мат анализ

ВГСПУ

Реферат

На тему

«приложение определенного интеграла»

Работу выполнил:

Водолагин Николай Сергеевич

Студент ВГСПУ

Факультета МИФ

Волгоград 2012.

Оглавление.

Введение.

В данной работе рассмотрены вопросы некоторого приложения определенного интеграла.

Цель: изучить актуальность применения определенного интеграла и широту его использования в математике, оценить ее практическую и теоретическую значимость.

Геометрические и физические приложения определенного интеграла

Схемы применения определенного интеграла

Пусть требуется найти значение какой-либо геометрической или физической величины А (площадь фигуры, объем тела, давление жидкости на вертикальную пластину и т. д.), связанной с отрезком [a;b] изменения независимой переменной х. Предполагается, что эта величина А аддитивна, т. е. такая, что при разбиении отрезка [а; b] точкой с є (а; b) на части [а; с] и [с; b] значение величины А, соответствующее всему отрезку [а; b], равно сумме ее значений, соответствующих [а; с] и [с; b].

Для нахождения этой величины А можно руководствоваться одной из двух схем: I схема (или метод интегральных сумм) и II схема (или метод дифференциала).

Первая схема базируется на определении определенного интеграла.

1. Точками х₀ = а, x₁,..., x_n = b разбить отрезок [а;b] на n частей. В соответствии с этим, интересующая нас величина А разобьется на n «элементарных слагаемых» ΔAi (i = 1,...,n): А = ΔA₁+ΔА₂ +...+ ΔА_n.

2. Представить каждое «элементарное слагаемое» в виде произведения некоторой функции (определяемой из условия задачи), вычисленной в произвольной точке соответствующего отрезка на его длину: ΔA_i ≈ ƒ(c_i)Δx_i.

При нахождении приближенного значения ΔА_i допустимы некоторые упрощения: дугу на малом участке можно заменить хордой, стягивающей ее концы; переменную скорость на малом участке можно приближенно считать постоянной и т. д.

Получим приближенное значение величины А в виде интегральной суммы:

3. Искомая величина А равна пределу интегральной суммы, т. е.

Указанный «метод сумм», как видим, основан на представлении интеграла как о сумме бесконечно большого числа бесконечно малых слагаемых.

Схема I была применена для выяснения геометрического и физического смысла определенного интеграла.

Вторая схема представляет собой несколько видоизмененную схему I и называется «метод дифференциала» или «метод отбрасывания бесконечно малых высших порядков»:

1) на отрезке [а;b] выбираем произвольное значение х и рассматриваем переменный отрезок [а; х]. На этом отрезке величина А становится функцией х: А = А(х), т. е. считаем, что часть искомой величины А есть неизвестная функция А(х), где х є [a;b] — один из параметров величины А;

2) находим главную часть приращения ΔА при изменении х на малую величину Δх = dx, т. е. находим дифференциал dA функции А = А(х): dA = ƒ(х) dx, где ƒ(х), определяемая из условия задачи, функция переменной х (здесь также возможны различные упрощения);

3) считая, что dA ≈ ΔА при Δх → 0, находим искомую величину путем интегрирования dA в пределах от а до b:

41.2. Вычисление площадей плоских фигур

Прямоугольные координаты

Как уже было установлено (см. «геометрический смысл определенного интеграла»), площадь криволинейной трапеции, расположенной «выше» оси абсцисс (ƒ(х) ≥ 0), равна соответствующему определенному интегралу:

Формула (41.1) получена путем применения схемы I — метода сумм. Обоснуем формулу (41.1), используя схему II. Пусть криволинейная трапеция ограничена линиями у = ƒ(х) ≥ 0, х = а, х = b, у = 0 (см.  рис. 174).

Для нахождения площади S этой трапеции проделаем следующие операции:

1. Возьмем произвольное х  [а; b] и будем считать, что S = S(x).

2. Дадим аргументу х приращение Δх = dx (х + Δх є [а; b]). Функция S = S(x) получит приращение ΔS, представляющее собой площадь «элементарной криволинейной трапеции» (на рисунке она выделена).

Дифференциал площади dS есть главная часть приращения ΔS при Δх → 0, и, очевидно, он равен площади прямоугольника с основанием dx и высотой у: dS = у • dx.

