2. Расчет оптимальных настроечных параметров цифровых регуляторов

2.1. Модель и расчетная схема цифровой АСР

При исследовании систем с цифровыми регуляторами обычно вместо известной структурной схемы цифровой АСР с АЦП, ЦАП и ЦВУ рассматривают модель ЦАСР и далее ее расчетную схему.

Модель цифровой АСР приведена на рис.4

U U* e* m* m u y

W^* _p W _gм W _m

-1

- y * y * y

Рис.4. Модель цифровой АСР.

В ней АЦП заменены дельта-импульсными модуляторами, а ЦАП входит как демодулятор.

Демодулятор и объект образуют приведенную непрерывную часть системы с передаточной функцией

W _пнч ( р ) = W _дм ( р ) W _m ( р ) (6)

Дельта-импульсные модуляторы осуществляют преобразование непрерывных сигналов u(t) и y(t) в синхронные импульсные последовательности u *(t) и y *(t) в соответствии с формулами

¥

u^* (t) = å u (lT) d (t - lT) (7)

l=-¥

¥

y^* (t) = å y (lT) d (t - lT) (8)

l=-¥

где d (t) - дельта-функция Дирака, Т - период квантования сигнала по времени.

Демодулятор обычно представляет собой фиксатор нулевого порядка с передаточной функцией

W _дм ( р ) = ( 1-- exp(-pT) ) / p (9)

Передаточная функция вычислительного устройства W _p* (p) определена в смысле дискретного преобразования Лапласа [ 1 ].

Схема на рис.4 может быть преобразована в расчетной схеме системы, показанной на рис.5. Последняя состоит из дискретного регулятора и дискретного объекта, имеющего передаточную функцию W _пнч ( р ), а все сигналы представляют синхронные последовательности модулированных дельта-импульсов.

W ^*_пнч

U* e* u^* y^*

W^* _p W _пнч

-1

- y *

Рис.5 Расчетная схема цифровой АСР.

Передаточная функция разомкнутой цифровой системы

регулирования может быть записана в виде [ 2 ]

1 ¥

W ^*_p.с ( р ) = W ^*_p ( р ) å W _пнч ( р - j l w кв) ( 10 )

Т l=-¥

(при условии, что начальное значение импульсной характеристики приведенной непрерывной части равно нулю) Здесь w _кв = 2p /T - частота квантования.

Подставив в (10) p = jw , получим выражение для комплексного коэффициента передачи разомкнутой цифровой системы

1 ¥

W ^*_p.с (j w) = W ^*_p (j w) å W _пнч [ j (w - l w кв) ( 11 )

Т l=-¥

2.2. Алгортмы вычислительных устройств цифровых регуляторов

Вычислительные устройства цифровых регуляторов реализуют следующие унифицированные законы регулирования [ 2 ]:

пропорциональный (П-закон)

m ( lT )= k₁e ( lT ) (12)

интегральный (И-закон)

l

m ( lT )= k₂ å e ( iT ) (13)

i=1

пропорционально-интегральный (ПИ-закон)

l

m ( lT )= k₁e ( lT ) + k₂ å e ( iT ) (14)

i=1

пропорционально-интегральный с воздействием по производной (ПИД-закон)

l

m ( lT )= k₁e ( lT ) + k₂ å e ( iT ) +

i=1

+ k₃ [e ( lT ) - e ( ( l - 1)T ) ] (15)

Параметры настройки регуляторов: коэффициенты k₁ ,k₂, k₃ и время такта (период) квантования T. Ниже приводятся соотношения, связывающие соответствующие параметры настройки дискретных и непрерывных регуляторов [3] :

k₁ = k_р , k₂ / Т = k_р / Т_и , k₃ Т = k_р Т_g ( 16 )

где K р - коэффициент передачи непрерывного ПИД-регулятора,

Т и - время изодрома, Т g - время предварения.

