7. Функции комплексного переменного / m7var21
.pdfВариант 21
Задача 1. Вычислить значение функции (ответ дать в алгебраической форме):
а) Arsh |
i |
|
б) |
|
|
; |
4i − 3 |
||||
|
|||||
2 |
|
|
|
Решение. а). Будем вычислять Arsh(i/2) по формуле Arsh z) = Ln z + z2 + 1) . В данном
примере z=i/2, следовательно, Arsh |
i |
= Ln( |
i |
± |
3 |
), так как |
z2 = − |
1 |
. Далее воспользуемся |
|
|
|
|
||||||
2 |
2 |
|
2 |
|
4 |
|
формулой Ln z) = ln z + i(ϕ + 2kπ) . В данном случае у функции Ln(z) имеется два значения
z: |
|
z |
|
= |
|
|
3 |
+ |
|
i |
|
|
|
и |
|
|
z |
|
= − |
|
3 |
+ |
i |
. Найдём модули и аргументы этих чисел: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
1 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
z |
1 |
= |
z |
2 |
|
= |
|
|
|
± |
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
=1, |
ϕ |
= arg z |
1 |
= |
|
|
, |
|
ϕ |
2 |
= arg z |
2 |
= |
|
, так как cos |
ϕ |
1 |
= |
|
|
|
> 0, |
а |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
cosϕ |
|
|
|
= − |
3 |
< 0.Таким образом Arsh |
i |
= Ln( |
|
|
3 |
|
+ |
i |
) = ln(1) + iπ 2k + |
1 |
) = iπ 2k + |
1 |
) и |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Arsh |
i |
= Ln(− |
|
|
|
3 |
+ |
i |
) = ln(1) + iπ 2k + |
5 |
) = iπ 2k + |
5 |
) . Учитывая, что 2k + |
5 |
= 2k +1− |
1 |
, |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
формулы можно объединить: Arsh i = iπ k + (−1)k 1) .
26
б). Корни находятся по формуле |
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(cos ϕ + 2kπ + i sin ϕ + 2kπ) , где k=0, 1. При k=0 |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
z |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(cos ϕ + i sin ϕ) . Полагая k=1, получим второй корень |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
|||||||||||||||||||||||||
получим первый корень |
z = |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
= |
|
|
|
|
|
(cos(ϕ + π) + i sin(ϕ + π)) = − |
|
|
|
|
|
|
(cos ϕ + i sin ϕ) |
(по формулам приведения). В |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
z |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
z |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
2 |
|
3 |
|
4 |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
= 5 и, следовательно, z = 5(− |
+ |
i) . |
|||||||||||||||||||||||||||||||
данном примере z=-3+4i. Тогда |
|
|
z |
|
= |
(−3)2 + 42 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
5 |
|
Поскольку z = z (cosϕ + i sin ϕ) , то в данном случае cosφ=-3/5, а sinφ=4/5. Учитывая, что
sin2 ϕ = |
1 |
|
1− cosϕ) и cos2 ϕ = |
1 |
|
1+ cosϕ) , получим: |
||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
2 |
2 |
|
|
|
|
|
2 |
2 |
|
|
|
|
||
sin2 ϕ = |
1 |
1+ |
3 |
) = |
4 |
и cos2 ϕ = |
1 |
1− |
3 |
) = |
1 |
. Отрицательное значение косинуса и |
||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
2 |
2 |
|
5 |
|
5 |
2 |
2 |
|
5 |
5 |
|
положительное значение синуса соответствуют второму координатному углу комплексной плоскости, так что π/2<φ<π. Поэтому, соответственно, π/4<φ/2<π/2. В таком
случае sin ϕ > 0, и |
cos ϕ > 0 , т.е. sin ϕ = |
2 |
|
|
|
и cos ϕ = |
1 |
|
. Окончательно получаем |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
2 |
|
2 |
2 |
5 |
|
|
|
2 |
5 |
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
(cos ϕ + i sin ϕ) = ± |
|
|
( |
1 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
z = ± |
5 |
|
+ i |
|
|
) = ± 1+ 2i) . |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
2 |
5 |
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
i |
= iπ k + (−1)k |
1 |
|
б) |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
Ответ. |
а) Arsh |
) ; |
|
4i |
|
− 3 = ± 1+ 2i) . |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
2 |
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Задача 2. Выяснить геометрический смысл соотношения. Сделать чертёж. z − 2i − z + 2i = 2.