3. Интегрируя полученное равенство в пределах от х = а до х = b, получаем

Отметим,что если криволинейная трапеция расположена «ниже» оси Ох (ƒ(х) < 0), то ее площадь может быть найдена по формуле

Формулы (41.1)и (41.2) можно объединить в одну:

Площадь фигуры, ограниченной кривыми у =  = fι(x) и у = ƒг(х), прямыми х = а и х = b (при условии ƒ₂(х) ≥ ƒ₁(х)) (см. рис. 175), можно найти по формуле

Если плоская фигура имеет «сложную» форму (см. рис. 176), то прямыми, параллельными оси Оу, ее следует разбить на части так, чтобы можно было бы применить уже известные формулы.

Если криволинейная трапеция ограничена прямыми у = с и у=d, осью Оу и непрерывной кривой х = φ(у) ≥ 0 (см. рис. 177), то ее площадь находится по формуле

И, наконец, если криволинейная трапеция ограничена кривой, заданной параметрически

прямыми х = аих = bи осью Ох, то площадь ее находится по формуле

где а и β определяютсяиз равенств х(а) = а и х(β) =b.

 

Пример 41.1. Найти площадь фигуры, ограниченной осью Ох и графиком функции у = х² - 2х при х є [0; 3].

Решение: Фигура имеет вид, изображенный на рисунке 178. Находим ее площадь S:

 

Пример 41.2. Вычислить площадь фигуры, ограниченной эллипсом х = а cos t, у = b sin t.

Решение: Найдем сначала 1/4 площади S. Здесь х изменяется от 0 до а, следовательно, t изменяется от до 0 (см. рис. 179). Находим:

Таким образом . Значит, S = πаВ.

 

Полярные координаты

Найдем площадь S криволинейного сектора, т. е. плоской фигуры, ограниченной непрерывной линией r=r(φ) и двумя лучами φ=а и φ=β (а < β), где r и φ — полярные координаты (см. рис. 180). Для решения задачи используем схему II — метод дифференциала.

1. Будем считать часть искомой площади S как функцию угла φ, т. е. S = S(φ), где а ≤φ≤β (если φ = а, то S(a) = 0, если φ=β, то S(β) = S).

2. Если текущий полярный угол φ получит приращение Δφ = dφ, то приращение площади AS равно площади «элементарного криволинейного сектора» OAB.

Дифференциал dS представляет собой главную часть приращения ΔS при dφ→0 и равен площади кругового сектора О АС (на рисунке она  заштрихована) радиуса r с центральным углом dφ. Поэтому

3. Интегрируя полученное равенство в пределах от φ = а до φ = β, получим искомую площадь

 

Пример 41.3. Найти площадь фигуры, ограниченной «трехлепесткoвой розой» r=acos3φ (см. рис. 181).

Решение: Найдем сначала площадь половины одного лепестка «розы», т. е.1/6часть всей площади фигуры:

т. е.. Следовательно,

Если плоская фигура имеет «сложную» форму, то лучами, выходящими из полюса, ее следует разбить на криволинейные секторы, к которым применить полученную формулу для нахождения площади. Так, для фигуры, изображенной на рисунке 182, имеем:

41.3. Вычисление длины дуги плоской кривой

Прямоугольные координаты

Пусть в прямоугольных координатах дана плоская кривая АВ, уравнение которой у=ƒ(х), где а≤х≤ b.

Под длиной дуги АВ понимается предел, к которому стремится длина ломаной линии, вписанной в эту дугу, когда число звеньев ломаной неограниченно возрастает, а длина наибольшего звена ее стремится к нулю. Покажем, что если функция у=ƒ(х) и ее производная у' = ƒ'(х) непрерывны на отрезке [а; b], то кривая АВ имеет длину, равную

Применим схему I (метод сумм).

1. Точками х₀ = а, х₁..., х_n = b (х₀ < x₁ < ...< х_n) разобьем отрезок [а; b] на n частей (см. рис. 183).  Пустьэтим точкам соответствуют точки М₀ = А, M₁,...,M_n =В на кривой АВ. Проведем хорды М₀M₁, M₁M₂,..., М_n-1М_n, длины которых обозначим соответственно через ΔL₁, AL₂,..., ΔL_n. Получим ломаную M₀M₁M₂ ... M_n-ιM_n, длина которой равна L_n=ΔL₁ + ΔL₂+...+ ΔL_n =

2. Длину хорды (или звена ломаной) ΔL₁ можно найти по теореме Пифагора из треугольника с катетами Δx_i и Δу_i:

По теореме Лагранжа о конечном приращении функции Δу_i=ƒ'(с_i)•Δх_i, где ci є (x_i-1;x_i). Поэтому

а длина всей ломаной M₀M₁... М_n равна

3.Длина l кривой АВ, по определению, равна

.

