Среднее время полной загрузки
мин.
Среднее время неполной загрузки
мин.
Среднее число занятых каналов
.
Вероятность того, что канал занят,
.
Среднее время занятости канала
мин.
Среднее время простоя канала
мин.
Среднее время пребывания заявки в системе
мин.
Среднее число обстреливаемых целей
.
4. Системы массового обслуживания с ожиданием
До сих пор рассматривались системы массового обслуживания с отказами; характерной особенностью таких систем было то, что любая поступившая заявка либо немедленно принималась к обслуживанию, либо немедленно получала отказ и покидала систему.
С ростом для достижения заданных величин вероятностно-временных характеристик необходимы значительные аппаратурные затраты и, может быть, выгоднее перейти к использованию в составе систем устройств памяти. Отсюда появляется целесообразность рассмотрения СМО с очередью.
В этой главе будут рассмотрены системы массового обслуживания с ожиданием, в которых заявка, заставшая все каналы занятыми, не получает немедленного отказа, а должна стать в очередь и ожидать освобождения канала, который может ее обслужить.
Системы ожидания бывают чистого или смешанного типа. В чистой СМО с ожиданием число мест в очереди и время ожидания в ней ничем не ограничены: каждая заявка рано или поздно будет обслужена. Для такой системы понятие «отказ» не имеет смысла. Это системы массового обслуживания с бесконечной очередью.
В системе с ожиданием смешанного типа возможны как отказы, так и ожидание заявки в очереди. Отказы (отсутствие обслуживания) могут быть связаны или с ограниченным числом мест в очереди, или с ограниченным временем ожидания, которым располагает заявка. Это системы массового обслуживания с ограниченной очередью.
При рассмотрении СМО с ожиданием необходимо учитывать систему правил, регламентирующих порядок образования и обслуживания очереди (так называемую дисциплину очереди). Необходимо указать, является ли очередь общей или образуется к каждому каналу отдельно; каков порядок вызовов заявок из очереди и т.д. Из всего многообразия известных дисциплин обслуживания [17, 25] выберем дисциплину со следующими особенностями: очередь является общей, т.е. все приходящие заявки становятся в одну очередь к обслуживающим приборам; порядок вызовов заявок из очереди FIFO (first in – first out) – «кто раньше встал в очередь, тот и раньше обслуживается».
Поведение заявок в очереди также входит в понятие «дисциплина очереди». Заявки в очереди могут «терпеливо» ждать начала обслуживания, а могут и уходить из системы, не дождавшись своей очереди. В этой главе будут рассматриваться только «терпеливые» заявки.
4.1. Классическая система массового обслуживания с ожиданием
Постановка задачи. В качестве обслуживающей системы рассмотрим неблокирующую коммутационную систему, которая обслуживает полнодоступный пучок емкостью n n линий, на которые поступает простейший поток с параметром . Каждая поступившая заявка для обслуживания занимает любую свободную линию пучка и обслуживается с интенсивностью . Если все n линий пучка заняты, то она становится в очередь и «терпеливо» ждет своего обслуживания. Дисциплина очереди – FIFO, максимальное число мест в очереди – m (СМО с конечной очередью). Если заявка застает все m мест в очереди занятыми, то она получает отказ и исключается из обслуживания. Величины n, , , m будем называть параметрами СМО с ожиданием.
Макросостояния рассматриваемой системы будем связывать с числом заявок, находящихся в системе (обслуживаемых и ожидающих в очереди):
xk – в системе имеется k заявок (k = 0, 1, 2, ..., n), они обслуживаются k каналами, очереди нет;
xn + r – в системе имеется n + r заявок (r = 1, 2, ..., m), n из них обслуживаются в n каналах и r заявок находятся в очереди.
Таким образом, система имеет n + m + 1 макросостояний. Граф макросостояний рассматриваемой системы показан на рис. 4.1.
Рис. 4.1. Граф макросостояний классической системы массового обслуживания