Решение. Так как z=x+iy, то данное соотношение имеет вид: x + i y − 2) − x + i y + 2) = 2.
Или x2 + y − 2)2 − x2 + y + 2)2 = 2 . Перенесём второй корень в правую часть равенства и возведём обе части в квадрат. Получим:
x2 + y2 − 4y + 4 = 4 + 4x2 + y + 2)2 + x2 + y2 + 4y + 4 . Или 4x2 + y + 2)2 = − 4 + 8y) .
Отметим, что правая часть равенства не должна быть
yотрицательной, т.е. должно быть 4+8y<0, y<-1/2. Возведём x полученное равенство ещё раз в квадрат:
16x2 + 64x + 64 + 16y2 =16 + 64y + 64y2. Или 16x2 − 48y2 = −48.
Поделив всё равенство на правую часть, получим каноническое
уравнение гиперболы с фокусами на мнимой оси: y2 − x2 =1.
3
Ответ. Данное соотношение представляет уравнение нижней ветви гиперболы y2 − x2 =1( так как переменная y должна быть отрицательной).
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Задача 3. Решить уравнение: e2z + 1− i = 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
Решение. Преобразуем уравнение: e2z = −1+ i |
или |
z = |
1 |
Ln(−1+ i) . Тогда |
||||||||||||||||||||||
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
||
z = |
1 |
|
−1+ i |
|
+ i( |
3π |
+ 2kπ)] = |
1 |
|
|
+ 2k + |
3 |
)πi] = |
1 |
ln 2 + k + |
3 |
)πi . |
|||||||||
[ln |
|
[ln |
2 |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
2 |
|
|
|
|
|
4 |
2 |
|
4 |
|
4 |
|
|
|
8 |
|
||||||||||
Ответ. |
z = |
1 |
ln 2 + k + |
3 |
)πi . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
4 |
|
|
|
|
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Задача 4. Нет условия задачи.
Задача 5. Восстановить аналитическую функцию по заданной действительной части её:
Ref z) = u = Ax3 + 3xy2 − 3x2 y + y3 , если f(i)=1.
Решение. Чтобы функция u(x,y) бала действительной частью аналитической функции нужно, чтобы она была гармонической, т.е. её лапласиан ∆u был бы равен нулю: ∆u=0,
≡ |
∂2 |
+ |
∂2 |
||||
|
|
|
|
. Проверим выполнение этого условия, для чего найдём производные |
|||
∂x |
2 |
∂y |
2 |
||||
|
|
|
второго порядка от u по x и по y:
∂u |
= 3Ax |
2 + 3y2 − 6xy, |
∂2u |
= 6Ax |
− 6y, |
∂u |
= 6xy |
− 3x2 + 3y2 , |
∂2u |
= −6x |
+ 6y. |
|
∂x |
∂x2 |
∂y |
∂y2 |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Чтобы лапласиан ∆u был равен нулю, нужно положить A=-1. Таким образом, функция
u x, y) = −x3 + 3xy2 − 3x2 y + y3 является гармонической. Восстановим мнимую часть v(x,y)
функции f(z)=u(x,y)+iv(x,y), пользуясь условиями Даламбера-Эйлера: |
∂u = ∂v , |
∂u = − |
∂v |
. |
|||
|
|||||||
|
|
|
∂x |
∂y |
∂y |
∂x |
|
Из первого условия получаем: |
∂v = |
∂u = −3x2 + 3y2 − 6xy. Тогда v x, y) = ∫ |
∂vdy + ϕ x) , или |
||||
|
∂y |
∂x |
|
∂y |
|
|
|
v x, y) = ∫(−3x2 + 3y2 − 6xy)dy + ϕ x) = −3x2 y + y3 − 3xy2 + ϕ x). Производная по x от этого
выражения равна ∂v = −6yx − 3y2 + ϕ′ x). С другой стороны по второму условию
∂x
Даламбера-Эйлера ∂v = −6xy + 3x2 − 3y2 . Приравнивая эти выражения, получим:
∂x
ϕ′ x) = 3x2 . Или ϕ x) = x3 + C. Таким образом, v x, y) = −3x2 y + y3 − 3xy2 + x3 + C. Тогда
f z) = −x3 + 3xy2 − 3x2 y + y3 + i (−3x2 y + y3 − 3xy2 + x3 + C). Перейдём к переменной z:
f z) = − x3 + 3ix2 y − 3xy2 − iy3 ) + i x3 + 3ix2 y − 3xy2 − y3 ) + iC = −z3 + iz3 + iC. . Воспользуемся дополнительным условием f(i)=1. В данном случае f(i)=i+1+iC. Следовательно, C=-1.
