Chast_10_TV

N (A) = C51 ∙C241 и N (B) = A52 .

Ответ: 0,2; 0,0 (3)

№ 37

В лифт k-этажного дома сели п пассажиров (п<k). Каждый может выйти на любом, начиная со второго, этаже. Найдите формулу для вычисления вероятности событий:

1)А {все вышли на разных этажах};

2)В {по крайней мере двое вышли на втором этаже}. Определите вероятность этих событий, если в доме семь этажей, а пассажиров — трое.

Решение:

Так как каждый может выйти на любом из (k – 1) этаже, то полное число элементарных исходов опыта равно N (Ω) = (k – 1) n. 1) Число благоприятных исходов, соответствующих событию

А, равно N (A) = Akn-l .

2) Вероятность события В найдем, воспользовавшись тем, что события А и В являются противоположными

Ответ: 0,(5); 0,(4)

№ 38 В результате бросания 12 игральных костей каждая грань по-

явилась дважды. Является ли редким такое событие?

101

Решение:

В этом опыте возможно N (Ω) = 612 различных равновероятных исходов.

Интересующее нас событие осуществляется таким количеством способов, с помощью которых 12 костей можно разбить на 6 групп по 2 в каждой: N (A) = C12 (2, 2, 2, 2, 2, 2).

Таким образом, такой исход маловероятен.

Ответ: да

№ 39 При игре в бридж 52 карты делятся на 4 разные группы. Число

различных раскладов равно N (Ω) = С52 (13, 13, 13, 13).

Найдите вероятности событий: A {каждый игрок имеет туза}; B {у одного игрока будет 5 пик, 4 червы,

3 бубны и 1 трефа}.

Решение:

Число раскладов, отвечающих событию A, равно числу спосо-

Вероятность того, что у одного игрока будет 5 пик, 4 червы, 3 бубны и 1 трефа:

№ 40 А и В и еще 8 человек стоят в очереди. Определите вероятность

того, что А и В отделены друг от друга тремя лицами.

102

Решение:

Число способов стоять на двух местах из десяти для А и В равно

N (Ω) = C102 = 10! = 10 Ч 9 = 45.

2!8! 2

Посчитаем число расположений, когда они отделены друг от друга тремя лицами,

Такие расположения определяются местами 1–5, 2–6, 3–7, 4–8, 5–9, 6–10, их число равно 6.

Ответ: 0,133

№ 41 При игре в «Спортлото» «6 из 49» число всех возможных ком-

бинаций при вычеркивании 6 цифр из 49 равно C496 . Найдите вероятности того, что угадано п = 6, 5, 4, 3, 2, 1, 0 номеров.

Решение:

Числа исходов, соответствующие угаданным k номерам, равны числу способов выбрать k номеров из группы в 6 (выигрышных) номеров, а остальные

(6 — k) — из группы в 43 невыигрышных номера:

N (k) = C6k ЧC436-k .

N (6) = C66 ∙ C430=1,

N (5) = C65 ∙ C431 = 6∙ 43 = 258,

N (4) = C64 ∙ C432= 13545,

N (3) = C63 ∙ C 433 = 246820,

N (2) = C62 ∙ C434 = 1851150,

N (1) = C61 ∙ C435 = 5775588,

N (0) = C60 ∙ C436 = 6096454,

N (Ω) = C496 = 43!49!6! = 13983816 ≈ 1,4 ∙ 107.

Соответствующие вероятности равны: P (6) ≈ 7,15 ∙ 10–8, P (5) ≈ 1,84 ∙ 10–5,

P (4) ≈ 9,69 ∙ 10–4, P (3) ≈ 1,77 ∙ 10–2, P (2) ≈ 1,32 ∙ 10–1, P (1) ≈ 0,413.

103

Замечание: для приближенных расчетов при больших п можно воспользоваться формулой Стирлинга

Ответ: 7,15∙10–8; 1,84 ∙10–5; 9,69 ∙10–4; 1,77 ∙10–2; 1,32 ∙10–1; 0,413.

№ 42 В шкафу находятся 10 пар обуви различных сортов. Из них

случайно выбираются 4 штуки. Найдите вероятность того, что среди выбранной обуви отсутствует пара.

Решение:

Число способов, которыми можно выбрать 4 башмака из 10 пар обуви, равно N (Ω) = C420.

Среди выбранной обуви должна отсутствовать пара, т. е. мы выбираем четыре башмака из 10 непарных С410, и к левым ботинкам не должно быть правых, что может быть сделано 2∙2∙2∙2 = 24 способами, значит, N (A) = C104 ∙ 24,

P (A) = N(A) =C104 Ч 24 » 0,6935 .

N (W) C204

Ответ: 0,6935

3. Геометрическая вероятность

№ 1

В круг радиуса R вписан квадрат. Найдите вероятность того, что точка, брошенная в круг, попадет в квадрат.

Решение:

Площадь круга вычисляем по формуле S = ÀR2 , а площадь квадрата — по формуле S = a2 . Сторона квадрата может быть выражена через радиус описанной окружности по формуле a = R 2 . Тогда, площадь квадрата

S = a2 = (R 2 )2 = 2R2 .

P (A) = S ((A)) = 2R2 = 2 . S W ÀR2 À

Ответ: p2

104

№ 2

Пятая часть белого круга закрашена в черный цвет. Какова вероятность попадания точки в черный сектор?

