4. Методы подбора эмпирических формул

На основе экспериментальных данных можно подобрать алгебраические выражения функции y=f(x).

Эмпирические формулы должны быть по возможности наиболее простыми и точно соответствовать экспериментальным данным в пределах изменения аргумента.

Процесс подбора эмпирических формул состоит из двух этапов:

1. Данные измерений наносят на сетку прямоугольных координат, соединяют экспериментальные точки плавной кривой.

2. Вычисляют параметры формул, которые наилучшим образом соответствовали бы принятой формуле. Подбор эмпирических формул необходимо начинать с самых простых выражений.

1. Метод выравнивания (линеризации)

Результаты измерений многих явлений и процессов аппроксимируются простейшими эмпирическими уравнениями типа y=a+bx.

Для преобразования некоторой кривой в прямую линию вводят новые переменные:

Х=f₁(x,y), Y=f₁(x,y).

В искомом выражении они должны быть связаны зависимостью Y=А+ВX.

Значения А, В можно вычислить на основе решения системы уравнений.

Далее строят прямую, по которой легко графически вычислить параметры:

а – ордината точки пересечения с прямой;

b – тангенс угла наклона прямой с осью Х, b =tg.

При графическом определении параметров а, b обязательно, чтобы прямая строилась на координатной сетке, у которой точка Х=0, Y=0 является началом координат. Для расчета точки Х, Y необходимо пронимать на крайних участках прямой.

Линеризацию кривых можно легко осуществить на логарифмических координатных сетках, которые широко применяются в графическом методе подбора эмпирических формул. Графический метод может быть применен когда экспериментальная кривая не сетке прямоугольных координат имеет вид плавной кривой.

1. Пусть выражение описывается формулой вида: .

Тогда делаем замены: ,,.

Рис. 4

2. ,

Делаем замену:, тогда.

Рис. 5

3. ,

Делаем замену , тогда,

Рис. 6

4. ,

Делаем замену ,.

Рис. 7

5. 

Замена ,

Рис. 8

6. 

Замена,

Рис. 9

2. Метод подбора полинома

.

Полиномами можно аппроксимировать любые результаты измерений, если они графически выражаются непрерывными функциями. Даже при неизвестном точном выражении функции можно определить значения коэффициентов А. Для определения коэффициентов, кроме графического метода, применяют методы средних и наименьших квадратов. Метод средних квадратов основан на следующем положении. По экспериментальным точкам можно построить несколько плавных кривых. Наилучшей будет та кривая, у которой разность отклонений оказывается наименьшей. Порядок расчета коэффициентов сводится к следующему. Определяется число членов ряда (обычно не более 3…4) значением п, составляют систему уравнений

,

где – значения экспериментальных точек, которым соответствуют величины. Число значенийследует брать не менее количества…, что дает возможность решать систему уравнений относительно неизвестных коэффициентов. Для большей точности определения значений коэффициентов количество уравнений системы следует брать в два или три раза больше неизвестных. В дальнейшем уравнения системы группируют по два или три и, складывая в пределах группы, получают новую систему уравнений, из которой находят значения постоянных коэффициентов.

Для вычисления коэффициентов А широко применяются вычислительные программы для ЭВМ.

В программе Excel аппроксимация выполняется построением линии тренда определенного типа (линейная, степенная, логарифмическая, экспоненциальная, полиномиальная). Построение полиномиальной аппроксимирующей кривой возможно до 6-й степени. При добавлении линии тренда на диаграмме возможно отображение уравнения полинома с вычисленными коэффициентами А, а также отображение величины достоверности аппроксимации R².

В программе Mathcad возможно выполнить подбор коэффициентов сглаживающего полинома (например МНК). Для этого необходимо задать уравнение сглаживающего полинома, задать систему алгебраических уравнений для неизвестных коэффициентов сглаживающего полинома, решение этой системы для коэффициентов осуществляется с помощью ее представления в матрично-векторной форме.

Также аппроксимацию можно выполнить с помощью встроенных функций Mathcad, для этого:

• задать значения, полученные при проведении эксперимента;

• задать степень полинома;

• задать функции regress, interp, fit(x), submatrix

• в результате будут вычислены коэффициенты для интерполирующей функции fit(x).