Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

7_Основные теоремы строительной механики

.doc
Скачиваний:
81
Добавлен:
28.03.2015
Размер:
9.45 Mб
Скачать

Основные теоремы строительной механики.

Определение перемещений

  1. Общие понятия

Δ – перемещения от внешних воздействий;

δ – перемещения от единичных безразмерных сил

ΔiF = δiFF

ΔiF = ∑δiFFn

  1. Работа сил. Потенциальная энергия деформации

dT = dFi∙dΔi

(теорема Б. Клайперона)

.

Mi, Qi и Ni – силы, совершающие работу

Mk, Qk и Nk – силы, вызывающие деформации

T = – W

  1. Принцип возможных перемещений

(принцип Ж. Лагранжа)

Для того, чтобы система, имеющая идеальные связи, находилась в равновесии, необходимо и достаточно, чтобы сумма элементарных работ всех приложенных к ней сил на любой совокупности возможных перемещений равнялась нулю.

Rq∙ΔК + RB ∙ΔB F1∙ΔС + F2∙ΔF = 0

Rq = 1,2q

ΔС = Δ ΔB = Δ/1,2

ΔК = 0,5Δ ΔF = 0,25Δ

–1,2ql∙0,5Δ + RB∙Δ /1,2– 0,5ql∙Δ + +ql∙0,25Δ = 0

RB = 1,02 ql

Если упругая деформируемая система под действием приложенных к ней внешних сил находится в равновесии, то при всяком возможном бесконечно малом перемещении точек этой системы сумма работ её внешних и внутренних сил равна нулю.

  1. Основные теоремы строительной

механики

Теорема о взаимности возможных рабоn

(теорема Бетти)

Ti= 0,5 Fi Δii + Fi Δik + 0,5 Fk Δkk

Tk = 0,5 Fk Δkk + Fk Δki + 0,5 Fi Δii

Ti = Tk

Fi Δik = Fk Δki

Tik = Tki

Возможная работа сил состояния i на перемещениях, вызванных силами состояния k, равна возможной работе сил состояния k на перемещениях, вызванных силами состояния i.

Теорема о взаимности возможных

перемещений

(теорема Максвелла)

Δki = δkiFi

Δik = δikFk

FiΔik = Fk Δki

FiδikFk = FkδkiFi

δik = δki

Возможное перемещение по направлению i от единичной безразмерной силы, приложенной по направлению k, численно рано возможному перемещению по направлению k от единичной безразмерной силы, приложенной по направлению i.

Теорема о взаимности возможных реакций

(теорема Рэлея)

Rii∙0 – Rki∙Δk = – Rik∙Δi + Rkk∙0

Rki∙Δk = Rik∙Δi

Rki = rki∙Δi Rik = rik∙Δk

rki∙Δi∙Δk = rik∙Δk ∙Δi

rik = rki

Возможная реакция в связи i от единичного смещения связи k численно равна возможной реакции в связи k от смещения связи i.

  1. Определение перемещений от внешней нагрузки

ТFk = 1∙ΔkF

при определении перемещений в фермах

при определении перемещений в изгибаемых системах

при определении перемещений в комбинированных системах

Вспомогательные состояния при определении перемещений

Способы “перемножения” эпюр

− способ Верещагина

Mk = x tg α

MF dx = dΩ

xMF dx = x

Площади и центры тяжести простейших геометрических фигур

, y01= 1;

Ω2 = 0,5∙48∙4 = 96, y02 = 2∙2/3 = 4/3;

Ω3 = Ω2 = 96, y03 = y02 = 4/3;

Ω4 = Ω1 = 128/3, y04 = y01 = 1;

Ω5 = 0,5∙32∙4 = 64, y02 = 1∙2/3 = 2/3.

− использование формул “перемножения” эпюр

h1 = 0,5∙2 = 1,

h2 = 0,5∙2 = 1,

f1 = 0,5∙48 + 8·42/8 = 40,

f2 = 0,5∙(48 –32) + 8·42/8 = 24.

Пример 2

Пояса :

∟80 х 50 х 6 (A1 = = 2∙7,55 = 15,1 см2)

EA1 = 2,06∙108∙15,1∙10-4 = 31,106∙104 кН = EA

Решётка:

∟50 х 5 (A2 = 2∙4,8 = 9,6 см2)

EA2 = 2,06∙108∙9,6∙10-4 = 19,776∙104 кН = 0,636EA

Определить изменение угла между левой стойкой и раскосом во второй панели

Пример 3

  1. Определение перемещений от теплового воздействия

Ttk = 1∙ Δkt

Ttk = – Wtk

Формула для определения перемещений от теплового воздействия

.

Пример 5

Левая стойка:

t01 = 0,5(– 45º + 15º) = –15ºС;

Δt1 = |15º – (– 45º)| = 60ºС

Правая стойка:

t02 = 0,5(45º + 150) = 30ºС;

Δt2 = |15º – 45º | = 30ºС

Удлинения стержней:

левая стойкая

Δl1ttt01l1= 120∙10-7∙(– 15º)∙4,5 =

= – 0,081∙10-2 м;

правая стойка

Δl2ttt02l2= 120∙10-7∙30º ∙4,5 = 0,162∙10-2 м

  1. Определение перемещений

от неравномерной осадки опор и

неточности изготовления стержней

TΔk = 1∙ΔkΔ + R1∙Δ1 + R2∙Δ2 +…+ +Ri∙Δi +…+ Rn∙Δn =

=1∙ΔkΔ +∑ Rik∙Δi

WΔk = 0

TΔk = WΔk = 0

Формула для определения перемещений от неравномерной осадки опор

ΔkΔ = – ∑Rik∙ Δi

Формула для определения перемещений от неточности изготовления стержней

ΔkΔ = ∑Nik∙Δi

Пример 6

Определить угол поворота сечения К и построить деформированную схему балки

φK = Δ1Δ = – (0,05∙0,06 – 0,125∙0,08 – – 0,375∙0,04 + 0,25∙0,02) = – 0,01 рад.

Пример 5

Определить смещение опоры В, если затяжка изготовлена короче на 0,06 м; построить деформированную схему рамы

ΔВ = Δ1Δ = 2∙(– 0,06) = – 0,12 м

116

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]