
- •1. Основы теории случайных процессов
- •1.1. Семейства случайных величин
- •1.2. Выборочные функции
- •1.3. Теорема Колмогорова
- •1.4. Вещественный параметр. Дискретный случай
- •1.5. Вещественный параметр. Непрерывный случай
- •1.6. Пуассоновский процесс
- •1.7. Общие свойства случайных процессов
- •1.8. Примеры случайных процессов
- •2. Случайные потоки сообщений
- •2.1. Основные понятия
- •2.2. Принципы классификации входящих потоков
- •Определим p1() и p0():
- •Вероятность поступления k и более заявок определяется по формуле
- •2.6.1. Симметричный и примитивный потоки
- •2.6.2. Поток с повторными заявками
- •Вектор, обладающий свойствами (2.20) и (2.21), называется стохастическим. Если его компоненты представляют вероятности состояний системы, то вектор называется вектором состояний системы.
- •Матрица перехода имеет вид
- •2.12. Предельные теоремы для потоков событий
- •2.12.1. Предельная теорема для суммарного потока
- •2.12.2. Предельная теорема для редеющих потоков
- •3. Основы теории систем массового обслуживания
- •3.1. Элементы систем массового обслуживания
- •3.1.1. Виды распределения входящего потока и времени обслуживания
- •3.1.2. Дисциплина обслуживания заявок
- •3.1.3. Канал обслуживания
- •3.1.4. Выходящий поток
- •3.2. Классификация смо
- •3.3. Процессы гибели и размножения
- •3.4. Системы массового обслуживания с отказами
- •3.4.1. Классическая система массового обслуживания с отказами (система Эрланга)
- •Используя нормировочное условие
- •3.4.2. Системы массового обслуживания с отказами и полной взаимопомощью между каналами
- •3.4.3. Системы массового обслуживания с отказами и частичной взаимопомощью между каналами
- •Для сокращения дальнейшей записи введем обозначение
- •Вероятность обслуживания заявки
- •3.4.4. Системы массового обслуживания с отказами и неоднородными потоками
- •3.4.5. Примеры систем массового обслуживания с отказами
- •Решение
- •Вероятность занятости канала
- •Решение
- •Решение
- •Среднее время полной загрузки
- •4. Системы массового обслуживания с ожиданием
- •4.1. Классическая система массового обслуживания с ожиданием
- •С ожиданием (смо с конечной очередью)
- •4.2. Векторная модель с конечной очередью и неоднородными запросами на число мест в очереди
- •4.3. Векторная модель с бесконечной очередью и однородными запросами на число мест в очереди
- •Подставляя сюда (4.10), будем иметь
- •Где коэффициент , с учетом (4.12), имеет вид
- •4.4. Примеры систем массового обслуживания с ожиданием
- •Вероятность обслуживания заявки для смо с отказами
- •Среднее число заявок в системе
- •5. Различные системы массового обслуживания
- •5.1. Система массового обслуживания с ожиданием и приоритетом в обслуживании
- •5.2. Векторная модель системы массового обслуживания с приоритетом
- •5.3. Замкнутая векторная смо с отказами в обслуживании
- •5.4. Исследование и оптимизация управляемой смо
- •5.5. Примеры специальных смо
- •Решение
- •Среднее число ожидающих обычного переговора
- •Оглавление
3.4.3. Системы массового обслуживания с отказами и частичной взаимопомощью между каналами
Постановка задачи. На вход n-канальной СМО поступает простейший поток заявок с плотностью λ. Плотность простейшего потока обслуживания каждого канала равна μ. Если поступившая на обслуживание заявка застает все каналы свободными, то она принимается на обслуживание и обслуживается одновременно l каналами (l < n). При этом поток обслуживаний одной заявки будет иметь интенсивность l.
Если поступившая на обслуживание заявка застает в системе одну заявку, то при n ≥ 2l вновь прибывшая заявка будет принята к обслуживанию и будет обслуживаться одновременно l каналами.
Если поступившая на обслуживание заявка застает в системе i заявок (i = 0,1, ... ), при этом (i + 1)l ≤ n, то поступившая заявка будет обслуживаться l каналами с общей производительностью l. Если вновь поступившая заявка застает в системе j заявок и при этом выполняются совместно два неравенства: (j + 1)l > n и j < n, то заявка будет принята на обслуживание. В этом случае часть заявок может обслуживаться l каналами, другая часть меньшим, чем l, числом каналов, но в обслуживании будут заняты все n каналов, которые распределены между заявками произвольным образом. Если вновь поступившая заявка застанет в системе n заявок, то она получает отказ и не будут обслуживаться. Попавшая на обслуживание заявка обслуживается до конца (заявки «терпеливые»).
Граф
состояний такой системы показан на рис.
3.8.
Рис. 3.8. Граф состояний СМО с отказами и частичной
взаимопомощью между каналами
Заметим, что граф состояний системы до состояния xh с точностью до обозначений параметров потоков совпадает с графом состояний классической системы массового обслуживания с отказами, изображенным на рис. 3.6.
Следовательно,
(i
= 0, 1, ..., h).
Граф состояний системы, начиная от состояния xh и кончая состоянием xn, совпадает с точностью до обозначений с графом состояний СМО с полной взаимопомощью, изображенным на рис. 3.7. Таким образом,
.
Введем обозначения λ / lμ = ρl ; λ / nμ = χ, тогда
С учетом нормированного условия получаем
Для сокращения дальнейшей записи введем обозначение
Найдем характеристики системы.
