Лекции
.pdf17. Достаточные условия строгого относительного экстремума и отсутствия относительного экстремума с использованием функции Лагранжа.
1 декабря 2014 г. |
2:00 |
МА3Ч1 Стр.131
Объем
16 декабря 2014 г. |
23:56 |
D
Рассмотрим систему:
МА3Ч1 Стр.132
1. Длина спрямляемой кривой как предел длин ломаных, вписанных в неё.
26 января 2015 г. |
1:24 |
Опр.
Кривая - непрерывное отображение промежутка в линейно-топологическое пространство.
Факт
Если |
, то множество точек кривой - компакт. |
Опр.
Эквивалентность кривых из курса дифференциальной геометрии.
Опр.
Кривая называется спрямляемой, если |
, где - ломаные, вписаные в |
кривую. |
|
Опр.
Непрерывность кривой, кусочная непрерывность, непрерывная дифференцируемость, гладкость, регулярность наличие трёхгранника Френе и т.п. Все определения лежат на совести студента и Сизого С.В.
Утв.
Кривая спрямляема Обозначим Тогда
непрерывна на Доказательство
Докажем непрерывность в
1)
2)
3)
Если не оказалось среди точек деления, то добавим её к т очкам деления.
Если прибавим к неравенству длины остальных звеньев, то получим
таким образом, если не входит в число |
, то переходим от к . Без |
|
ограничения общности переходим от к |
, думая, что - это какое-то . |
|
|
- непрерывна |
|
Если |
: |
|
МА3Ч2 Стр.133
К числу вершин добавили |
. От этого длина ломаной не уменьшится. |
Аналогично, когда
Теорема Пусть - спрямляемая кривая, Тогда
То есть Доказательство
МА3Ч2 Стр.134
2. Натуральная параметризация спрямляемой кривой.
26 января 2015 г. |
1:29 |
Опр.
Есть кривая спрямляемая |
|
Длина кривой есть непрерывная функция |
. Множество её значений - |
начальная точка |
|
на любом промежутке |
|
Тогда |
|
имеет обратную функцию |
|
Обозначим |
натуральную параметризацию |
МА3Ч2 Стр.135
3. Вычисление криволинейного интеграла 1 рода по кусочно-гладкой кривой и его свойства.
26 января 2015 г. |
1:30 |
Опр.
- выбор точек, соответствующий разбиению
То - интегрируема по кривой , |
- интеграл первого рода по кривой, обозначается |
Утв.
- натуральная параметризация кривой
Тогда
Доказательство
Действовать в обратном порядке. Можно разбивать отрезок параметризации точками , затем брать , а по точкам находить .
Получились две, равные друг другу интегральные суммы для двух интегралов в условии теоремы.
Интегральные суммы равны, значит пределы они имеют одновременно. Пределы существуют одновременно и равны, значит интегралы равны.
Теорема об аддитивности криволинейного интеграла первого рода определена на спрямляемой кривой
Тогда
Доказательство
МА3Ч2 Стр.136
Теорема связь криволинейного интеграла 1-ого рода с определённым
Тогда
Доказательство
Проведено доказательство для гладкой кривой, но оно легко может превратиться в доказательство для кусочно-гладкой кривой, если применить теорему об аддитивности интеграла 1 рода по кривой для кусочно-гладкой кривой.
МА3Ч2 Стр.137
4. Вычисление криволинейного интеграла 2 рода по кусочно-гладкой кривой и его свойства. Работа, циркуляция вектора вдоль кривой.
26 января 2015 г. |
1:31 |
Опр.
- спрямляемая кривая |
|
На ней определена вектор функция |
|
Из разбиения кривой |
взяты точки |
по кривой называется интегрируемой в смысле интеграла второго рода.
Если - константная функция, то интеграл не зависит от пути, соединяющего две конечные точки кривой.
Работой вектора вдоль кривой называется интеграл второго рода этого вектора по этой кривой.
Циркуляцией вектора - это работа вдоль замкнутого контура.
Теорема связь криволинейного интеграла 2 рода с определённым
Тогда
Доказательство
МА3Ч2 Стр.138
- интегральная сумма для интеграла в доказываемой формуле. Докажем:
:
Нужно доказать:
Функции |
как непрерывные на отрезке равномерно непрерывны на нём. |
|
для |
определим |
такие, что |
Предел доказан
МА3Ч2 Стр.139
5. Связь криволинейных интегралов 1 и 2 рода по кусочно-гладкой кривой.
26 января 2015 г. |
1:32 |
Теорема
-кусочно-гладкая кривая, заданная направлением обхода
-единичный вектор касательной в точке , направленный в сторону обхода кривой На кривой определена ограниченная вектор функция Тогда
Доказательство
МА3Ч2 Стр.140