Лекции
.pdf4. Векторное произведение векторов и его свойства.
9 января 2014 г. |
18:06 |
Опр.
Правая тройка векторов - упорядоченная тройка некомпланарных векторов, расположение которых соответствует расположению раздвинутых пальцев (большого, указательного и среднего) правой руки.
Опр.
Векторное произведение векторов , если , - это вектор, перпендикулярный им обоим и имеющий длину, равную произведению длин векторов на синус угла между
ними. При этом тройка - правая.
Если векторы компланарны, то произведение равно нулевому вектору. Свойства векторного произведения
1.
2.
3.
4.геометрическое свойство произведения - площадь параллелограмма, построенного на векторах
Произведение в произвольном базисе
- базис.
=
Произведение в декартовом базисе
- правая тройка.
Тождество Якоби
Геометрия 1 Стр.61
5. Смешанное произведение векторов и его свойства.
9 января 2014 г. |
19:24 |
Опр. |
|
|
Смешанное произведение векторов |
- это число, равное |
. |
Обозн: |
|
|
Свойства смешанного произведения |
|
|
1.если - компланарные, то их смешаное произведение = 0.
2.если - некомпланарные, то их смешанное произведение = объёму параллелепипеда, составленного этими вектрами и имеет положительный знак, если тройка векторов правая и отрицательный знак, если тройка векторов левая.
3.
4.
5.
Произведение в произвольном базисе
Произведение в декартовом базисе
Геометрия 1 Стр.62
6. Системы координат на плоскости и в пространстве. Деление отрезка в данном отношении.
12 января 2014 г. 15:28
Опр. |
|
|
|
Система координат - это совокупность базиса и точки. |
- система координат, где |
||
- это начало коопрдинат, а остальное - базис. |
|
||
Опр. |
|
|
|
- с/к, тогда |
называется радиусвектором точки |
и в системе |
|
координат имеет координаты, равные координатам радиусвектора в этом базисе. |
|||
Опр. |
|
|
|
- декартова с/к, если |
- декартов базис |
|
|
Деление отрезка на заданном отношении |
|
||
Опр. |
|
|
|
т. C делит AB в отношении |
, если |
если С - середина, то t=1. |
|
Геометрия 1 Стр.63
7. Замена системы координат.
12 января 2014 г. |
15:55 |
Опр.
Матрица перехода из одной системы координат |
- это матрица, в |
которой указаны по столбцам координаты векторов нового базиса в старом. Так как векторы базиса некомпланарные, то
- обратима. Обратная матрица является переходом из новой системы координат обратно в старую.
Чтобы найти координаты точки в новой системе координат, нужно решить след систему уравнений:
здесь - соответствующий элемент матрицы перехода, - координаты точки в старой системе координат, а - координаты начала новой системы координат, относительно старой.
Геометрия 1 Стр.64
8. Виды уравнений прямой на плоскости.
12 января 2014 г. |
19:09 |
1)Параметрическое уравнение
2)каноническое уравнение прямой
3)уравнение прямой, проходящей через 2 точки
4)Общее уравнение
-нормальный вектор
-направляющий вектор
5)
6)Уравнение в отрезках
-точки пересечения с осями координат, тогда уравнение имеет следующий
вид:
Геометрия 1 Стр.65
9. Взаимное расположение двух прямых на плоскости.
12 января 2014 г. |
20:37 |
1)Пересекаются
2)параллельны
3)совпадают
Теорема
1) |
- пересекаются |
доказательство - система уравнений имеет одно |
|
решение |
|
2) |
- параллельны |
доказательство - система уравнении не |
|
имеет решений |
|
3) |
|
доказательство - одинаковые уравнения - одна прямая |
Геометрия 1 Стр.66
10. Полуплоскости.
12 января 2014 г. |
21:51 |
Прямая делит плоскость на две полуплоскости: верхнюю и нижнюю.
Если в уравнение подставить координаты точки и результат будет больше 0, то точка лежит в верхней полуплоскости и наоборот.
Точки лежат в одной полуплоскости, если результаты вычисления уравнения с этими точками имеют один знак.
Геометрия 1 Стр.67
11. Расстояние от точки до прямой на плоскости.
12 января 2014 г. |
22:14 |
Дано: Задача: найти
- скалярное произведение в декартовой системе
координат
Геометрия 1 Стр.68
12. Виды уравнений плоскости.
13 января 2014 г. |
10:22 |
1)Параметрическое с/к - произвольная
задана система координат внутри плоскости:
-базис,
т. М лежит в плоскости, если вектор |
можно разложить по базису |
. |
2)Каноническое
-компланарные
3)Уравнение через три точки
4)уравнение в отрезках Плоскость пересекает оси координат в точках
5) Общее уравнение
Геометрия 1 Стр.69
13. Взаимное расположение двух плоскостей.
13 января 2014 г. |
11:11 |
1) пересекаются, когда
доказательство
хотя бы одна из плоскостей не перпендикулярна оси Z, возьмём |
и попытаемся |
найти точку, соответствующую |
|
|
то же самое для других коэффициентов. |
|
|
2) |
параллельны, когда |
|
|
|
доказательство |
|
|
|
опираясь на предыдущее |
|
|
|
домножим уравнение |
на получим |
|
|
т.к. |
, то уравнения разных плоскостей, значит вариант бесконечно много |
|
|
решений системы - не подходит |
|
|
3) |
совпадают, когда уравнения идентичны. |
|
|
Геометрия 1 Стр.70