5.1. Расчет балки, подверженной косому или пространственному изгибу

Основные определения

Рис. 5.3. Косой изгиб

Рис. 5.4. Пространственный изгиб

Косым изгибом называется такой изгиб, при котором вся нагрузка на балку действует в одной плоскости, и эта плоскость не совпадает с плоскостями, в которых лежат главные центральные оси инерции сечения (плоскости ина рис. 5.3). При косом изгибе изогнутая ось представляет собой плоскую кривую, и плоскость, в которой она расположена, не совпадает с плоскостью действия нагрузки. Припространственном изгибе нагрузка приложена в разных плоскостях (рис. 5.4), деформированная ось является пространственной кривой.

При косом или пространственном изгибе в сечении стержня возникают четыре усилия: ,,и. Нормальные напряжения в произвольной точке сечения определяются по формуле, полученной из (5.1) при,

. (5.3)

Касательные напряжения от поперечных сил, если нельзя воспользоваться формулой Журавского, допустимо не учитывать.

Порядок проверки прочности балки, работающей в условиях косого или пространственного изгиба, тот же, что и для балки, работающей при плоском поперечном изгибе. Для этого необходимо:

• построить эпюры внутренних усилий². Для построения эпюр внутренних усилий раскладываем нагрузки на вертикальную и горизонтальную составляющие. Вертикальная составляющая вызывает изгиб относительно горизонтальной оси , горизонтальная – относительно оси;

• выбрать опасные сечения – это сечения, где имеет место наиболее неблагоприятное сочетание изгибающих моментов;

• в опасных сечениях найти опасные точки – точки с максимальными нормальными напряжениями;

• записать условие прочности в этих точках. Из условия прочности либо подобать размеры поперечного сечения, либо найти допускаемую нагрузку, либо просто сделать вывод о возможности безопасной эксплуатации конструкции.

Определение положения опасных точек в стержне произвольного поперечного сечения производится по схеме, описанной ранее во вступительной части разд. 5. Поскольку в уравнении нейтральной линии

(5.4)

отсутствует свободный член, то нейтральная линия проходит через центр тяжести сечения (рис.  5.5). Построив нейтральную линию и эпюру нормальных напряжений, найдем положение опасных точек. Допустим, что напряжение в точке 1 больше, чем в точке 1 (это можно определить по масштабу, если построить сечение и эпюру напряжений в масштабе). Условие прочности в опасной точке 1, которая находится в линейном напряженном состоянии, записывается так:

(5.5)

Значение зависит от материала, из которого сделана балка, и для хрупкого материала необходимо учесть направление (растягивающее или сжимающее).

Для некоторых форм сечений, а именно, прямоугольника, двутавра и других сечений, угловые точки которых находятся в углах прямоугольника, нет необходимости для записи условий прочности находить положение опасных точек. Для таких сечений положение опасных точек не зависит от угла наклона нейтральной линии, и опасные точки – это всегда угловые точки сечения. Условие прочности в этих точках записывается следующим образом:

, (5.6)

где и– моменты сопротивления поперечного сечения относительно главных центральных осей.

Рис. 5.5. Эпюра нормальных

напряжений и перемещение

точки О оси балки

Перемещения балки, работающей в условиях косого или пространственного изгиба, можно находить любым способом. Обычно это делают методом Максвелла – Мора, перемножая эпюры с помощью правила Верещагина. От вертикальной составляющей нагрузки точки оси балки перемещаются по вертикали (вдоль оси ). Вертикальная составляющая полного прогибанаходится по формуле

. (5.7)

Перемещения точек оси балки вдоль оси, вызванные горизонтальной составляющей нагрузки, определяются аналогично

. (5.8)

Эти перемещения для точки оси балки показаны на рис. 5.5. Полное перемещение (отрезок на рис. 5.5) является геометрической суммой составляющих и. Отметим такую закономерность: при косом изгибе отрезокдолжен быть в точности перпендикулярен нейтральной линии[2], при пространственном изгибе этот угол, как правило, должен быть близок к . При косом изгибе плоскость, в которой лежит изогнутая ось стержня, не совпадает с плоскостью действия нагрузки. Это отличает косой изгиб от прямого, при котором плоскость действия нагрузки совпадает с одной из главных плоскостей осей инерции сечения, и изогнутая ось лежит в той же плоскости.

Пример расчета балки при пространственном изгибе (задача № 28)

Условие задачи

Балка загружена нагрузкой, показанной на рис. 5.6. Сила кН действует в вертикальной плоскости,кН – в горизонтальной, пара силкНм – в плоскости, расположенной под углом к оси.

Требуется:

1. из условия прочности подобрать номер двутавра;

2. 

   Рис. 5.6. Схема нагрузки на балку

   найти полное перемещение точки оси балки (см. рис. 5.6);

3. нарисовать сечение балки в масштабе и показать на нем нейтральную линию и полное перемещение точки . Определить угол между нейтральной линией и полным перемещением³.