Передаточные функции вычислительных устройств цифровых регуляторов, определенные в смысле дискретного преобразования Лапласа, имеют вид [ 4,5 ]:

Таблица 2

Регулятор	Передаточная функция W *p ( р )
П	К1 (17)
И	К2 / [ 1-exp ( -pT )] (18)
ПИ	К1 + К2 / [ 1-exp ( -pT )] (19)
ПИД	К1 + К2 / [ 1-exp ( -pT )] + К3[ 1-exp ( -pT )] (20)

2.3. Запас устойчивости систем с цифровыми регуляторами

Оценка запаса устойчивости может проводиться с помощью корневого и частотного показателей колебательности [1 ]. Далее рассмотрим способ оценки запаса устойчивости по распределению корней характеристического уравнения замкнутой системы, который позволяет легко и просто выполнить вычисление на ЭВМ, границы заданного запаса устойчивости в пространстве параметров настройки регулятора по соотношениям, получающимся из условия

1 ¥

W ^*_p.с (- mw + j w) = W ^*_p (- mw + j w) å W _пнч [- mw +

Т l=-¥

+ j (w - l w кв) ] = - 1 ( 21 )

где m - заданный корневой показатель затухания свободных колебаний.

При этом частота меняется в пределах от w = 0 до w = p / Т, а из бесконечно большого числа решений уравнения (21) выбирается только одно, соответствующее минимальному w. Подставив в (21) выражения (6), (20), с учетом (9), получим

W ^*_p.с (- mw + j w) = [ K₁ ( 1 - e ^mwT e ^-jwT ) + K₂ +

+ K₃ ( 1 - 2e ^mwT e ^-jwT + e ^2mwT e ^-j2wT ) ] *

1 ¥ W _m [ m , j (w - l w кв) ]

* å = — 1 (22)

Т l=-¥ - mw + j (w - l w кв)

Введем обозначение

1 ¥ W _m [ m , j (w - l w кв) ]

W^* _m ( m , j w ) = å (23)

Т l=-¥ - mw + j (w - l w кв)

Тогда соотношение (22) можно привести к виду

[ (K₁ + K₂ + K₃ ) - (K₁ + 2K₃ ) e ^mwT e ^-jwT + K₃ e ^2mwT e ^-j2wT ] *

* W^* _m ( m , j w ) = - 1 (24)

Комплексные функции переменной w в соотношении (24) распишем в виде суммы действительной и мнимой частей

e ^-jwT = cos wT - j sin wT ,

W^* _m ( m , j w ) = W^* _m ( m , j w ) * [cos F^* (m, w ) +

+ j sin F^* (m, w) ] , (25)

где W^* _m ( m , j w ) , F^* (m, w ) - модуль и фаза расширенной коплексной частотной характеристики эквивалентного дискретного объекта.

Записав полученное равенство в виде системы двух уравнений (одно - для действительной, другое - для мнимой части равенства) и решив эту систему относительно параметров К₁ и К₂ , будем иметь

sin F^* (m, w) 1

K₁ = * — 2K₃ (1 - 2e ^mwTcos wT)

W^* _m ( m , j w ) e ^mwT sin wT (26)

cos F^* (m, w )

K₂ = — K₁ (1 - e ^mwTcos wT) --

W^* _m ( m , j w )

— K₃ (1 - 2e ^mwTcos wT + e ^2mwTcos 2wT ) (27)

Пространство параметров настройки цифрового ПИД-регулятора четырехмерно. Задаваясь конкретными значениями параметров Т и К₃ , можно в плоскости параметров К₁ , К₂ построить параметрическую кривую. Область, ограниченная этой кривой и прямыми К₁ = 0 и К₂ = 0, является областью заданного запаса устойчивости для выбранных значений Т и К₃ .

2.4. Последовательность расчета оптимальных настроек цифровых

регуляторов

Расчет оптимальных настроек цифровых регуляторов на ЭВМ осуществляется методом расширенных частотных характеристик и состоит из 2-х этапов:

1. Расчет и построение в плоскости параметров настроек регулятора линии равной степени колебательности (m = const);

2. Определение в области заданного запаса устойчивости точки, обеспечивающей наилучшее качество регулирования.

