рассмотрим общее описание различных вариантов систем массового обслуживания.
3.1.1. Виды распределения входящего потока и времени обслуживания
Для теории массового обслуживания особый интерес представляют случайные процессы марковского типа (см. раздел 2). При помощи марковских процессов с конечным или счетным множеством состояний описываются процессы массового обслуживания в системах весьма широкого класса с максимальными аналитическими предпосылками: появление заявок и окончание обслуживания заявок, имеющихся в системе, не должно зависеть от предшествующей истории. А если процесс, протекающий в системе, является марковским с непрерывным временем, то все потоки событий, переводящие систему из состояния в состояние, являются пуассоновскими [13]. Для пуассоновских систем вероятности состояний описываются с помощью обыкновенных линейных дифференциальных уравнений. Если не делать предположения о том, что процесс, протекающий в системе массового обслуживания, является марковским, то аналитическое исследование работы такой системы требует при вычислении более сложного математического аппарата. В большинстве задач прикладного характера замена не пуассоновских потоков событий пуассоновскими с теми же интенсивностями приводит к получению решения, которое мало отличается от полученного [8].
Однако, как указано в работах [13, 14], имеются особые условия, когда погрешность может достигать значительной величины. В связи с этим приходится использовать случайные процессы более сложного характера. Общей тенденцией при этом является нахождение такого случайного процесса, связанного с процессом обслуживания, который можно было бы рассматривать как марковский процесс. Один из наиболее выдающихся специалистов в области теории массового обслуживания Д. Кендалл предложил использовать метод вложенных цепей Маркова [15]. Вложенная цепь Маркова – это последовательность значений процесса в специально выбранные моменты времени. Вложенную цепь Маркова можно определить в том случае, если моменты времени образуют сложную статическую связь, которую нельзя описать цепью Маркова. Важным случаем является полумарковский процесс [11], а дальнейшим развитием – линейчатые процессы [13]. В дальнейшем рассмотрим решения для пуассоновских и непуассоновских систем.
В работах [7–9, 11, 13, 14] исследовались системы массового обслуживания, на которые поступал входной поток заявок с некоторой интенсивностью, причем эта интенсивность не зависела от состояния СМО, а сами источники находились вне системы и не рассматривались. Такие СМО называются разомкнутыми или открытыми. Значительный интерес представляют так называемые замкнутые системы [11, 13], где интенсивность потока заявок зависит от состояния СМО, а сами источники заявок являются не внешними, а внутренними элементами СМО. Такие системы характерны, например, для области аналого-цифрового преобразования. В них измеряемый входной сигнал канала, находясь на обслуживании (измерении), перестает подавать заявки, а после конца обслуживания снова становится источником заявок. Моделью указанного входного потока является поток Бернулли (см. раздел 2, [11, 16]).