1 Кристаллическая решетка

Кристаллическую решетку можно определить как совокупность периодически расположенных в пространстве точек, с которыми связаны центры образующих кристалл атомов или молекул(рис.4.2). Точки, в которых расположены сами атомы или молекулы (точнее, точки, относительно которых они совершают тепловые колебания), называютузламикристаллической решетки (рис.4.2, а). Группа атомов, которая связана с каждым узлом решетки (рис.4.2, б) называетсябазисом(такие группы должны быть идентичны по составу, расположению и ориентации).

Множество узлов кристаллической решетки, то есть фактически – абстрактноемножество точек образуетпространственную решетку(рис.4.2, а) кристалла.

	Таким образом, кристаллическая решетка – это пространственная решетка с базисом.
	Рис. 4.2. Образование кристаллической структуры: а) узлы кристаллической решетки, которые образуют пространственную решетку; б) группа атомов, которая размещается в узлах решетки (базис); в) кристаллическая решетка, представляющая собой «сумму» пространственной решетки и базиса; на этом рисунке узлов решетки уже не видно.
		Рис. 4.3. Векторы трансляций двумерной кристаллической решетки с базисом из двух атомов (белый и черный кружок). Выбор этих векторов неоднозначен (и,и,и, и т.д.). Векторыи, а такжеиявляются основными векторами трансляций;ине являются основными.

Представление о пространственной решетке было введено французским кристаллографом и математиком Огюстом Браве (1811–1863). Оно оказывается особенно полезным, если нас интересует только пространственная периодичность в расположении атомов кристалла, но не интересует его конкретный химический состав. Для любой пространственной решетки Браве (вследствие ее периодичности) можно найти три не лежащие в одной плоскости вектора ,и(рис. 4.3 и 4.4), такие, что при рассмотрении этой решетки из произвольной точкиона будет иметь тот же вид, что и при рассмотрении из точки, если

,

(4.1)

где m,nиp– произвольные целые числа.

Таким образом, все точки (узлы) пространственной решетки Браве эквивалентны, т. е. имеют одинаковое окружение. Иными словами, из каждого узла видна одна и та же картина решетки.

Векторы ,и, которые входят в выражение (4.1), называютсявекторами трансляций. При смещении (трансляции) кристалла как целого на любой из этих векторов, он совмещается сам с собой. Параллелепипед, образованный этими векторами называетсяэлементарной ячейкой.

Ясно, что векторы ,иможно выбрать различными способами (рис. 4.3). То есть выбор элементарной ячейки в кристалле не является однозначным. Элементарная ячейка минимального объема называетсяпримитивной ячейкой(рис. 4.4 и 4.5), а векторы,и, на которых построена примитивная ячейка, –примитивнымиилиосновными векторами трансляций.

	Рис. 4.4. Основные векторы трансляций ,и, образующие примитивную ячейку трехмерной пространственной решетки Браве. Изображенная решетка являетсяпростой кубической решеткой.
a)	б)
в)	Рис. 4.5. Элементарная (а) и примитивная (в) ячейки трехмерной пространственной решетки Браве. Изображена гранецентрированная кубическая (ГЦК) решетка. На всех рисунках векторы ,и– это примитивные векторытрансляций, образующие примитивную ячейку. Рисунок (б) показывает, что примитивная ячейка имеет наименьший объем. Симметрия примитивной ячейки, в отличие от элементрной, не отражает в полной мере той симметрии, которая присуща ГЦК решетке.

На примитивную ячейку приходится только одна точка пространственной решетки Браве (рис.4.5, в). Хотя в каждом из восьми углов параллелепипеда находится точка решетки, каждая такая точка принадлежит одновременно восьми ячейкам, которые примыкают к рассматриваемой точке, поэтому на одну ячейку приходится 81/8 = 1 точка. Объем примитивной ячейкиV_cопределяется смешанным произведением основных векторов трансляций:

.

(4.2)

Примитивная ячейка является частным случаем элементарной ячейки. При этом основные векторы трансляций, а значит, и примитивную ячейку, также можно выбрать различными способами. На рис. 4.3, например, (,) и (,) – это две возможные пары основных векторов, а (,) – неосновные векторы трансляций.

Другой вариант выбора примитивной ячейки показан на рис. 4.6. Ячейка, выбранная таким образом, называется в физике примитивной ячейкой Вигнера-Зейтца.

Для однозначной характеристики выбранной элементарной или примитивной ячейки (рис.4.5, в) в общем случае необходимо задать 6 величин: 3 ребра ячейки а,bиси три угла между ними –, , и . Эти величины называютпараметрамиячейки. Длины сторон примитивной ячейки, т.е. длины основных векторов трансляций называютпериодами трансляций.

а)

Рис. 4.6. Примитивную ячейку можно выбрать следующим образом (а): 1) провести линии, соединяющие данную точку решетки со всеми соседними точками; 2) через середины этих линий перпендикулярно к ним провести новые линии (в случае двумерной решетки) или плоскости (в случае трехмерной решетки). Полученная таким способом ячейка наименьшего объема, которая содержит только одну точку решетки, называется примитивной ячейкой Вигнера-Зейтца. С помощью таких ячеек можно заполнить все пространство кристаллической решетки так же, как и с помощью примитивных ячеек, изображенных на рис. 4.3. Симметрия примитивной ячейки Вигнера-Зейтца совпадает с симметрией пространственной решетки Браве. В этом можно убедиться на примере трехмерной ячейки Вигенра-Зейтца (в) объемно-центри­рованной кубической (ОЦК) решетки (б).

б)

в)

Посредством соответствующих трансляций (сдвигов) примитивной ячейки на векторы ,иможно заполнить все пространство кристаллической структуры. Таким образом,примитивная ячейка – это периодически повторяющаяся в пространстве часть пространственной решетки Браве, имеющая форму параллелепипеда, с каждой точкой которой в кристаллической решетке связана совокупность атомов, называемая базисом.

В кристаллах многих металлов и инертных газов базис состоит из одного атома. Но известны неорганические и биохимические структуры, базис которых содержит тысячу и более атомов.

Если базис кристаллической решетки состоит из одного атома, то кристаллическая решетка называется простой.В этом случае все атомы кристалла располагаются по узлам одной решетки Браве.

Если базис состоит из нескольких атомов, то кристаллическая решетка называется сложной.В этом случае каждому атому базиса соответствует своя подрешеткаоднотипныхатомов, идентичная решетке Браве кристалла.

Пример двумерной сложной решетки изображен на рис. 4.3. «Белые» и «черные» атомы могут быть химически идентичны, но по положению в кристаллической решетке они разные. Атомы кристалла однотипны, если они химически идентичны и с каждого из них видна одна и та же картина кристаллической решетки.

Таким образом, чтобы «увидеть» решетку Браве, нужно «смотреть» только на однотипные атомы. При этом кристалл со сложной решеткой можно представить себе двумя способами: 1) взять базис и транслировать его многократно с помощью примитивных векторов трансляций или 2) взять несколько в точности одинаковых решеток Браве и, вставив их друг в друга, расположить в узлах соответствующих решеток однотипные атомы. Двумерный кристалл на рис. 4.3, например, состоит из двух вставленных друг в друга решеток Браве, в узлах которых расположены, соответственно, «белые» и «черные» атомы.