Линия равной степени колебательности m = const строится в плоскости параметров К₁ и К₂ , определяемых по формулам (26) и (27).

Рассмотрим поэтапно процесс расчета оптимальных настроечных параметров

1. Задаемся значением периода квантования Т. Известно, что увеличение периода квантования ведет к ухудшению качества процесса регулирования [3] . Однако при очень малых Т улучшение качества достигается за счет существеннного возрастания затрат на управление. Поэтому не следует выбирать период квантования слишком малым. Для нахождения приемлемого периода можно использовать рекомендации [3,6]

Т = 0,01 Т ₉₅ ¸ 0,1 Т ₀ (28)

Здесь Т ₉₅ - время достижения регулируемой координатой величины, равной 95 % ее установившегося значения при действии на объект ступенчатого возмущения ; Т ₀ - доминирующая постоянная времени объекта, определяемая так , как это показано на рис.2

2. Задаемся значением параметра К₃ = 0 и строим в плоскоти параметров К₁ , К₂ по уравнениям (26), (27) линию m = m_з . При расчетах промышленных систем регулирования следует выбирать значение степени колебательности m из диапазона 0,221 < m < 0,366, что обеспечит степень затухания наиболее колебательной составляющей переходного процесса в пределах 0,75 < y < 0,9.

3. Примем в качестве оптимальных такие настройки ПИ и ПИД-регулятора, при которых система обладает запасом устойчивости не ниже заданного (m > m_з ) и коэффициент при интегральной составляющей в законе регулирования имеет максимальную величину (К₂ = max). Следовательно, для нахождения оптимальнных настроек К ₁₍₀₎ , K ₂₍₀₎ при заданных Т и К₃ достаточно определить точку максимума

линии m = m _з [1 ].

4. После нахождения оптимальных настроек К ₁₍₀₎ , K ₂₍₀₎ , при условии

К₃ = 0 , задаемся значением параметра К₃ из диапазона

0 < К₃ < 0,5 К ²₁₍₀₎ / K ₂₍₀₎ (29)

строим в плоскости параметров К ₁ , K ₂ новую линию m = m _з и определяем новые значения оптимальных настроечных параметров.

Такой порядок нахождения значения коэффициента К₃ связан с тем, что качество регулирования улучшается при увеличении К₃ лишь до некоторого его критического значения. Дальнейшее увеличение К₃ приводит к ухудшению качества регулирования.

5. Задаемся рядом других значений периода квантования Т из диапазона (28) и определяем для них оптимальные настройки по пунктам 2-4.

Программа расчета на ЭВМ настроечных параметров цифрового ПИД-регулятора приведена в приложении.

Расчеты осуществляются для объектов с передаточными функциями (1).

Вычисление расширенной комплексной частотной характеристики эквивалентного дискретного объекта выполняется по формуле

1 2 W _m [ m , j (w - l w кв) ]

W^* _m ( m , j w ) = å (30)

Т l=-2 - mw + j (w - l w кв)

которая получается из (23) при l Î - 2 , 2

Обозначения в программе: КО, Т1, Т2, Т3=Т2, TAU - параметры передаточной функции объекта,соответственно К,Т₁,Т₂,Т₃=Т₂, t ;

N-порядок астатизма системы. В нашем случае N=0;

M, F - модуль и фаза расширенной комплексной частотной характеристики эквивалентного дискретного объекта; X-частота ;

TKW - время такта (период) квантования Т;

K1, K2, K3 - параметры настройки регулятора К₁ , К₂ , К₃ .

Результаты расчета

Расчет оптимальных настроечных параметров цифрового регулятора проводился согласно пп.2-5 раздела 2.4. Оптимальные настройки для каждого значения времени такта квантования Т_kw выбирались на соответствующей линии m=0,366 из условия К₂ = max.

Результаты расчетов приведены на рис.6, 7 и в таблице 3.