Вероятность обслуживания заявки
.
Среднее число заявок, находящихся в системе,
.
Среднее число занятых каналов
.
Вероятность того, что отдельный канал будет занят
.
Вероятность занятости всех каналов системы
Аналогичным образом могут быть определены и другие характеристики системы.
3.4.4. Системы массового обслуживания с отказами и неоднородными потоками
Постановка задачи. На вход n-канальной СМО поступает неоднородный простейший поток с суммарной интенсивностью λΣ, причем
λΣ
=
,
где λi – интенсивность заявок в i-м источнике.
Так как поток заявок рассматривается как суперпозиция требований от различных источников, то объединенный поток с достаточной для практики точностью [23] можно считать пуассоновским для N = 5...20 и λi ≈ λi+1 (i1,N). Интенсивность обслуживания одного прибора распределена по экспоненциальному закону и равна μ = 1/t. Обслуживающие приборы для обслуживания заявки соединяются последовательно, что равносильно увеличению времени обслуживания во столько раз, сколько приборов объединяется для обслуживания:
tобс = kt, μобс = 1 / kt = μ/k,
где tобс – время обслуживания заявки; k – число обслуживающих приборов; μобс – интенсивность обслуживания заявки.
В
рамках принятых в главе 2 допущений
состояние СМО представим в виде вектора
,
гдеkm
– число заявок в системе, каждая из
которых обслуживается m
приборами; L
= qmax
– qmin+1
– число входных потоков.
Тогда
количество занятых и свободных приборов
(nзан(),nсв(
))
в состоянии
определяется следующим образом:
Из
состояния
система может перейти в любое другое
состояние
.
Так как в системе действуетL
входных потоков, то из каждого состояния
потенциально возможно L
прямых переходов. Однако из-за
ограниченности ресурсов системы не все
эти переходы осуществимы. Пусть СМО
находится в состоянии
и приходит заявка, требующаяm
приборов. Если m ≤ nсв(
),
то заявка принимается на обслуживание
и система переходит в состояние
с интенсивностью λm.
Если же заявка требует приборов больше,
чем имеется свободных, то она получит
отказ в обслуживании, а СМО останется
в состоянии
.
Если в состоянии
находятся заявки, требующиеm
приборов, то каждая из них обслуживается
с интенсивностью m
, а общая интенсивность обслуживания
таких заявок (μm)
определяется как μ m
= kmμ
/ m.
При завершении обслуживания одной из
заявок система перейдет в состояние, в
котором соответствующая координата
имеет значение, на единицу меньшее, чем
в состоянии
,
=
,
т.е. произойдет обратный переход. На
рис. 3.9 представлен пример векторной
модели СМО дляn
= 3, L
= 3, qmin
= 1, qmax
= 3, P(m)
= 1/3, λΣ
= λ, интенсивность обслуживания прибора
– μ.
Рис. 3.9. Пример графа векторной модели СМО с отказами в обслуживании
Итак,
каждое состояние
характеризуется числом обслуживаемых
заявок определенного типа. Например, в
состоянии
обслуживается одна заявка одним прибором
и одна заявка двумя приборами. В этом
состоянии все приборы заняты, следовательно,
возможны лишь обратные переходы (приход
любой заявки в этом состоянии приводит
к отказу в обслуживании). Если раньше
закончилось обслуживание заявки первого
типа, то система перейдет в состояние
(0,1,0)
с интенсивностью μ, если же раньше
закончилось обслуживание заявки второго
типа, то система перейдет в состояние
(0,1,0)
с интенсивностью μ/2.
По
графу состояний с нанесенными
интенсивностями переходов составляется
система линейных алгебраических
уравнений. Из решения этих уравнений
находятся вероятности Р(),
по которым определяется характеристика
СМО.
Рассмотрим нахождение Ротк (вероятность отказа в обслуживании).
,
где
S
– число состояний графа векторной
модели СМО; Р()
– вероятность нахождения системы в
состоянии
.
Число состояний согласно [11] определяется следующим образом:
,
(3.22)
где
;
Определим число состояний векторной модели СМО по (3.22) для примера, представленного на рис. 3.9.
.
.
Следовательно, S = 1 + 5 + 1 = 7.
Для
реализации реальных требований к
обслуживающим приборам необходимо
достаточно большое число n
(40, ..., 50), а
запросы на число обслуживающих приборов
заявки на практике лежат в пределах
8–16. При таком соотношении приборов и
запросов предложенный путь нахождения
вероятностей становится чрезвычайно
громоздким, т.к. векторная модель СМО
имеет большое число состояний S(50)
= 1790, S(60)
= 4676, S(70)
= = 11075, а размер матрицы коэффициентов
системы алгебраических уравнений
пропорционален квадрату S
[24], что требует большого объема памяти
ЭВМ и значительных затрат машинного
времени. Стремление снизить объем
вычислений стимулировало поиск
рекуррентных возможностей расчета Р()
на основе мультипликативных форм
представления вероятностей состояний.
В работе [11] представлен подход к расчетуР(
):
(3.23)
Использование предложенного в работе [11] критерия эквивалентности глобального и детального балансов цепей Маркова позволяет снижать размерность задачи и выполнять вычисления на ЭВМ средней мощности, используя рекуррентность вычислений. Кроме того, имеется возможность:
– произвести расчет для любых значений n;
– ускорить расчет и снизить затраты машинного времени.
Аналогичным образом могут быть определены и другие характеристики системы.