1.2. Алгоритмы перевода чисел, использующие арифметику новой системы счисления (r).

Для перевода чисел в десятичную систему из любой другой удобно пользоваться арифметикой 10-й системы.

В этих случаях используются алгоритмы перевода целых и дробных чисел, основанные на представлении исходных в виде полинома (1.1). При этом исходное основание, номера позиций и все цифры надо представить в новой системе счисления и все арифметические операции выполнять по правилам новой (десятичной) системы счисления.

Пример 8. Представить в десятичной системе восьмеричное число 1172,25₈

83	82	81	80		8-1	8-2
1	1	7	2	,	2	5
						0,015625		0,078125
					0,125			0,25
			1					2,0
		8						56,0
	64							64,0
512								512,0
								634,328125

Результат 1172,25₈=634,328125₁₀

Пример 9. Представить в десятичной системе двоичное число 11101₂

X₂=11101₂= 1∙2⁴+1∙2³+1∙2²+0∙2¹+1∙2⁰=1∙16+1∙8+1∙4+0∙2+1∙1=29₁₀.

Пример 10. Представить в десятичной системе шестнадцатеричное число 27А,54₁₆

162	161	160		16-1	16-2
2	7	А	,	5	4
					0,00390625		0,015625
				0,0625			0,3125
		1					10,0
	16						112,0
256							512,0
							634,328125

Результат 27А,54₁₆=634,328125₁₀

1.3. Перевод чисел в системах счисления с кратными основаниями.

Если для оснований систем счисления S и R справедливо соотношение S=R^k, где k – целое положительное число, то такие системы называются системами счисления с кратными основаниями.

Примером систем с кратными основаниями являются двоичная, восьмеричная и шестнадцатеричная системы (2³=8, 2⁴=16).

Перевод чисел в системах с кратными основаниями не требует выполнения арифметических действий и выполняется достаточно просто путем шифрации.

1.3.1. Основание исходной системы счисления выше основания новой системы X_S→X_R , S=R^k , S>R.

Примером перевода являются: X₈→X₂, X₁₆→X₂.

Каждый символ числа X_S заменяется своим k-разрядным представлением в R–системе.

При переводе числа из восьмеричной системы счисления в двоичную X₈→X₂, S=8, R=2, k=3 каждый восьмеричный символ заменяется двоичной тетрадой (тремя символами).

Пример 11. Перевести в двоичную систему счисления число X₈=37,502

Исходное число:	X8=	3	7	,	5	0	2
Эквивалентное число:	X2=	011	111	,	101	000	010

X₂=011111,101000010.

Незначащие нули в начале и конце можно отбросить, тогда X₂=11111,10100001

При переводе числа из шестнадцатеричной системы счисления в двоичную X₁₆→X₂, S=16, R=2, k=4 каждый восьмеричный символ заменяется четырьмя двоичными символами.

Пример 11. Перевести в двоичную систему счисления число X₁₆=F01,5A

Исходное число:	X16=	F	0	1	,	5	A
Эквивалентное число:	X2=	1111	0000	0001	,	0101	1010

X₂=111100000001,01011010.

1.3.2. Основание исходной системы счисления ниже основания новой системы X_S→X_R , S^k=R , S<R.

Примером перевода являются: X₂→ X₈, X₂→X₁₆.

Число в исходной S-системе разбивается на группы по k разрядов (вправо и влево от запятой); неполные группы добавляются нулями (справа – для дробной части; слева – для целой части). Каждая группа из k символов системы счисления с основанием заменяется одним эквивалентным ей R-символом.

Пример 12. Перевести в восьмеричную систему счисления число X₂=10111,1101101

Исходное число:	X2=	10	111	,	110	110	1
Исходное число с разбивкой на триады и с добавлением нулей:	X2=	010	111	,	110	110	100
Эквивалентное число:	X8=	2	7	,	6	6	4

X₈=27,664.

Пример 13. Перевести в шестнадцатеричную систему счисления число X₂=10111,1101101

Исходное число:	X2=	1	0111	,	1101	101
Исходное число с разбивкой на триады и с добавлением нулей:	X2=	0001	0111	,	1101	1011
Эквивалентное число:	X16=	1	7	,	D	B

X₁₆=17,DB.