13.Случайные величины: дискретные и непрерывные случайные дискретные величины
Достаточно часто на практике рассматриваются такие испытания, в результате реализации которых случайным образом получается некоторое число. Например, при бросании игрального кубика выпадает число очков от 1 до 6, при взятии 6 карт из колоды можно получить от 0 до 4 тузов. За определенный промежуток времени (скажем, день или месяц) в городе регистрируется то или иное количество преступлений, происходит какое-то количество дорожно-транспортных происшествий. Из орудия производится выстрел. Дальность полета снаряда также принимает какое-либо значение случайным образом.
Во всех перечисленных испытаниях мы сталкиваемся с так называемыми случайными величинами.
Числовая величина, принимающая то или иное значение в результате реализации испытания случайным образом, называется случайной величиной.
Понятие случайной величины играет весьма важную роль в теории вероятностей. Если «классическая» теория вероятностей изучала главным образом случайные события, то современная теория вероятностей преимущественно имеет дело со случайными величинами.
Далее
будем обозначать случайные величины
прописными латинскими буквами X, Y, Z и
т.д., а их возможные значения –
соответствующими строчными x, y, z.
Например, если случайная величина имеет
три возможных значения, то будем
обозначать их так: 
, 
, 
.
Итак, примерами случайных величин могут быть:
1) количество очков, выпавших на верхней грани игрального кубика:
2) число тузов, при взятии из колоды 6 карт;
3) количество зарегистрированных преступлений за день или месяц;
4) число попаданий в мишень при четырех выстрелов из пистолета;
5) расстояние, которое пролетит снаряд при выстреле из орудия;
6) рост случайно взятого человека.
Можно заметить, что в первом примере случайная величина может принять одно из шести возможных значений: 1, 2, 3, 4, 5 и 6. Во втором и четвертом примерах число возможных значений случайной величины пять: 0, 1, 2, 3, 4. В третьем примере значением случайной величины может быть любое (теоретически) натуральное число или 0. В пятом и шестом примерах случайная величина может принимать любое действительное значение из определенного промежутка (а, b).
Если случайная величина может принимать конечное или счетное множество значений, то она называется дискретной (дискретно распределенной).
Непрерывной случайной величиной называется такая случайная величина, которая может принимать все значения из некоторого конечного или бесконечного промежутка.
Для задания случайной величины недостаточно перечислить ее всевозможные значения. Например, во втором и в третьем примерах случайные величины могли принимать одни и те же значения: 0, 1, 2, 3 и 4. Однако вероятности, с которыми эти случайные величины принимают свои значения, будут совершенно разными. Поэтому для задания дискретной случайной величины кроме перечня ее всех возможных значений нужно еще указать их вероятности.
Закон распределения вероятностей дискретной случайной величины.
Соответствие между возможными значениями случайной величины и их вероятностями называют законом распределения дискретной случайной величины.
Закон распределения можно задать в виде таблицы, формулы или графически.
При табличном задании закона распределения в первой строке таблицы записываются возможные значения случайной величины, а во второй – соответствующие значениям вероятности:
|
X |
|
|
… |
|
|
p |
|
|
… |
|
Такая таблица называется рядом распределения дискретной случайной величины X.
Так
как случайная величина в результате
испытания примет одно и только одно
значение, то события: Х=
,
Х=
,
…, Х=
образуют
полную группу. Следовательно, из следствия
1 теоремы сложения вероятностей сумма
вероятностей этих событий равна единице:
+
+…+
=
=1.
Для
наглядности ряд распределения случайной
величины можно изобразить графически.
Для этого в прямоугольной системе
координат по оси абсцисс ОХ будем
откладывать значения случайной
величины 
, k=1,
2, …, n,
а по оси ординат OY –
соответствующие им вероятности 
.
Полученные точки соединяются отрезками
прямых. Построенная таким образом фигура
называется многоугольником
распределения (рис.6.1).
Рис. 6.1
Многоугольник распределения, также как и ряд распределения, полностью характеризует случайную величину. Он является одним из форм закона распределения.
Биноминальное распределение
Биномиальным называется распределение вероятностей, определяемое формулой Бернулли:
(0 k n). (6.1)
Формула (6.1) является аналитическим выражением биномиального закона распределения.
По
биномиальному закону распределена
случайная величина Х числа
появлений события А при
проведении n независимых
испытаний, если вероятность появления
события А в
каждом испытании одинакова и
равна p (q=1–p).
В n испытаниях
событие А может
вообще не появиться, появиться 1 раз, 2
раза, 3 раза, …, n раз.
Таким образом, возможные значения Х
таковы: 
=0, 
=1, 
=2, 
=3,
…, 
=n.
А соответствующие им вероятности
подсчитываются по формуле Бернулли
(6.1). Ряд распределения в этом случае
будет таким:
|
X |
0 |
1 |
2 |
… |
k |
… |
|
|
p |
|
|
|
… |
|
… |
|
Cумма вероятностей, соответствующих возможным значениям случайной величины, записывается в виде бинома Ньютона:
+
+
+…+
+…+
=
=
. (6.2)
Естественно,
что в формуле (6.2) p+q=1
и поэтому 
=1.
Распределение Пуассона