ГОСУДАРСТВЕННОЕ
БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ
ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО
ОБРАЗОВАНИЯ
НИЖЕГОРОДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ
ТЕХНИЧЕСКИЙ
УНИВЕРСИТЕТ им. Р. Е.
АЛЕКСЕЕВА
Кафедра «Прикладная математика»
_______Методы решения систем линейных алгебраических уравнений______
__________________________________________________________________________
Отчет
Лабораторная работа №1
по дисциплине «Численные Методы »»
Студенты
_____________ _Король А.А.
_____________ Скворцова О.А.
(Подпись) (Фамилия, И., О.)
__10-ПМ__________________
(Группа) (Дата сдачи)
Проверила
_____________ Катаева Л.Ю. (Подпись) (Фамилия, И.,О.)
Отчет защищён «____»_________2012_г.
с оценкой__________________________
Н. Новгород, 2012
1. Содержание
2. Постановка задачи 5
3. Методы решения систем линейных алгебраических уравнений 7
3.1Метод Гаусса 7
3.1.1 Условия применимости метода Гаусса 9
3.1.2 Обоснование и вывод формул 10
3.1.3Теоремы с доказательствами 12
Теорема об LU-разложении 12
Следствие 13
Элементарные треугольные матрицы 13
3.1.4 Алгоритм метода Гаусса 17
3.2Метод простой итерации 25
3.2.1 Условия применимости метода простой итерации 25
3.2.2 Обоснование и вывод формул 25
3.2.3 Алгоритм метода простой итерации 27
3.3Метод Зейделя 30
3.3.1 Обоснование и вывод формул 30
3.3.2 Условия применимости метода Зейделя 30
3.3.3 Приведение системы к виду, удобному для итераций 31
3.3.4 Алгоритм метода Зейделя 33
3.4Метод Крамера 34
3.4.1 Условия применимости метода Крамера 34
3.5Метод главных элементов 35
3.5.1 Условия применимости метода главных элементов. 35
3.5.2 Обоснование и вывод формул 35
3.6Метод квадратных корней 36
3.6.1 Обоснование и вывод формул 36
3.6.2 Условие применимости метода квадратных корней 36
3.7Схема Халецкого 37
3.7.1 Условия применимости схемы Халецкого 37
3.7.2 Обоснование и вывод формул 38
3.8Теория погрешностей 40
3.8.1 Источники и классификация погрешностей результата 40
3.8.2 Типы погрешностей 40
4.Проверка ручного счета средствами Excel 42
4.1Метод Гаусса 42
4.2Метод простой итерации 43
4.3Метод Зейделя 44
4.4Метод Крамера 45
4.5Метод Халецкого 48
4.6Метод главных элементов 49
4.7Метод квадратных корней 51
5.Реализация задачи 52
5.1Язык С++ 52
5.1.1Метод Гаусса, простой итерации, Зейделя 52
Таблица идентификаторов 52
5.1.2Метод Крамера 68
Таблица идентификаторов 68
5.1.3Метод простой итерации 72
Таблица идентификаторов 72
5.1.4Метод Зейделя 75
Таблица идентификаторов 75
5.1.5Метод Гаусса с выбором главного элемента 77
Таблица идентификаторов 77
5.1.6Метод квадратных корней 80
Таблица идентификаторов 80
5.1.7Схема Халецкого 83
Таблица идентификаторов 83
5.2Язык Fortran 87
5.2.1Метод Гаусса 87
Таблица идентификаторов 87
5.2.2Метод простых итераций 90
Таблица идентификаторов 90
5.2.3Метод Зейделя 92
Таблица идентификаторов 92
6.Результаты и их анализ 94
7.Выводы 99
8.Список использованной литературы 100
2. Постановка задачи
Нам необходимо найти решения системы линейных уравнений методами: Гаусса, простой итерации, Зейделя, Крамера, главных элементов, квадратных корней, Халецкого. Написать данные методы решения на языках программирования: С++ и Fortran, а так же выполнить ручной счет, проверить его вExcelи выявить какой из методов более эффективный.
Решить систему линейных алгебраических уравнений методом Гаусса.
Решить систему линейных алгебраических уравнений методом простых итераций.
Решить систему линейных алгебраических уравнений методом Зейделя.
Решить систему линейных алгебраических уравнений методом Крамера.
Решить систему линейных алгебраических уравнений методом главных элементов.
Решить систему линейных алгебраических уравнений методом квадратных корней.
Решить систему линейных алгебраических уравнений методом Халецкого.
