- •Н. Б. Левченко
- •Общие указания по выполнению расчетно-проектировочных работ
- •Используемые обозначения
- •5. Сложное сопротивление
- •Основные понятия и формулы
- •5.1. Расчет балки, подверженной косому или пространственному изгибу
- •6, 7 – Внутренние угловые
- •5.2.2. Определение грузоподъемности жесткого стержня моносимметричного сечения при внецентренном растяжении-сжатии (задача № 29)
- •5.2.3. Определение грузоподъемности внецентренно сжатых жестких стержней несимметричных сечений (задачи № 30, 31)
- •5.3. Общий случай сложного сопротивления Основные определения
- •Примеры решения задач
- •5.3.1. Расчет стержня в общем случае сложного сопротивления (задача № 32) Условие задачи
- •5.3.2. Расчет коленчатого вала на изгиб с кручением (задача № 33)
- •Основные определения
- •Пример расчета коленчатого вала
- •6. Устойчивость
- •Основные понятия и формулы
- •Примеры решения задач
- •6.1. Определение грузоподъемности центрально-сжатого стержня (задача № 34)
- •6.2. Подбор сечения центрально-сжатого стержня (задача № 35)
- •6.3. Расчет гибкого сжато-изогнутого стержня (задача № 36)
- •7. Расчет на динамическую нагрузку
- •7.1. Вынужденные колебания систем с одной степенью свободы (задача № 37)
- •Основные определения
- •Пример расчета системы с одной степенью свободы Условие задачи22
- •Решение
- •7.2. Расчет рамы (балки) на ударную нагрузку (задача № 38) Основные определения
- •Пример расчета рамы на ударную нагрузку Условие задачи
- •Решение
- •Список литературы
- •Содержание
- •Сопротивление материалов
- •Часть 3
6.3. Расчет гибкого сжато-изогнутого стержня (задача № 36)
Основные определения
В разделе 5.2 рассматривался расчет жестких стержней, подверженных внецентренному растяжению-сжатию. Расчет этих стержней велся по недеформированному состоянию, т. е. при определении внутренних усилий не учитывалось искривление оси стержня. Для гибких стержней необходимо учитывать влияние деформаций изгиба на внутренние усилия. Такой расчет носит название расчета по деформированному состоянию.
При расчете по деформированному состоянию изгибающий момент вызывается не только поперечной нагрузкой, но и сжимающей силой. Будем рассматривать стержень, подверженный действию поперечной, примерно симметричной относительно середины пролета нагрузки, действующей в плоскости симметрии поперечного сечения, и сжимающей силы F. В этом случае наибольший прогиб имеет место посередине пролета. Максимальное нормальное напряжение в опасном сечении стержня определяется по формуле
, (6.10)
где – изгибающий момент в опасном сечении, вызванный действием только поперечной нагрузки (при отсутствии сжимающей силы);– прогиб посередине пролета, вызванный только поперечной нагрузкой;– значение критической нагрузки, вызывающей потерю устойчивости стержня в плоскости действия поперечной нагрузки,– момент сопротивления сечения стержня относительно той оси, которая будет нейтральной при изгибе от поперечной нагрузки.
В формуле (6.10) два первых слагаемых определяют наибольшее напряжение в стержне при расчете по недеформированному состоянию, третье слагаемое показывает вклад сжимающей силы в напряжения от изгиба. Видно, что зависимость напряжения от сжимающей нагрузки нелинейная, поэтому проверку прочности стержня нельзя производить расчетом по допускаемым напряжениям. Проверку прочности гибких сжато-изогнутых стержней необходимо вести расчетом по предельному состоянию, обеспечивая запас прочности не по напряжениям, а по нагрузке. В этом случае условие прочности имеет вид:
, (6.11)
где n – нормируемый коэффициент запаса прочности материала.
Проверка жесткости гибкого сжато-изогнутого стержня расчетом по деформированному состоянию производится по формуле
. (6.12)
В формуле (6.11) – коэффициент запаса по прогибам, обычно принимаемый равным коэффициенту запаса прочности.
Кроме проверки прочности и жесткости по условиям (6.11), (6.12) необходимо проверить условие устойчивости (6.6) гибкого стержня и обеспечить невозможность потери устойчивости стержня в плоскости наименьшей жесткости, обычно перпендикулярной плоскости действия поперечной нагрузки.
Пример расчета гибкого сжато-изогнутого стержня
Условие задачи
Рис. 6.6. Сжато-изогнутый стержень
Решение
Построим эпюру изгибающих моментов от поперечной нагрузки (рис. 6.7, а) и подберем сечение расчетом по недеформированному состоянию без учета продольной силы.
. Откуда .
Выберем из сортамента прокатной стали швеллер № 27, у которого ,, и проверим прочность с учетом продольной силы:
.
Увеличим размер швеллера. Для швеллера № 30 с такими характеристиками: ,,,условие прочности по недеформированному состоянию выполняется:
.
Рис. 6.7. Эпюры изгибающих моментов:
а– от поперечной нагрузки;
б – от единичной силы, соответствующей
прогибу в середине пролета
.
Чтобы найти критическую силу, найдем гибкость стержня в плоскости изгиба, где жесткость максимальна.
.
Гибкость стержня для стали С235, поэтому определяем критическую силу по формуле Эйлера (6.2).
.
Принимая коэффициент запаса прочности n = 1,5, проверим прочность по условию прочности по деформированному состоянию (6.11).
.
Поскольку условие прочности по деформированному состоянию для швеллера № 30 не выполняется, проверим прочность по условию (6.11) для швеллера № 33, у которого ,,,,.
;
Поскольку , определяем критическую силу по формуле Ясинского (6.3).
.
Тогда условие прочности (6.11)
выполняется.
Проверим жесткость стержня расчетом по деформированному состоянию по формуле (6.12). Примем и допускаемый прогиб. Тогда условие жесткости
выполняется.
Осталось удовлетворить третьему условию – условию устойчивости в плоскости наименьшей жесткости. Найдем минимальный радиус инерции сечения из двух швеллеров:
.
Если швеллеры расположены вплотную друг к другу, то . Тогда
и . Гибкость стержней больше, чем 200, не допускается. Для сечения из двух швеллеров можно уменьшить гибкость, не увеличивая размер швеллера. Для этого следует раздвинуть швеллеры. Величинуа нужно подобрать так, чтобы гибкость стержня была меньше 200 и условие устойчивости (6.6) выполнялось. В рассматриваемом примере такой величиной будет , которой соответствует расстояние между стенками швеллеров. Для стержня с таким сечением
;
.
Этой гибкости соответствует , и условие устойчивости
выполняется. Таким образом, всем условиям (прочности, жесткости и устойчивости) удовлетворяет сечение из двух швеллеров № 33, расстояние между стенками которых равно 5,60 см.