§ 56. Раскраска ребер

Реберной k-раскраской графа G называется функция φ, ставящая в соответствие каждому его ребру е число φ (е) из множества (1, 2, ..., к). Если φ — реберная рас­краска и ф(е) = с, то говорят, что ребро е окрашено в цвет с. Множество всех ребер, окрашенных в фиксиро­ванный цвет, называют реберным цветным классом. Ре­берная раскраска называется правильной, если смежные ребра имеют разные цвета. Граф, допускающий правиль­ную реберную k-раскраску, называется реберно k-раскрашиваемым. Минимальное число k, при котором граф G является реберно k-раскрашиваемым, называется хрома­тическим индексом (хроматическим классом, реберным хроматическим числом) графа G и обозначается через χ‘(G).Если χ '(G) = k, то граф G называется реберно k-хроматическим.

Поскольку ребра любого графа G смежны тогда, когда смежны соответствующие вершины реберного графа L(G), то χ'(G) можно определить как хроматическое число графа L(G),т. е. χ'(G) = χ(L(G)).

При правильной реберной раскраске каждое множе­ство ребер одного цвета является паросочетанием. По­этому число χ'(G) можно рассматри­вать как наименьшее число паросочетаний, на которые разбивается множе­ство ребер графа G.

Поскольку при любой правильной раскраске графа G ребра, инцидент­ные одной вершине, имеют различные цвета, то χ'(G) ≥ Δ(G). Легко приве­сти примеры, когда χ'(G)> Δ(G) (см. рис. 56.1).

Следующая теорема, принадлежа­щая В. Г. Визингу (1964 г.), дает поразительно точные оценки хроматического индекса графа.

Теорема 56.1. Для любого графа G верны не­равенства

Как отмечалось выше, левое из этих неравенств очевидно, остается доказать правое. Оно верно для К₂. Предположим, что в общей ситуации правое неравенство не выполняется. Среди всех графов, ему не удовлетво­ряющих, выберем граф G с минимальным числом ребер. Пустье1 € EG, Н = G — е1. Имеем

Пусть Δ = Δ(G). Зафиксируем правильную раскраску φ’: ЕН -> {1, 2, ..., Δ + 1} ребер графа H и скажем, что цвет q € {1, 2, ..., Δ + 1} отсутствует в вершине v € VH, если φ(е) ≠ q для любого ребра е, инцидентного верши­не v. Так как число возможных цветов больше чем Δ, то в каждой вершине отсутствует хотя бы один цвет.

Пусть е1 = ху1, a s и t1 — цвета, отсутствующие в вер­шине х и в вершине у1 соответственно. Исходя из пары у1, t1, построим индуктивно две последовательности —

вершин у1, у2,…, уk и цветов t1, t2, ..., t_h,— удовлетво­ряющие следующим трем условиям:

1. xy_i = e_i € EG ( i=1,k);

2. цвет ti отсутствует в вершине y_i(i = i,k);

3. φ(e_i+1) = ti (i = 2, k-1).

Пусть последовательности у1, ..., у_i и t1, ...., ti уже по­строены. Если существует такое ребро е = ху € ЕН, ин­цидентное вершине x , что у € (у1, ..., уi), φ(е) = t_i, то полагаем уi+1 = y и берем в качестве t_i+1 один из цветов, отсутствующих в вершине у. Если же описанного ребра е не существует, то полагаем k = i. Нужные последова­тельности построены.

Далее возможны две ситуации.

1. Не существует ребра ху € ЕН, для которого φ(xy) = t_h. Переопределим функцию φ, положив φ(е_{) = ti(i = 1, k) и оставив значения на других ребрах неизмен­ными. Получена правильная раскраска φ: EG -> {1, 2, .., Δ + 1} ребер графа G.

2. Существует ребро ху € ЕН, для которого φ(ху) = t_k. Тогда это ребро совпадает с каким-либо из e_i (i = 2, к). Пусть, скажем, ху = еj. Снова переопределим функцию φ, полагая φ(ei) = ti (i=1,j —1). Ребро еj пока не окрашено, значения функции φ на всех остальных ребрах не меняются.

Рассмотрим остовный подграф F графа G, ребрами которого служат все ребра графа G, имеющие цвет s или t_k. Очевидно, что степень каждой вершины графа F не более двух, и потому каждая его связная компонента является либо простой цепью, либо простым циклом, либо К1. Степени вершин х, y_j, и y_k в F не более едини­цы, следовательно, эти три вершины не могут входить в одну компоненту. Рассмотрим отдельно два случая.

