- •1. Основы теории случайных процессов
- •1.1. Семейства случайных величин
- •1.2. Выборочные функции
- •1.3. Теорема Колмогорова
- •1.4. Вещественный параметр. Дискретный случай
- •1.5. Вещественный параметр. Непрерывный случай
- •1.6. Пуассоновский процесс
- •1.7. Общие свойства случайных процессов
- •1.8. Примеры случайных процессов
- •2. Случайные потоки сообщений
- •2.1. Основные понятия
- •2.2. Принципы классификации входящих потоков
- •Определим p1() и p0():
- •Вероятность поступления k и более заявок определяется по формуле
- •2.6.1. Симметричный и примитивный потоки
- •2.6.2. Поток с повторными заявками
- •Вектор, обладающий свойствами (2.20) и (2.21), называется стохастическим. Если его компоненты представляют вероятности состояний системы, то вектор называется вектором состояний системы.
- •Матрица перехода имеет вид
- •2.12. Предельные теоремы для потоков событий
- •2.12.1. Предельная теорема для суммарного потока
- •2.12.2. Предельная теорема для редеющих потоков
- •3. Основы теории систем массового обслуживания
- •3.1. Элементы систем массового обслуживания
- •3.1.1. Виды распределения входящего потока и времени обслуживания
- •3.1.2. Дисциплина обслуживания заявок
- •3.1.3. Канал обслуживания
- •3.1.4. Выходящий поток
- •3.2. Классификация смо
- •3.3. Процессы гибели и размножения
- •3.4. Системы массового обслуживания с отказами
- •3.4.1. Классическая система массового обслуживания с отказами (система Эрланга)
- •Используя нормировочное условие
- •3.4.2. Системы массового обслуживания с отказами и полной взаимопомощью между каналами
- •3.4.3. Системы массового обслуживания с отказами и частичной взаимопомощью между каналами
- •Для сокращения дальнейшей записи введем обозначение
- •Вероятность обслуживания заявки
- •3.4.4. Системы массового обслуживания с отказами и неоднородными потоками
- •3.4.5. Примеры систем массового обслуживания с отказами
- •Решение
- •Вероятность занятости канала
- •Решение
- •Решение
- •Среднее время полной загрузки
- •4. Системы массового обслуживания с ожиданием
- •4.1. Классическая система массового обслуживания с ожиданием
- •С ожиданием (смо с конечной очередью)
- •4.2. Векторная модель с конечной очередью и неоднородными запросами на число мест в очереди
- •4.3. Векторная модель с бесконечной очередью и однородными запросами на число мест в очереди
- •Подставляя сюда (4.10), будем иметь
- •Где коэффициент , с учетом (4.12), имеет вид
- •4.4. Примеры систем массового обслуживания с ожиданием
- •Вероятность обслуживания заявки для смо с отказами
- •Среднее число заявок в системе
- •5. Различные системы массового обслуживания
- •5.1. Система массового обслуживания с ожиданием и приоритетом в обслуживании
- •5.2. Векторная модель системы массового обслуживания с приоритетом
- •5.3. Замкнутая векторная смо с отказами в обслуживании
- •5.4. Исследование и оптимизация управляемой смо
- •5.5. Примеры специальных смо
- •Решение
- •Среднее число ожидающих обычного переговора
- •Оглавление
3.1.2. Дисциплина обслуживания заявок
Система массового обслуживания называется системой с отказами (потерями), если заявка, пришедшая в момент, когда канал обслуживания (обслуживающая система) занят, немедленно получает отказ и покидает систему. Другой класс СМО представляет собой системы, в которых при занятости канала обслуживания заявка встает в очередь и ожидает освобождения канала, который может ее обслужить [11, 13, 14].
Система с ожиданием [11, 13, 14] бывают двух видов: СМО с бесконечной очередью («чистого» типа) и СМО с конечной очередью («смешанного» типа). В системах с конечной очередью возможны как отказы, так и ожидание заявки в очереди. Отказы (отсутствие обслуживания) могут быть связаны или с ограниченным числом мест в очереди, или с ограниченным временем ожидания, которым располагает заявка.
Дисциплина очереди определяет как порядок ее формирования, так и выбор заявки на обслуживание. Формирование очереди может зависеть от свойств самих заявок. Заявки могут не становится в очередь вследствие размеров очереди или просто потому, что они вообще не могут ожидать начала обслуживания. Во многих задачах может потребоваться принять решение, к какой из нескольких очередей системы присоединиться, если имеется некоторая информация по ним (приспособление заявки к условиям очереди, уход из очереди, переход заявки из одной очереди в другую и т.д.).
Важной задачей является взаимодействие и объединение очередей [11]. При этом достигается некоторое сокращение среднего времени ожидания, особенно когда велик разброс времени обслуживания устройства, перед которым образовалась отдельная очередь.
Выбор из очереди на обслуживание и распределение заявок по каналам может производиться в порядке прибытия [11, 16], случайным образом [17], в зависимости от приоритета заявки [18]. Изучение систем массового обслуживания с приоритетами разного типа представляет собой важную задачу как в общетеоретическом, так и в прикладном отношении.
Многообразие постановок задач исследования означает и многообразие приложений. При этом определяющим является реальный объект, который моделируется той или иной дисциплиной очереди, системой приоритетов.
3.1.3. Канал обслуживания
Основным параметром любой системы массового обслуживания является число каналов обслуживания. Каналом обслуживания называется вся совокупность технических устройств, обеспечивающих обслуживание заявки. Обслуживающее устройство может состоять из одного прибора (однолинейные системы) или нескольких (многолинейные системы). Вопросы изучения таких СМО нашли достаточно прочное отражение, например, в работах [13, 14, 16]. При многолинейном обслуживании приборы могут соединяться последовательно с другими для обслуживания заявки [11] или же несколько параллельных приборов могут обслуживать одну заявку [13].
Исследование СМО с приборами разной производительности [7–10, 13] позволяет решать вопросы синтеза с использованием различных обрабатывающих приборов. Однако в работах [7–10, 13] число обслуживающих приборов и интенсивности обслуживания постоянны. Основной же особенностью ряда приложений является переменное число требуемых заявок приборов на обслуживание и изменение интенсивности обслуживания заявки [11, 12]. Например, требование входной заявки i-го канала на qj разрядов означает, что для обслуживания этой заявки в данный момент времени требуется j обслуживающих приборов. Вопросы разработки СМО с переменным числом обслуживающих приборов и изменяющейся интенсивностью обслуживания требуют дополнительной разработки.
В многолинейных системах [9, 13] большое внимание уделяется вопросам взаимодействия приборов и заявок. Если в момент поступления требования имеется несколько свободных приборов, то необходимо уточнить, каким образом выбирается прибор (или группа приборов), который будет обслуживать данную заявку. Как правило, рассматриваются два случая: 1 – интенсивности обслуживания всех приборов одинаковы; 2 – интенсивности обслуживания приборов различны (приборы неоднородны). В первом случае нет необходимости различать приборы обслуживания и правило выбора не влияет [9] на число требований в очереди или в системе, но существенно влияет на занятие приборов. Во втором случае правило выбора влияет на функционирование всей системы. В общем случае построение модели СМО с учетом всех нюансов – задача очень важная и сложная.