Решение

Разложим нагрузку на вертикальную (рис. 5.7, а) и горизонтальную (рис. 5.7, в) составляющие и построим эпюры и(рис. 5.7,б,  г). Чтобы правильно поставить знаки изгибающих моментов, необходимо на рисунках показывать направление осей и, так как в соответствии с правилом знаков для изгибающего момента в задачах сложного сопротивления знак момента зависит от направления осей. Эпюры моментов строим со стороны растянутых волокон в той плоскости, в которой действует нагрузка. По эпюрам выбираем опасные сечения. В рассматриваемом примере их два: сечение, в котором действуюткНм и кНм, и сечение с изгибающими моментами –кНм и кНм.

Рис. 5.7. Эпюры изгибающих моментов от:

а,б– вертикальной составляющей нагрузки;

в,г– горизонтальной составляющей нагрузки;

д,е– единичной силы

Условие прочности в опасных точках двутавра имеет вид (5.6). Поскольку отношение моментов сопротивления зависит от номера двутавра, а он неизвестен, примем это отношение условно⁴ равным 10. Тогда условие прочности (5.6) в опасных точках сечения примет вид:

,

где допускаемое напряжение для стали принято = 160 МПа, величины изгибающих моментов переведены из кНм в кНсм. Из написанного условия прочности найдем необходимый момент сопротивления

см³.

По сортаменту прокатной стали подбираем номер двутавра. Для двутавра № 50 с такими характеристиками: см³ и см³ условие прочности в опасных точках сечения

кН/см²

не выполняется, поэтому увеличиваем двутавр. Проверим прочность для двутавра № 55, у которого см³ и см³:

кН/см².

Убедимся в том, что условие прочности выполняется и в опасных точках опасного сечения :

кН/см².

Обратите внимание на величину напряжений от изгибающего момента , действующего в горизонтальной плоскости, которую показывает второй член в сумме. Видно, что, несмотря на то, чтов рассмотренном примере существенно меньше, напряжения отбольше чем напряжения от(или они примерно одинаковы). Это говорит об опасности изгиба в горизонтальной плоскости, особенно для двутавров, у которых.

Найдем перемещение точки . Будем искать по формуле (5.7) сначала вертикальную составляющую перемещения, вызванную вертикальной составляющей нагрузки. Формулу Максвелла – Мора (5.7) интегрируем по правилу Верещагина, перемножая эпюрыи(рис. 5.7,б, е). Если хотя бы одна эпюра на участке имеет форму трапеции, используем для перемножения правило трапеций [6].

кНм³.

Аналогично определим по (5.8) горизонтальную составляющую перемещения⁵, перемножая эпюры и(рис. 5.7,г, е).

кНм³.

Положительные знаки перемещений свидетельствуют о том, что перемещения происходят по направлениям единичных сил, т. е. вертикальное перемещение – вниз (по направлению оси ), горизонтальное – по направлению оси. Сосчитаем найденные составляющие перемещения в "см", разделив их на соответствующие жесткости.

кНсм²,

кНсм²,

см,

см.

Из сравнения величин ивидно, что горизонтальная составляющая перемещения, даже при небольшой горизонтальной нагрузке много больше (особенно для двутавра) вертикальной составляющей.

Рис. 5.8. Эпюра напряжений

в опасном сечении С

и перемещение точки С

Выполним последнюю часть задачи. Нарисуем сечение балки в масштабе, покажем на нем нейтральную линию и полное перемещение. Уравнение нейтральной линии (5.4) в опасном сечении С имеет вид⁶:

или . Нейтральная линия, построенная по этому уравнению, и эпюра нормальных напряжений в сечениипоказаны на рис. 5.8. Знаки напряжений соответствуют положительным знакам изгибающих моментов. Угловые точки 1, 1 – это опасные точки сечения, в которых мы ранее находили напряжения.

Найдем угол (см. рис. 5.8) между нейтральной линией и осью:

Отложим в масштабе найденные ранее вертикальную и горизонтальнуюсоставляющие перемещения с учетом их направления. Полное перемещение точки– отрезокна рис. 5.8 равен геометрической суммеи. Уголмежду полным перемещением и осью

.

Таким образом, угол между полным перемещением и нейтральной линией, что близко к.

5.2. ВНЕЦЕНТРЕННОЕ РАСТЯЖЕНИЕ-СЖАТИЕ СТЕРЖНЕЙ БОЛЬШОЙ ЖЕСТКОСТИ

Основные определения

Внецентренное растяжение-сжатие – такой вид деформации, при котором стержень загружен растягивающими и (или) сжимающими силами, приложенными вне центра тяжести поперечного сечения. При внецентренном растяжении-сжатии стержней (рис. 5.9) в стержне возникают три внутренних усилия: продольная сила и два изгибающих моментаи. Предполагается, что стержень имеет большую жесткость, т. е. его длина не слишком велика по сравнению с размерами поперечного сечения. В этом случае определение усилий производим по недеформированному состоянию, т. е. при определении усилий не учитываем искривление оси стержня в результате изгиба. Используя правило знаков для изгибающих моментов, описанное во вступительной части разд. 5 "Сложное сопротивление", найдем внутренние усилия, как сумму усилий от каждой силы. Тогда для стержня, показанного на рис. 5.9, согласно методу сечений получим

;

;

.