 Заметим, что при ΔL_i→0 также и Δx_i →0 ΔLi =и, следовательно, |Δx_i|<ΔL_i).

Функция непрерывна на отрезке [а; b], так как, по условию, непрерывна функция ƒ'(х). Следовательно, существует предел интегральной суммы (41.4), когда max Δx_i→ 0:

Таким образом,или в сокращенной записи  l =

Если уравнение кривой АВ задано в параметрической форме

где x(t) и y(t) — непрерывныефункции с непрерывными производными и х(а) = а, х(β) = b, то длина l кривой АВ находится по формуле

Формула (41.5) может быть получена из формулы (41.3) подстановкой x = x(t),dx = x'(t)dt,

 

Пример 41.4. Найти длину окружности радиуса R.

Решение: Найдем 1/4 часть ее длины от точки (0;R) до точки (R;0) (см. рис. 184). Так как то

Значит, l = 2πR. Если уравнение окружности записать в параметрическом виде х=Rcost, у = Rsint (0≤t≤2π), то

Вычисление длины дуги может быть основано на применении метода дифференциала. Покажем, как можно получить формулу (41.3), применив схему II (метод дифференциала).

1. Возьмем произвольное значение х є [а; b] и рассмотрим переменный отрезок [а;х]. На нем величина l становится функцией от х, т.е. l = l(х) (l(а) = 0 и l(b) = l).

2. Находим дифференциал dl функции l = l(х) при изменении х на малую величину Δх = dx: dl = l'(x)dx. Найдем l'(x), заменяя бесконечно малую дугу MN хордой Δl, стягивающей эту дугу(см. рис. 185):

3. Интегрируя dl в пределах от а до b, получаем

Равенствоназывается формулой дифференциала дуги в прямоугольных координатах.

Так как у'_х = -dy/dx, то

Последняя формула представляет собой теорему Пифагора для бесконечно малого треугольника МСТ (см. рис. 186).

 

Полярные координаты

Пусть кривая АВ задана уравнением в полярных координатах r = r(φ), а≤φ≤β. Предположим, что r(φ) и r'(φ) непрерывны на отрезке [а;β].

Если в равенствах х = rcosφ, у = rsinφ, связывающих полярные и декартовы координаты, параметром считать угол φ, то кривую АВ можно задать параметрически

Тогда

Поэтому

Применяя формулу (41.5), получаем

Пример 41.5. Найти длину кардиоиды r = = а(1 + cosφ).

Решение: Кардиоида r = а(1 + cosφ) имеет вид, изображенный на рисунке 187. Она симметрична относительно полярной оси. Найдем половину длины кардиоиды:

Таким образом, 1/2l= 4а. Значит, l= 8а.

 

 

41.4. Вычисление объема тела

Вычисление объема тела по известным площадям параллельных сечений

Пусть требуется найти объем V тела, причем известны площади S сечений этого тела плоскостями, перпендикулярными некоторой оси, например оси Ох: S = S(x), а ≤ х ≤ b.

Применим схему II (метод дифференциала).

1. Через произвольную точку х є [a;b] проведем плоскость ∏, перпендикулярную оси Ох (см. рис. 188). Обозначим через S(x) площадь сечения тела этой плоскостью; S(x) считаем известной и непрерывно изменяющейся при изменении х. Через v(x) обозначим объем части тела, лежащее левее плоскости П. Будем считать, что на отрезке [а; х] величина v есть функция от х, т. е. v = v(x)  (v(a) = 0, v(b) = V).

2. Находим дифференциал dV функции v = v(x). Он представляет собой «элементарный слой» тела, заключенный между параллельными плоскостями, пересекающими ось Ох в точках х и х+Δх, который приближенно может быть принят за цилиндр с основанием S(x) и высотой dx. Поэтому дифференциал объема dV = S(x) dx.

3. Находим искомую величину V путем интегрирования dA в пределах от а до В:

Полученная формула называется формулой объема тела по площади параллельных сечений.

