Содержание:

Введение……………………………………………………………стр. 2

Определение фрактала…………………………………………..стр. 3

История появление фракталов………………………………….стр. 4-9

Фракталы в природе………………………………………………стр. 10-12

Математическая теория фракталов…………………………….стр. 13

Самоподобие………………………………………………………стр. 14

Размерность………………………………………………………..стр. 15-16

Примеры применения фракталов в архитектуре………...стр. 17-22

Заключение……………………………………………………..стр. 23

Введение

«До чего дошел прогресс, до невиданных чудес...»- именно такими словами песни из кинофильма «Электроник» можно дать характеристику развитию современной науки, техники и, конечно же, архитектуры.

Новые науки - фрактальная геометрия, теория самоорганизации, нелинейная динамика, неокосмология и др. принесли с собой изменение взглядов на жизнь, мировоззренческой перспективы - от механистического взгляда на вселенную до понимания, что на всех уровнях вселенная находится в процессе самоорганизации.

Актуальность подобных наук (и в частности фрактальной геометрии) в современном мире очевидна, ведь они нашли свое применение в различных сферах деятельности человека: компьютерной графике, компьютерном проектировании зданий и сооружений, аналитике, литературе, естественных науках, архитектуре, медицине.

Думаю, что толчком для развития подобных сложных систем стало стремление к разрешению глобальных проблем человечества, преодоление «духовного кризиса» общества, «кризиса идей» (который, я считаю, проявляется даже в студенческих проектах), а также понимание, что природа обладает сложностью совершенно иного уровня, чем предполагалось ранее. Человек - создание природы и появление новых теорий, новых архитектурных форм (порой даже фантастических) - это следствие эволюции. Давно прошла эпоха великих открытий, «золотых» и «серебряных» веков. Думаю, что последние несколько десятилетий человек лишь усовершенствует уже созданные и придуманные «вещи». А появление «наук о сложных системах» дает нам шанс реабилитироваться, очнуться ото «сна» и начать новый век технологий.

Определение фрактала

Что же означает «странное» слово «фрактал»? Термин «фрактал» (от латинского fractus - «дробный») обозначает изломанную самоподобную структуру, обладающую дробной размерностью. Фракталы - это геометрические объекты с удивительными свойствами: любая часть фрактала содержит его уменьшенное изображение, это множества, описываемые единым законом на всех уровнях организации; геометрическая структура с дробной размерностью, обладает свойством рекурсивности. Под фрактальностью понимается наличие у объекта какого-либо из фрактальных свойств, выраженного в динамическом или статическом состоянии. Фрактальные структуры обладают следующими свойствами: самоподобностью или иерархическим принципом организации; дробной размерностью; способностью к развитию: в простом алгоритме заключен потенциал для развития множества вариаций; принадлежностью одновременно и к хаосу, и к порядку.

Все перечисленные свойства обуславливают широчайшее распространение фрактальных структур, как в естественной, так и в искусственной средах.

История появление фракталов

 Теория фракталов  имеет  совсем   небольшой возраст. Она появилась   в конце шестидесятых годов  на стыке  математики, информатики, лингвистики и биологии.  В то время   компьютеры все больше проникали в жизнь  людей, ученые начинали применять их в своих исследованиях, росло  число пользователей вычислительных машин.  Для массового использования компьютеров необходимо стало  облегчить  процесс общения  человека с машиной. Если в самом начале компьютерной эры  немногочисленные программисты-пользователи самоотверженно   вводили команды в машинных кодах и получали результаты в виде бесконечных лент бумаги,  то при  массовом  и загруженном режиме  использования компьютеров   возникла необходимость в изобретении такого языка программирования, который  был бы понятен для машины, и в то же время, был бы прост в изучении и  применении. То есть  пользователю требовалось бы ввести только одну команду,  а   компьютер  разложил бы ее на более простые, и выполнил бы уже их. Чтобы облегчить  написание трансляторов, на стыке информатики и лингвистики  возникла теория фракталов, позволяющая  строго задавать   взаимоотношения между  алгоритмическими языками. А датский математик  и биолог А. Линденмеер придумал в 1968 году одну такую грамматику, названную им L-системой, которая, как он полагал, моделирует  также рост живых  организмов, в особенности образование кустов и веток у растений.

  Вот как выглядит его модель. Задают алфавит  - произвольный  набор символов. Выделяют одно, начальное слово, называемое аксиомой, - можно считать, что оно соответствует исходному состоянию организма – зародышу. А потом описывают правила замены каждого  символа алфавита  определенным набором символов, то есть задают  закон развития зародыша. Действуют правила так: прочитываем  по порядку  каждый символ  аксиомы и заменяем его на слово, указанное в правиле замены.