Здесь – эксцентриситеты точек приложения сил, т. е. расстояния от сил до осейи(всегда положительны),и– величины сил тоже считаются положительными. Знаки в формулах дляисоответствуют правилу знаков для изгибающих моментов. Поясним их. Относительно осисилавызывает изгиб стержня выпуклостью справа. Вся область сечения, расположенная справа от оси, в том числе и первый (положительный) квадрант, окажется растянутой, поэтому эта сила создает положительный изгибающий момент. Силавызывает изгиб стержня относительно оситоже выпуклостью справа, поэтому знак изгибающего моментаот силыопять положительный. При изгибе относительно осипередняя и задняя части сечения имеют напряжения разного знака. Силавызывает изгиб стержня выпуклостью за осью, т. е. задняя часть сечения (а значит и первый квадрант) окажется растянутой, поэтомуот силыимеет знак плюс. Силавызывает сжатие задней части сечения стержня, первый квадрант окажется сжатым, и знак изгибающего моментаототрицательный⁷.

Рис. 5.9. Внецентренное растяжение- сжатие жесткого стержня

От найденных усилий в стержне возникают только нормальные напряжения, которые определяются по формуле (5.1). Для проверки прочности стержня необходимо найти максимальные напряжения. Определение этих напряжений производится по схеме, описанной ранее, т. е.

• строим нейтральную линию по уравнению (5.2);

• находим положение опасных точек;

• подставляя в (5.1) координаты опасных точек, вычисляем напряжения в этих точках;

• для проверки прочности сравниваем максимальные напряжения с допускаемыми.

Если в сечении действует только одна сила, растягивающая или сжимающая , то формулу (5.1) можно преобразовать к такому виду:

, (5.9)

где

, (5.10)

– радиусы инерции сечения относительно главных центральных осей, ,– координаты точки приложения силы,,– координаты точки, в которой определяются напряжения. Все координаты вычисляются вглавной центральной системе осей инерции сечения. Уравнение нейтральной линии в этом случае будет иметь вид

. (5.11)

Используя уравнение нейтральной линии (5.11), найдем отрезки ,, отсекаемые нейтральной линией на осях координат (рис. 5.10),

; . (5.12)

Откладываем эти отрезки с учетом знаков вдоль главных центральных осей и строим нейтральную линию (см. рис. 5.10).

Рис. 5.10. Положение нейтральной линии

при внецентренном растяжении (сжатии)

одной силой

Из формул (5.12) следуют некоторые закономерности, связывающие положения полюса (т. е. точки приложения силы) и нейтральной линии, которые удобно использовать для анализа решения задачи. Перечислим самые важные из этих закономерностей:

1. нейтральная линия всегда расположена в квадранте, противоположном тому, в котором находится полюс (см. рис. 5.10);

2. если полюс находится на одной из главных осей, то нейтральная линия перпендикулярна этой оси;

3. если полюс приближается к центру тяжести сечения, то нейтральная линия удаляется от него.

4. если полюс движется по прямой линии, то нейтральная линия поворачивается вокруг неподвижной точки.

Рис. 5.11. К определению ядра сечения

Из предпоследней закономерности следует, что если сила приложена достаточно близко к центру тяжести, то нейтральная линия удаляется так далеко, что нигде не пересекает сечение. Это означает, что напряжения во всем сечении будут иметь один знак. Следовательно, существует такая область вокруг центра тяжести, которая обладает следующим свойством: если внутри этой области или на ее контуре приложить силу (растягивающую или сжимающую), то во всем сечении будут возникать напряжения одного знака. Такая область называется ядром сечения. Рис. 5.11 поясняет данное определение ядра сечения.

Из приведенного определения ядра сечения следует первый способ построения ядра сечения. Согласно этому способу надо обвести контур сечения нейтральными линиями, касающимися контура и нигде не пересекающими сечение. Полюсы, соответствующие этим нейтральным линиям, будут находиться на контуре ядра сечения. На практике обычно более удобным является второй способ построения ядра сечения, который основан на свойстве взаимности нейтральной линии и полюса [2, гл. 7, § 36]. Для построения ядра сечения по второму способу надо поместить полюсы во внешних всех угловых точках сечения, имеющего форму многоугольника, и построить соответствующие им нейтральные линии. Эти нейтральные линии очертят контур ядра сечения. Отметим, что при построении ядра сечения нельзя располагать полюсы во внутренних угловых точках, так как через них нельзя провести касательные, нигде не пересекающие сечение. Рис. 5.12 поясняет разницу между внешними и внутренними угловыми точками многоугольника.

Для определения напряжений и проверки прочности стержня произвольного сечения, а также для построения ядра сечения необходимо научиться находить геометрические характеристики сечений, важнейшими из которых являются моменты инерции. Этому посвящен раздел 5.2.1.