 

Пример 41.6. Найти объем эллипсоида

Решение: Рассекая эллипсоид плоскостью, параллельной плоскости Oyz и на расстоянии х от нее (-а≤х≤a), получим эллипс (см. рис. 189):

Площадь этого эллипса равна

Поэтому, поформуле (41.6), имеем

 

Объем тела вращения

Пусть вокруг оси Ох вращается криволинейная трапеция, ограниченная непрерывной линией у = ƒ(х)  0, отрезком а ≤ x ≤ b и прямыми х = а и х = b (см. рис. 190). Полученная от вращения фигура называется телом вращения. Сечение этого тела плоскостью, перпендикулярной оси Ох, проведенной через произвольную точку х оси Ох (х  [а; b]), есть круг с радиусом у= ƒ(х). Следовательно, S(x)=πy^2.

Применяя формулу (41.6) объема тела по площади параллельных сечений, получаем

Если криволинейная трапеция ограничена графиком не прерывной функции х=φ(у) ≥ 0 и прямыми х = 0, у = с,

у = d (с < d), то объем тела, образованного вращением этой трапеции вокруг оси Оу, по аналогии с формулой (41.7), равен

 

Пример 41.7. Найти объем тела, образованного вращением фигуры, ограниченной линиямивокруг оси Оу (см. рис. 191).

Решение:По формуле (41.8) находим:

 

41.5. Вычисление площади поверхности вращения

Пусть кривая АВ является графиком функции у = ƒ(х) ≥ 0, где х є [а;b], а функция у = ƒ(х) и ее производная у'=ƒ'(х) непрерывны на этом отрезке.

Найдем площадь S поверхности, образованной вращением кривой АВ вокруг оси Ох.

Применим схему II (метод дифференциала).

1. Через произвольную точку х є [а; b] проведем плоскость ∏, перпендикулярную оси Ох. Плоскость ∏ пересекает поверхность вращения по окружности с радиусом у = ƒ(х) (см. рис. 192). Величина S поверхности части фигуры вращения, лежащей левее плоскости, является функцией от х, т. е. s=s(x) (s(a)=0 и s(b)=S).

2. Дадим аргументу х приращение Δх = dx. Через точку х + dx є [а; b] также проведем плоскость, перпендикулярную оси Ох. Функция s=s(x) получит приращение Аз, изображенного на рисунке в виде «пояска».

Найдем дифференциал площади ds, заменяя образованную между сечениями фигуру усеченным конусом, образующая которого равна dl, а радиусы оснований рав ны у и у+dy. Площадь его боковой поверхности равна ds=π(у+у+dy)•dl=2πуdl + πdydl. Отбрасывая произведение dydl как бесконечно малую высшего порядка, чем ds, получаем ds=2πуdl, или, так как

3. Интегрируя полученное равенство в пределах от х = а до х = b, получаем

Если кривая АВ задана параметрическими уравнениями х = x(t),y=y(t), t₁ ≤ t ≤ t₂, то формула (41.9) для площади поверхности вращения принимает вид

 

Пример 41.8. Найти площадь поверхности шара радиуса R.

Решение: Можно считать, что поверхность шара образована вращением полуокружностивокруг оси Ох. По формуле (41.9) находим

Пример 41.9. Дана циклоида

Найти площадь поверхности, образованной вращением ее вокруг оси Ох.

Решение: При вращении половины дуги циклоиды вокруг оси Ох площадь поверхности вращения равна

 

41.6. Механические приложения определенного интеграла

Работа переменной силы

Пусть материальная точка М перемещается вдоль оси Ох под действием переменной силы F = F(x), направленной параллельно этой оси. Работа, произведенная силой при перемещении точки М из положения х = а в положение х = b (a < b), находится по формуле (см. п. 36).

Пример 41.10 Какую работу нужно затратить, чтобы растянуть пружину на 0,05 м, если сила 100 Н растягивает пружину на 0,01 м?

Решение: По закону Гука упругая сила, растягивающая пружину, пропорциональна этому растяжению х, т. е. F = kх, где k — коэффициент пропорциональности. Согласно условию задачи, сила F = 100 Н растягивает пружину на х = 0,01 м; следовательно, 100 = k*0,01, откуда k = 10000; следовательно,F = 10000х.

Искомая работа на основании формулы (41.10) равна

Пример 41.11. Найти работу, которую необходимо затратить, чтобы выкачать через край жидкость из вертикального цилиндрического резервуара высоты Н м и радиусом основания R м.