      Таким образом, прочитав аксиому  один раз, мы получаем новую строку символов, к которой снова   применяем  ту же процедуру. Шаг за шагом возникает все более  длинная строка –  каждый из таких шагов можно считать одной  из  последовательных стадий развития «организма». Ограничив число шагов, определяют, когда развития считается законченным.

Возникновение теории фракталов

      Отцом фракталов по праву можно считать  Бенуа Мандельброта.  Мандельброт  является  изобретателем    термина «фрактал».  Мандельброт писал: « Я   придумал слово «фрактал», взяв за основу латинское  прилагательное  «fractus», означающее нерегулярный, рекурсивный, фрагментный».  Первое определение фракталам также дал Б. Мандельброт: 

      Фрактал – самоподобная структура, чье изображение не зависит от масштаба. Это рекурсивная модель, каждая часть которой повторяет в своем развитии  развитие всей модели в целом.

На сегодняшний день  существует много различных  математических моделей фракталов.  Отличительная особенность каждой из них является то, что в их основе лежит   какая-либо рекурсивная функция, например: x_i=f(x_i-1). С  применением ЭВМ у исследователей появилась возможность  получать графические изображения фракталов.  Простейшие модели не требуют больших вычислений и их можно реализовать прямо на уроке информатики,  тогда как  иные модели настолько требовательны к  мощности компьютера, что их реализация  осуществляется с применением суперЭВМ. Кстати,  в  США изучением фрактальных  моделей занимается Национальных Центр Приложений для Суперкомпьютеров (NCSA).  В данной работе мы хотим  показать только несколько моделей фракталов, которые нам удалось получить.

1. Модель Мандельброта

       Бенуа Мандельброт  предложил модель фрактала, которая уже стала классической и часто  используется для демонстрации   как типичного примера самого фрактала, так  и для демонстрации красоты фракталов, которая также привлекает исследователей, художников, просто  интересующихся людей.

       Математическое описание модели следующее:  на комплексной плоскости в неком интервале для каждой точки с  вычисляется  рекурсивная функция   Z=Z²+c.  Казалось бы, что такого особенного в этой функции? Но  после N повторений данной  процедуры вычисления   координат точек, на комплексной плоскости  появляется удивительно красивая  фигура, чем-то напоминающая грушу.

       В модели Мандельброта  изменяющимся фактором является начальная  точка с, а  параметр z, является зависимым. Поэтому  для построения фрактала Мандельброта существует правило: начальное значение z равно нулю (z=0)!  Это ограничение вводится для того, чтобы первая производная от функции  z  в начальной точке была равна нулю.  А это означает, что в начальной точке  функция имеет минимум, и в дальнейшем она будет принимать  только большие значения.

Мы хотим заметить, что если  рекурсивная  формула фрактала имеет другой вид,   то тогда следует выбирать  другое значение  начальной точки для параметра Z. Например, если формула имеет вид z=z²+z+c,  то начальная точка будет равна: 

2*z+1=0  Ю  z= -1/2. 

Рис.1   Фрактал Мандельброта

       Вам уже известна математическая модель фрактала Мандельброта. Теперь мы   покажем, как  она реализуется графически.  Начальная точка модели  равна нулю. Графически она соответствует центру тела “груши”.  Через N шагов заполнятся все тело груши и в  том месте, где закончилась последняя итерация, начинает образовываться  «голова»  фрактала.   «Голова» фрактала будет  ровно в четыре раза  меньше тела, так как  математическая формула  фрактала представляет из себя квадратный полином.  Затем опять через N  итераций у «тела» начинает образовываться  «почка» (справа и  слева от «тела»).  И так далее. Чем больше задано числе итераций N, тем более детальным получится изображение фрактала, тем больше будет у него  различных отростков.  Схематическое изображение стадий роста фрактала   Мандельброта  представлено на рис.2:

Рис.2   Схема образования фрактала Мандельброта

      Из рисунков 1 и 2 видно, что каждое последующее образование  на «теле»  точно повторяет  в своем строении само тело.  Это и есть отличительная  черта того, что данная модель является фракталом.

       На следующих рисунках  показано, как будет изменяться положение  точки, соответствующей параметру z,   при различном  начальном положении  точки c.

А) Начальная точка в «теле» 

Б) Начальная точка в «голове»

В) Начальная точка в «почке»

Г) Начальная точка в «почке» второго уровня

Д) Начальная точка в «почке» третьего уровня

Из рисунков  А - Д   хорошо видно, как  с каждым шагом все более усложняется структура фрактала  и у параметра  z   все более сложная траектория.

     Ограничения на модель Мандельброта:  существует доказательство, что в модели Мандельброта   |z|<=2   и  |c|<=2.