- •Классическое определение вероятности.
- •Формула сложения вероятностей.
- •Формула полной вероятности.
- •Повторные независимые испытания
- •Формула Бернулли
- •1.10. Теоремы Муавра-Лапласа
- •13.Случайные величины: дискретные и непрерывные случайные дискретные величины
- •Пуассона распределение
- •Свойства
- •Свойства
- •Гипергеометрическое распределение.
- •1. Дискретная случайная величина, закон и функция распределения
- •2. Числовые характеристики дискретных случайных величин
- •30. Система случайных величин, закон распределения вероятностей дискретной двумерной случайной величины.
- •31. Функция распределения двумерной случайной величины, ее свойства.
- •Свойства функции распределения двумерной случайной величины
- •Определение плотностей вероятности составляющих двумерной случайной величины:
- •Понятие ковариация и коэффициента корреляции
- •41. Линейная регрессия. Линейная корреляция. Нормальная корреляция
- •42.Закон больших чисел. Лемма Чебышева.
- •43.Неравенство Чебышева.
- •44.Теорема Чебышева.
- •45.Теорема Бернули.
- •46. Центральная предельная теорема.
- •47. Основные понятия математической статистики: вариационный ряд, его характеристики.
- •48. Средние величины, показатели вариации.
- •50. Понятие оценки параметров.
- •51. Методы нахождения оценок: метод моментов, метод максимального правдоподобия, метод наименьших квадратов.
- •52. Понятие статической гипотезы и схеме ее проверки.
- •56.Проверка гипотезы о законе распределения. Хи-квадрат критерий Пирсона.
- •57.Проверка гипотезы о законе распределения. Критерий Колмогорова.
- •58.Проверка гипотезы о законе распределения. Критерий Колмогорова-Смирнова.
Понятие испытания и события, виды случайных событий
Испытаниемназывается реализация определенного комплекса условий, который может воспроизводиться неограниченное число раз. При этом комплекс условий включает в себя случайные факторы, реализация которого в каждом испытании приводит к неоднозначности исхода испытания.
Например: испытание - подбрасывание монеты.
Результатом испытания является событие. Событие бывает:
Достоверное (всегда происходит в результате испытания);
Невозможное (никогда не происходит);
Случайное (может произойти или не произойти в результате испытания).
Например: При подбрасывании кубика невозможное событие - кубик станет на ребро, случайное событие - выпадение какой либо грани.
Конкретный результат испытания называется элементарным событием.
В результате испытания происходят только элементарные события.
Совокупность всех возможных, различных, конкретных исходов испытаний называется пространством элементарных событий.
Например: Испытание - подбрасывание шестигранного кубика. Элементарное событие - выпадение грани с “1” или “2”.
Совокупность элементарных событий это пространство элементарных событий.
Сложным событиемназывается произвольное подмножество пространства элементарных событий.
Сложное событие в результате испытания наступает тогда и только тогда, когда в результате испытаний произошло элементарное событие, принадлежащее сложному.
Таким образом, если в результате испытания может произойти только одно элементарное событие, то в результате испытания происходят все сложные события, в состав которых входят эти элементарные.
Например: испытание - подбрасывание кубика. Элементарное событие - выпадение грани с номером “1”. Сложное событие - выпадение нечетной грани.
Введем следующие обозначения:
А - событие;
w- элементы пространстваW;
W- пространство элементарных событий;
U - пространство элементарных событий как достоверное событие;
V - невозможное событие.
Иногда для удобства элементарные события будем обозначать Ei, Qi.
Понятие вероятности, классическое определение вероятности
Вероятностью события А называют отношение числа благоприятствующих этому событию исходов к общему числу всех равновозможных несовместных элементарных исходов, образующих полную группу. Итак, вероятность события А определяется формулой
Р (A) = m / n,
где m — число элементарных исходов, благоприятствующих A; n — число всех возможных элементарных исходов испытания.
Классическое определение вероятности.
Пусть Wсостоит из конечного числа элементарных событий и все элементарные события равновероятны, т.е. ни одному из них из них нельзя отдать предпочтения до испытания, следовательно, их можно считать равновероятными.
Тогда достоверное событие m - количество равновероятных событий
,,
Пусть произвольное событие Тогда, т.е. событие A состоит из k элементарных событий.
Если элементарные события являются равноправными, а, следовательно, и равновероятными, то вероятность наступления произвольного события равна дроби числитель которой равен числу элементарных событий, входящих в данное, а знаменатель - общее число элементарных событий.
Геометрический метод вычисления вероятности
Существуют эксперименты, исходы которых нельзя описать с помощью конечных пространств элементарных событий. В этих случаях иногда бывает полезным понятие геометрической вероятности.
Пусть пространством элементарных событий некоторого эксперимента является часть числовой прямой или часть плоскости, или часть пространства, имеющая конечную меру m( ). Под мерой множества понимается длина, площадь и объем соответственно. Случайным событием А называется такое подмножество пространства , которое имеет конечную меру m( ). Тогда вероятность Р(А) события А определяется равенством (геометрическая вероятность).
Этот метод вычисления вероятности применяется тогда, когда по условиям эксперимента вероятность появления элементарного события (точки пространства ) во множестве А пропорциональна мере множества А и не зависит от его расположения в пространстве . В таком случае говорят, что случайная точка имеет равномерное распределение в пространстве .
Теорема сложения вероятностей, полная группа событий, противоположное событие.
Суммой событий А и В называется событие А + В, которое наступает тогда и только тогда, когда наступает хотя бы одно из событий: А или В.
Теорема о сложении вероятностей. Вероятность появления одного из двух несовместныхсобытий равна сумме вероятностей этих событий.
Заметим, что сформулированная теорема справедлива для любого числа несовместных событий:
.
Если случайные события образуют полную группу несовместных событий, то имеет место равенство
.
Произведением событий А и В называется событие АВ, которое наступает тогда и только тогда, когда наступают оба события: А и В одновременно. Случайные события А и B называютсясовместными, если при данном испытании могут произойти оба эти события.
Теорема о сложении вероятностей 2. Вероятность суммы совместных событий вычисляется по формуле
.
События событий А и В называются независимыми, если появление одного из них не меняет вероятности появления другого. Событие А называется зависимым от события В, если вероятность события А меняется в зависимости от того, произошло событие В или нет.
Формула сложения вероятностей.
U - достоверное событие
Покажем, что события несовместны.
* Если события несовместны, то ;;
т.е. события несовместны.
Тогда по третей аксиоме теории вероятности
Справедливо следующее тождество на основании (1) и закона дистрибутивности
Показать самим, что все три множества попарно несовместны.
На основании первой и третей аксиомы теории вероятности получаем:
Имеет место тождество , показать самим, чтонесовместны
По третей аксиоме:
Для экзамена доказать самим формулу суммы произвольного числа событий