Решение:

Ответ: 0,2

№ 3

Проволока длиной в 20 см согнута в наудачу выбранной точке. После этого, перегнув проволоку еще в двух местах (не ломая ее), сделали прямоугольную рамку. Найдите вероятность того, что площадь полученной рамки не превосходит 21 см2.

Решение:

Пусть х — длина меньшей стороны проволоки, тогда вторая сторона равна 10 - x , 0 Ј x Ј10 .

Ответ: 0,6

№ 4

Определите вероятность того, что корни квадратного уравне-

Ответ: 32

105

№ 5

Луч локатора перемещается в горизонтальной плоскости с постоянной угловой скоростью. Какова вероятность того, что цель будет обнаружена в угловом секторе α радиан, если появление цели по любому направлению одинаково

возможно?

αРешение:

№ 6

Ракета должна приземлиться в круг радиуса 5 км. Вероятность приземления в любое место круга одинакова. Какова вероятность приземления ракеты:

а) от центра на расстоянии, меньшем 1 км; б) в заданный сектор, составляющий 1/8 круга?

Решение:

Элементарные исходы испытания (приземления ракеты) являются случайными. Событие A– {приземление в круг c радиусом 1, находящийся внутри круга с радиусом 5}.

а) S (W) — площадь круга с радиусом 5 км, а областью S ( A) — площадь круга с тем же центром и радиусом 1 км. При этом S (W) = 25p км2, S (A) = p км2.

б) S (B) ─ площадь сектора, площадь которого 258 p км2, cобытие

Ответ: 0,04; 0,125

№ 7

В круглую мишень попала пуля. Найдите вероятность того, что расстояние от центра мишени до пробоины меньше половины радиуса мишени.

106

Решение:

Рассмотрим события: W {попадание в мишень},

А {расстояние от центра мишени до пробоины меньше половины радиуса мишени}.

Мерой события будем считать площадь плоской фигуры. Вероятность попадания считаем пропорциональной площади фигуры.

S(A) = π ж R ц2 ; S(Ω) = πR2 ,

зи 2 чш

где R — радиус мишени. P ( A) = SS ((WA)) = 14 =0,25.

Ответ: 0,25

№ 8

Монета радиуса R = 1 см, бросается на разграфленную поверхность квадрата со стороной l = 5 см. Найдите вероятность того, что она будет касаться стороны квадрата.

Ответ: 0,64

№ 9

На отрезок AB длиной L наудачу ставится точка C. Найти вероятность того, что длина меньшего из получившихся отрезков AC и CB превосходит L / 3.

107

Решение:

Разобьем отрезок AB на три равные части. Если точка C попадет внутрь среднего отрезка, то произойдёт нужное нам событие.

P(A) = L / 3 = 1 = 0,(3) .

L 3

Ответ: 0,(3)

№ 10 Какова вероятность того, что сумма трех наудачу взятых отрез-

ков, длина каждого из которых не превосходит l, будет больше l?

Решение:

Выберем начало отсчета O и декартовую систему координат Oxyz. Отложим из начала координат три отрезка длиной l на осях Ox, Oy, Oz соответственно. Множество Ω:

ставляет собой куб со стороной l. Событие A {сумма длин отрезков не пре-

восходит l}:

A = {(x, y,z ) x + y + z > l,0 Ј x Ј l,0 Ј y Ј l, .

0 Ј z Ј l}

представляет внутренние точки куба, лежащие вне тетраэдра с вершиной в начале координат и длинами ребер l. Мерой события будет объем соответствующей фигуры.

Vкуба = l3 . Vтетр = 16l 3 . Vкуба -Vтетр = 56l 3 .

P (A) = Vкуба -Vтетр = 5 = 0,8(3) .

Vкуба 6

Ответ: 0,8(3)

№ 11 Найдите вероятность того, что из трех наудачу взятых отрез-

ков, длина каждого из которых не превосходит l, можно составить треугольник.

Решение:

Пусть x, y,z; 0 Ј x, y,z Ј l . Область V (W) всех исходов опыта ─

108

на одной из осей координат. Суммарный объем этих тетраэ-

4. Теоремы сложения и умножения вероятностей. Условная вероятность

4.1. Вероятность суммы (объединения) несовместных событий

№ 1

В корзине 5 белых, 4 красных и 3 синих шара. Какова вероятность того, что все три шара будут одного цвета?

Решение:

События: А {все три шара будут одного цвета},

Ответ: 0,068

109

№ 2

В ящике 10 деталей, из которых 4 окрашены. Сборщик наудачу взял 3 детали. Найдите вероятность того, что хотя бы одна из деталей окрашена.

Решение:

События А {хотя бы одна из деталей окрашена} и В {ни одна деталь не окрашена} противоположны и несовместны.

Ответ: 0,(3)

№ 3

В лотерее выпущено 10 000 билетов, среди которых 10 выигрышей по 200 тыс. руб., 100 — по 100 тыс. руб., 500 — по 25 тыс. руб., и 1000 выигрышей по 5 тыс. руб. Какова вероятность того, что человек, купивший 1 билет, выиграет не менее 25 тыс. руб.?

P (A1 ) = 0,05; P (A2 ) = 0,01; P (A3 ) = 0,001;

P (А) = 0,05 + 0,01 + 0,001 = 0,061.

Ответ: 0,061

4.2. Вероятность суммы (объединения) совместных событий

№ 4

Бросаются две монеты. Рассматриваются события: A {выпадение герба на первой монете};

110