Лекции
.pdf
13. Теорема Тейлора. Остаточные члены в форме Лагранжа, Коши, Пеано.
15 марта 2014 г. |
20:18 |
Опр.
сущ. тогда
то, что выше, называется многочленом Тейлора степени
называется остаточным членом в формуле Тейлора а вот и сама формула Тейлора:
Теорема Тейлора гласит о том, что можно любую дифференцируемую функцию представить в виде многочлена Тейлора плюс остаточный член. Такое предположение возникло в связи с тем, что появились производные, которые можно использовать для построения касательных к графику функции. Касательная даёт нам линейное приближение к графику функции в точке. Так многочлен Тейлора - это тоже касательная к графику функции, только она не линейная, а кривая, и её точность зависит от величины остаточного члена, являющегося разностью функции и многочлена Тейлора. Вот великолепный рисунок из Википедии.
Теорема Тейлора
имеет производную порядка определена на отрезке
тогда
доказательство
МА2Ч1 Стр.101
вспомогательная функция:
функция |
обладает следующими свойствами: |
1)непрерывна, как сумма непрерывных функций
2)дифференцируема на
3)
4)
5) если внимательно подставить и посмотреть
6)
тогда можно применить теорему Коши
меняем обе части неравенства на эквиваленты
Возможно несколько случаев, вот два из них:
1)
тогда
это называется остаточным членом в форме Лагранжа
2)
тогда
это называется остаточным членом в форме Коши
Теорема Тейлора с остатком Пеано те же самые условия сущ. (только в )
МА2Ч1 Стр.102
тогда
"о маленькое"
доказательство
нужно доказать, что
теперь нужно доказать, что
если дифференцировать по индукции, то получится, что
равенство доказано
МА2Ч1 Стр.103
14. Критерий монотонности функции. Достаточные условия строгой монотонности.
15 марта 2014 г. |
20:19 |
Теорема критерий монотонности функции тогда доказательство
по теореме Лагранжа:
в случае монотонно убывающей функции некоторые знаки в другую сторону Теорема о строгой монотонности
тогда
доказательство тем же образом, что выше, только со строгими знаками Теорема о строгой монотонности вторая
тогда
доказательство
3случая:
1)
2)
3) |
такие же рассуждения |
МА2Ч1 Стр.104
15. Точки локального экстремума. Необходимое условие точки экстремума. Достаточные условия точки экстремума.
15 марта 2014 г. |
20:20 |
Необходимое условие - это теорема Ферма.
Опр.
тогда
- стационарна, если
Теорема первое достаточное условие точки экстремума
- стационарная
тогда
1)если то - точка мтрогого максимума
2)если
то - точка строгого минимума 3) если смена знака не происходит, то точка не экстремум
доказательство
1)
2)
Теорема второе достаточное условие
-дифференцируема
-стационарная точка
тогда |
|
|
|
1) |
если |
, то |
- точка строгого минимума |
2) |
если |
, то |
- точка строгого максимума |
доказательство только для минимума
если вторая производная в точке больше нуля, то первая производная в этой точке возрастает, но она ещё и равна нулю по условию, так как - стационарная, значит меняет знак с отрицательного на положительный, значит по предыдущей теореме она - точка минимума
Теорема третье достаточное условие
МА2Ч1 Стр.105
тогда |
|
|
|
если |
чётно, то |
- точка строгого экстремума |
|
|
если |
, то |
- точка минимума |
|
если |
, то |
- точка максимума |
если |
нечётно, то |
- не экстремум |
|
доказательство
1)
По теореме Тейлора
все производные, кроме производной 2k-того порядка обнулены по условию
1)
2)
2)
…
МА2Ч1 Стр.106
16. Выпуклые функции. Условия выпуклости функции.
15 марта 2014 г. |
20:21 |
Опр.
тогда
- выпуклая вниз(вверх), если для любых
геометрический смысл
прямая, заданная формулой |
соединяет точки с координатами |
если - значит функция лежит под прямой, соединяющей две точки этой функции, значит выпукла вниз
МА2Ч1 Стр.107
17. Точки перегиба. Необходимое условие точки перегиба. Достаточное условие точки перегиба.
15 марта 2014 г. |
20:22 |
МА2Ч1 Стр.108
18. Асимптоты.
15 марта 2014 г. |
20:23 |
Опр.
тогда |
|
прямая, заданная уравнением |
называется асимптотой графика, если |
то есть наш график функции стремится к графику функции , то есть разность значений этих двух функций уменьшается и стремится к нулю при увеличении аргумента .
Теорема
тогда
доказательство
простое доказательство, преобразования пределов
МА2Ч1 Стр.109
1. n-кратная дифференцируемость и непрерывная дифференцируемость. k раз непрерывная дифференцируемость функции, n раз непрерывно дифференцируемой при k<n.
7 ноября 2014 г. |
1:40 |
Опр.
называется n раз дифференцируемой в точке , если все её частные производные n-1 порядка дифференцируемы в точке .
Опр.
Функция называется n раз непрерывно дифференцируемой, она n раз дифференцируема и все её частные производные n порядка непрерывны.
МА3Ч1 Стр.110