Лекции
.pdfТеорема о существовании и дифференцируемости неявной функции, заданной уравнением.
Условия:
1.
2.
3.
Тогда
Доказательство 1 этап: построение неявной функции По лемме
В силу непрерывности по в точке
Зафиксируем произвольное
По теореме Больцано-Коши о промежуточном значении непрерывной функции
В силу того, что по функция возрачтает на промежутке при фиксированном , то при данном она может обратиться в только один раз Вывод:
2 этап доказательство непрерывности неявно заданной функции |
в точке |
Нужно доказать: |
|
Или |
|
Возьмём |
|
Рассмотрим задачу построения неявной функции для уравнения |
при |
Условия теоремы выполняются |
|
Два решения быть не может Вывод:
3 этап доказательство дифференцируемости в , получение выражений для частных производных
МА3Ч1 Стр.121
Это было определение дифференцируемости
Отсюда выражаем
Знаменатель всех дробей в этой сумме отличен от нуля в проколотой окрестности точки , потому что по условию
*Дробь(x) - это обозначение дроби, стоящей под знаком суммы.
Вывод:
Значит по определению
4 этап свойства дифференцируемости справедливы для всех
Найдем , чтобы
Найдем чтобы Рассмотрим
Выполнены все условия теоремы
МА3Ч1 Стр.122
Но также и
Следовательно, по определению функции и с учётом включений окрестностей имеем
Для частных производных получаем те же зелёные формулы, в которых фигурирует точка
Вывод: взяли любое |
, доказали в нём дифференцируемость функции |
и |
нашли её частные производные |
|
|
МА3Ч1 Стр.123
12. Утверждение об n-кратной дифференцируемости неявной функции, заданной уравнением.
1 декабря 2014 г. |
1:54 |
Теорема В условиях предыдущей теоремы
Тогда
Доказывается по индукции через первые производные функции и формулу получения производных для
МА3Ч1 Стр.124
13. Теорема о существовании и дифференцируемости неявных функций, заданных системой уравнений. Утверждение об их n-кратной дифференцируемости.
1 декабря 2014 г. |
1:56 |
Опр.
Теорема
Частные производные функции по всем перерменным непрерывны в точке
Тогда
Доказательство Индукция по
База индукции доказали Предположение индукции Докажем верность теоремы для
МА3Ч1 Стр.125
Раскладываем определитель по последнему столбцу, получаем, что хотя бы один из определителей порядка, стоящий в первых столбцах отличен от нуля. Без ограничения общности можно считать, что такой ненулевой определитель стоит в
левом верхнем углу большого определителя(при перестановке строк меняется лишь знак определителя, а он никак не влияет на условие неравенства определителя нулю).
Рассмотрим систему |
уравнений. Будем рассматривать ее, как систему |
относительно |
при заданых |
Тогда по предположению индукции
по предположению индукции дифференцируемы , непрерывны в
- одно неизвестное Перед нами одно уравнение относительно . Нужно убедиться, что выполнены условия
теоремы о существовании и дифференцируемости неявно заданой функции.
Вспомогательная функция
Подставляем функции в систему первых |
уравнений |
Дифференцируем всё по
МА3Ч1 Стр.126
Все уравнения посчитаем в |
и перепишем в другом виде |
Вякобиане к последнему столбику прибавляем комбинацию других с коэффициентами
иполучаем нули в последнем столбике во всех строках кроме нижней. В
нижней строке в последнем столбце как раз получается |
. |
Получаем испорченный, но тот же самый якобиан
Выполнены все условия теоремы о существовании и дифференцируемости неявной функции, заданной уравнением
Согласно этой теореме |
, что на множестве |
неявно задаёт функцию |
её частные производные |
непрерывны в и |
|
По можно найти такое
Выполняется включение окрестностей
МА3Ч1 Стр.127
14. Теорема о дифференцируемости обратного отображения. Достаточное условие его n-кратной дифференцируемости. Связь матриц Якоби взаимно обратных отображений.
1 декабря 2014 г. |
1:57 |
МА3Ч1 Стр.128
15. Связь условного и безусловного экстремумов.
1 декабря 2014 г. |
1:58 |
МА3Ч1 Стр.129
16. Необходимое условие относительного экстремума с использованием функции Лагранжа.
1 декабря 2014 г. |
1:59 |
МА3Ч1 Стр.130