Решение: Работа, затрачиваемая на поднятие тела весом р на высоту h, равна р•h. Но различные слои жидкости в резервуаре находятся на различных глубинах и высота поднятия (до края резервуара) различных слоев не одинакова.

Для решения поставленной задачи применим схему II (метод дифференциала). Введем систему координат так, как указано на рисунке 193.

1. Работа, затрачиваемая на выкачивание из резервуара слоя жидкости толщиной x (0 !!!< x !!!< H), есть функция от х, т.е. А = А(х), где 0≤x≤H (А(0)=0, А(Н)=А₀).

2. Находим главную часть приращения ΔА при изменении х на величину Δх = dx, т. е. находим дифференциал dA функции А(х).

Ввиду малости dx считаем, что «элементарный» слой жидкости находится на одной глубине х (от края резервуара) (см. рис. 193). Тогда dA = dp*x, где dp — вес  этого слоя; он равен g *dv, где g — ускорение свободного падения,  — плотность жидкости, dv — объем «элементарного» слоя жидкости (на рисунке он выделен), т. е. dp = gdv. Объем указанного слоя жидкости, очевидно, равен πR² dx, где dx — высота цилиндра (слоя), πR² — площадь его основания, т. е. dv=πR² dx.

Таким образом, dp=gπR² dx и dA = gπR²dx*x.

3) Интегрируя полученное равенство в пределах от х = 0 до х = Н, находим

Путь, пройденный телом

Пусть материальная точка перемещается по прямой с переменной скоростью v=v(t). Найдем путь S, пройденный ею за промежуток времени от t₁ до t₂.

Решение: Из физического смысла производной известно, что при движении точки в одном направлении «скорость прямолинейного движения равна производной от пути по времени», т. е .. Отсюда следует, что dS = v(t)dt. Интегрируя полученное равенство в пределах от t₁ до t₂, получаем

 

Отметим, что эту же формулу можно получить, пользуясь схемой I или II применения определенного интеграла.

Пример 41.12. Найти путь, пройденный телом за 4 секунды от начала движения, если скорость тела v(t) = 10t + 2 (м/с).

Решение: Если v(t)=10t+2 (м/с), то путь, пройденный телом от начала движения (t=0) до конца 4-й секунды, равен

Давление жидкости на вертикальную пластинку

По закону Паскаля давление жидкости на горизонтальную пластину равно весу столба этой жидкости, имеющего основанием пластинку, а высотой — глубину ее погружения от свободной поверхности жидкости, т. е. Р = gSh, где g — ускорение свободного падения,  — плотность жидкости, S - площадь пластинки, h - глубина ее погружения.

По этой формуле нельзя искать давление жидкости на вертикально погруженную пластинку, так как ее разные точки лежат на разных глубинах.

Пусть в жидкость погружена вертикально пластина, ограниченная линиями х = а, х = b, у₁ = f₁(x) и у₂=ƒ₂(х); система координат выбрана так, как указано на рисунке 194. Для нахождения давления Р жидкости на эту пластину применим схему II (метод дифференциала).

1. Пусть часть искомой величины Р есть функция от х: р=р(х), т. е. р=р(х) — давление на часть пластины, соответствующее отрезку [а; х] значений переменной х, где х є [а; b] (р(а)=0,р(b) = Р).

2. Дадим аргументу х приращение Δх = dx. Функция р(х) получит приращение Δр (на рисунке — полоска-слой толщины dx). Найдем дифференциал dp этой функции. Ввиду малости dx будем приближенно считать полоску прямоугольником, все точки которого находятся на одной  глубине х, т. е. пластинка эта — горизонтальная.

Тогда по закону Паскаля

3. Интегрируя полученное равенство в пределах от х = а до х = В, получим

 

Пример 41.13. Определить величину давления воды на полукруг, вертикально погруженный в жидкость, если его радиус R, а центр О находится на свободной поверхности воды (см. рис. 195).

Решение: Воспользуемся полученной формулой для нахождения давления жидкости на вертикальную пластинку. В данном случае пластинка ограничена линиями х = 0, х=R. Поэтому

Вычисление статических моментов и координат центра тяжести плоской кривой

Пусть на плоскости Оху задана система материальных точек M₁ (x₁; y₁), М₂(х₂; у₂),..., М_n(х_n; у_n) соответственно с массами m₁, m₂,... ...,m_n.