а) Вершины х и y_j, находятся в разных компонентах графа F. В этом случае в компоненте, содержащей вер­шину y_j, переставим цвета s и t_k, т. е. положим φ(е) = s, если было φ(е) = t_k, и наоборот. Тогда цвет s будет отсутствовать и в вершине x, и в вершине y_j, что позволит положить φ(е) = s. Вновь получается правильная (Δ + 1)-раскраска ребер графа G.

б) Вершины х и y_h находятся в разных компонентах графа F. Положим φ(е_i) = t_i {i = j, k — i), а ребро е_к оставим пока не окрашенным. Это действие не затраги­вает ребер графа F. Переставим теперь цвета s и t_h в компоненте графа F, содержащей вершину y_h. Теперь цвет s отсутствует и в вершине x, и в вершине у_к. По­лагаем далее φ(е_k) = s.Построена правильная (Δ + 1)-раскраска ребер графа G.

Итак, в любой ситуации строится правильная (Δ + 1)-раскраска ребер графа G, что противоречит не­равенству (1). Это противоречие и доказывает теорему.

В частности, теорема Визинга свидетельствует о том, что теорема 54.5 о существовании графов без треуголь­ников с произвольно большим хроматическим числом пе­рестает быть верной в классе реберных графов, где хро­матическое число и плотность графа различаются не бо­лее чем на 1. Тем не менее даже в этом случае, т. е. в узком классе реберных графов, хроматическое число определяется сложно: несмотря на то, что величина χ'(G) может принимать только два значения — Δ(G) или Δ(G)+1 — ее определение является весьма трудной задачей.

Найдем хроматический индекс для некоторых клас­сов графов.

Теорема 56.2.Справедливы равенства

Докажем первое равенство. Пусть

—разбиение множества ЕК_2n+1 на цветные классы. Так как ребра одного класса не смежны, то

откуда получаем

Из теоремы 56.1 теперь следует, что χ'(К_2n+1)=l=2n+1.

Перейдем ко второму соотношению. Пусть v — про­извольная вершина графа К_2n - Рассмотрим граф G = К_2n — v = K_2n-1. По доказанному выше ребра графа G можно раскрасить 2п — 1 цветами. Так как степень лю­бой вершины и графа G равна 2n — 2, то некоторый цвет не будет представлен в вершине и. С другой стороны, множество всех ребер цвета c_i образует паросочетание в графе G. Поэтому вследствие нечетности \VG\ найдется такая вершина и_i, что цвет c_i, будет отсутствовать в и_i Отсюда следует, что цвета, отсутствующие в вершинах графа G, попарно различны. Для получения требуемой раскраски ребер графа К_2п нужно приписать каждому ребру vи_i цвет, не представленный в вершине и_i.

Теорема 56.3 (Д. Кёниг, 1931). Для любого дву­дольного графа G верно равенство χ' (G) = Δ (G).

Пусть, напротив, утверждение теоремы неверно, и G — двудольный граф с минимальным числом ребер, для которого χ'(G) = ΔA(G)+ 1. Тогда для любого ребра ее EG справедливо равенство χ'(G - е) = Δ(G — e) ≤ Δ(G). Зафиксируем ребро e = uv € EG и правильную реберную Δ(G)-раскраску φ графа G — e и обозначим че­рез М_w множество цветов, отсутствующих в некоторой вершине w. Очевидно, что М_и≠ ¢, M_v ≠ ¢. Если М_и ∩ M_v ≠ ¢, то ребро е можно окрасить в цвет, принадле­жащий этому пересечению. Поэтому М_и ∩ M_v ≠ ¢. Пусть s € M_u, t € M_v. Рассмотрим цепь L, начинающуюся в вер­шине v, ребра которой попеременно окрашены в цвета s и t и которая имеет наибольшую длину среди таких цепей. Вершина и не входит в L, иначе (v, и)-подцепь цепи L вместе с ребром е образовала бы в графе G цикл нечетной длины, что невозможно в двудольном графе. Переставив цвета s и t в цепи L, можно затем окрасить ребро е в цвет s, что противоречит исходному предполо­жению.

Типичная ситуация отражается следующей теоремой, приводимой без доказательства (см. обзор [21]).

Теорема 56.4. Для почти каждого графа G верно равенство

χ’(G) = Δ(G).