3.4 Симметрия по отношению к инверсии

Инверсией (i) называется операция отражения точек относительно другой, заранее выбранной точки, которую называю центром инверсии. Если тело обладает симметрией по отношению к инверсии (C_i), говорят, что это тело обладает центром симметрии (рис. 4.10).

Очевидно, что S₂ = i. Таким образом, если в теле есть зеркально-поворотная ось второго порядка, то в нем есть и центр симметрии. Справедливо и обратное утверждение: если в теле есть центр симметрии, то в нем имеются и зеркально-поворот­ные оси второго порядка, причем, как нетрудно заметить, таких осей бесконечно много.

Легко догадаться, что центром симметрии пространственной решетки Браве(рис.4.5, в)является каждая вершина и центр примитивной или элементарной ячейки, а также середины ее ребер и центры граней. При этом точечная симметрия примитивной ячейки (рис.4.5, в), вообще говоря, не совпадает с точечной симметрией построенной на нем решетки (рис.4.5, а)¹. Часть решетки Браве, содержащую в общем случае несколько примитивных ячеек и отражающую точечную симметрию кристалла называютусловнойиликристаллографической элементарной ячейкой.

На рис.4.5 (а), 4.6 (б) и 4.10 изображены именно такие кристаллографические элементарные ячейки. В дальнейшем под элементарной мы будем понимать именно условную элементарную ячейку кристалла.

Для каждой элементарной ячейки можно найти полный набор (группу) всех точечных преобразований симметрии. Чем больше у элементарной ячейки таких преобразований, тем она симметричнее. Если для каких-то двух ячеек эти наборы преобразований одинаковы, говорят, что эти элементарные ячейки обладают одинаковой симметрией.

Так как кристалл характеризуется не только решеткой Браве, но и базисом, симметрия кристалла не может быть выше, чем симметрия решетки Браве. Симметрия простого кристалла, у которого каждому узлу пространственной решетки соответствует один атом, совпадает с симметрией решетки Браве. Что касается сложного кристалла, то очевидно, что в общем случае не все точечные преобразования симметрии, переводящие в себя решетку Браве, переводят в себя кристаллическую структуру.

Таким образом, в общем случае группа точечной симметрии кристалла является подгруппой группы точечной симметрии его решетки Браве. Таких подгрупп, совместимых с трансляционной симметрией кристалла, насчитывается 32.

4 Пространственная симметрия кристаллов

Следует отметить, что точечные преобразования и трансляции не исчерпывают совокупность преобразований симметрии кристаллической решетки(хотя они и исчерпывают преобразования симметрии решетки Браве).Сложная кристаллическая решетка может обладать дополнительными элементами симметрии, к которым относится винтовая ось и плоскость зеркального скольжения.

Винтовой осью n-го порядка называется прямая, при повороте вокруг которой на угол 2/nи одновременном параллельном смещении вдоль нее решетка совмещается сама с собой.

В качестве примера на рис.4.11 изображены три винтовые оси 4-го порядка. Из них первая является «правой», а вторая – «левой». Если смотреть вдоль винтовой оси в направлении смещения, то в первом случае для совмещения с собой решетку надо поворачивать на 90° вправо, а во втором – влево. В третьем случае вращение может происходить и вправо, и влево.

Примером кристаллов, которые обладают винтовой осью, является кварц (рис.4.1). В природе он встречается в двух модификациях, одна из которых имеет правую, а другая – левую винтовую ось. Помимо винтовой оси сложные кристаллы могут иметь еще и плоскость зеркального скольжения.

Решетка обладает плоскостью зеркального скольжения, если она совмещается сама с собой при отражении относительно этой плоскости и одновременном смещении на определенное расстояние в направлении, параллельном этой плоскости.

Рис. 4.11. Фигуры, обладающие винтовой осью 4-го порядка.

Таким образом, сложная кристаллическая решетка обладает трансляционной симметрией, а также может иметь другие элементы симметрии: оси симметрии (простые и винтовые), зеркально-поворотные оси, а также плоскости симметрии (простые и зеркального скольжения).

Совокупность всех операций симметрии кристаллической решетки называется ее пространственной группой.

Пространственная группа наиболее полно характеризует симметрию внутреннего строения кристаллов. Можно показать, что других преобразований симметрии кристаллической решетки просто нет.

Все пространственные группы симметрии кристаллов были найдены на основе геометрических соображений Е.С.Федоровым в 1890 г. Их оказалось 230. Кристаллы, которые относятся к большинству из этих групп (но не ко всем), обнаружены в природе или созданы искусственно.

1Следует отметить, что в отличие от обычной примитивной ячейки, точечная симметрия примитивной ячейки Вигнера-Зейтца, наоборот, совпадает с точечной симметрией пространственной решетки Браве (рис.4.6).