Emelichev_V_A_Melnikov_O_I_Sarvanov_V_I_T / Глава VII

H=(H₁ - va) U (H₂- bx) + xv + аb. Пусть теперь \VG₂\=2, т. е. G₂ состоит из одного ребра bc. Тогда положим

H = (H₁ — va) + ab + be + vc.

Наконец, если G₁ содержит единственную вершину b, то

H=(H₁-va)+ab+bv.

Итак, во всех случаях граф G₀ содержит гамильто­нов цикл H, проходящий через ребро ab дерева G₀, что противоречит выбору G₀

Легко указать граф, квадрат которого негамильтонов. Таков, например, граф, получающийся из звезды K_1,3 подразбиением каждого ребра.

Следующая теорема, приводимая без доказательства, является наиболее значительным результатом среди всех, касающихся гамильтоновых циклов в степенях графов.

Теорема 44.10 (Г. Флейшнер, 1971 г.). Если G — двусвязный граф порядка п>3, то G² — гамилътонов граф.

Во многих прикладных задачах требуется строить гамильтонову цепь, а не цикл. Граф, содержащий такую цепь, называется трассируемым. Задачи о гамильтоновой цепи и гамильтоновом цикле эквивалентны в том смыс­ле, что, умея решать одну из них, мы смогли бы решить и другую. Эту эквивалентность можно установить с по­мощью очень простых конструкций. Вместе с исходным графом G, для которого надо решать обсуждаемые зада­чи, рассмотрим новые графы G' и G" (аb). Граф G' по­лучается добавлением к графу G новой доминирующей вершины, a G" (ab)—добавлением к G двух вершин z и у и пары ребер za и yb (a, b € VG). Теперь легко видеть, что граф G является трассируемым тогда и толь­ко тогда, когда граф G' гамильтонов. С другой стороны, очевидно, что гамильтоновость графа G эквивалентна су­ществованию гамильтоновой цепи хотя бы в одном из графов G" (ab), ab € EG. Приведенные конструкции ил­люстрируются на рис. 44.9.

Практические применения только что рассмотренного раздела теории графов связаны прежде всего с широко известной задачей коммивояжера. Она состоит в следующем: коммивояжер должен посетить каждый из заданных п городов по одному разу, выехав из некоторого из этих городов и вернувшись в него же. Требуется найти кратчайший маршрут, зная расстояния между каждой парой городов.

Математическая постановка этой задачи выглядит так: в полном взвешенном графе требуется найти гамильтонов цикл (или цепь) минимального веса. Под весом цикла понимается сумма весов составляющих его ребер.

Например, при производстве печатных плат сверлильный станок с числовым программным управлением должен сделать большое количество отверстий в заданных

т очках платы, переходя от одной точки к другой. Время работы такого станка складывается из суммарного времени сверления, которое не зависит от порядка обхода точек, и из суммарного времени переходов от одной точки к другой. Требуется задать такую последовательность обхода точек, чтобы общее время работы станка было минимально. Легко видеть, что это — задача коммивояжера.

Представление о непосредственных применениях гамильтоновых цепей дает следующая ситуация: имеется машина (станок, компьютер) и п заданий, каждое из которых она способна выполнить после соответствующей настройки. При этом необходимо затратить на перенаводку t_ij единиц времени для того, чтобы после выпол­нения i-го задания выполнить j-е. В предположении, что t_ij=t_ji, требуется найти последовательность выполнения заданий, при которой время каждой переналадки не пре-восходит величины t. Если построить граф G, у которого

VG={1, 2, ...,n}, EG={ij: t_ij<t },

то наша задача сведется к отысканию гамильтоновой це­пи в этом графе.

В заключение отметим без доказательства теорему, отражающую типичный случай.

Теорема 44.11 (В. А. Перепелица, 1969 г.). Почти все графы гамилътоновы.