Ответ. f z) = −x3 + 3xy2 − 3x2 y + y3 + i (−3x2 y + y3 − 3xy2 + x3 −1) = z3 i −1) − i.
Задача 6. Вычислить интеграл по дуге C от точки z1 до точки z2.
|
|
|
|
∫ i − 2z)dz; |
C − прямая, z1 = 0, z2 = 2 + 4i. |
||
C |
|
Решение. Вычислим интеграл, сводя его к криволинейным интегралам второго рода по формуле ∫f z)dz = ∫udx − vdy + i∫udy + vdx . В данном случае f(z)=(i-2x+2iy), т.е. u=-2x,
C |
C |
C |
||
v=1+2y. Значит ∫ |
|
|
|
|
i − 2z)dz = ∫(−2x)dx − 1+ 2y)dy + i∫(−2x)dy + 1+ 2y)dx . Примем x за |
||||
C |
|
|
C |
C |
параметр. Составим уравнение прямой, проходящей через две точки:
y = x , т.е. y = 2x, dy = 2dx . Начальной точке z1=0 соответствует значение x=0, конечной
42
z2=2+4i – значение x=2. Следовательно,
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10x |
2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
02 = −24 + 2i . |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
∫ i − 2z)dz = ∫(−2x − 2 − 8x)dx + i∫(−4x +1+ 4x)dx= [− |
|
|
|
− 2x] |
|
|
|
+ ix |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
C |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Ответ. |
∫ i − 2z)dz = − 24 + 2i . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Задача 7. Вычислить интеграл от аналитической функции. ∫ez |
z −1)dz . |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Решение. Применим формулу интегрирования по частям: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
i |
|
|
u = z −1 |
du = dz |
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
∫ez z −1)dz = |
= |
z −1)ez |
|
− ∫ez dz = i −1)ei − ez |
|
= i −1)ei − ei + e1 = |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
= e |
z |
|
|
|
= e |
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
dv |
|
dz |
v |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
= e + iei − 2ei = e + i − 2)ei = e + i −2)[cos1+ isin1] = e −2cos1 − sin1+ i(cos1− 2sin1) . |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ответ. |
∫ez z −1)dz = e −2cos1− sin1+ i(cos1− 2sin1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Задача 8. Найти интеграл, используя интегральную формулу Коши, по конту- |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
рам L1, L2, L3. |
|
L∫ |
|
eπzdz |
|
, |
|
1) |
L1 : |
|
|
z −1− i |
|
= |
1 |
, 2) L2 |
: x2 + |
4y2 |
=1, 3) |
L3 : |
|
z −1− i |
|
= |
3 |
. |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
z + i)2 z − i) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|||||||||||
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение. 1). Подынтегральная функция аналитична |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
всюду, за исключением точек z=-i и z=i. В круге |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
L3 |
|
|
|
|
|
z −1− i |
|
≤ |
1 |
подынтегральная функция аналитична. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
L1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ez−idz |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
-1 |
|
|
|
|
|
|
|
Следовательно, I1 = ∫ |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= 0 . 2). В эллипсе |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
L |
z |
|
+1)(z + i) |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 + |
4y2 |
|
=1 есть две особые точки z=-i и z=i. Поэтому |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
L2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
применим теорему Коши для многосвязной области: |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
I2 = |
|
|
|
|
eπzdz |
|
= |
|
|
|
|
eπzdz |
|
|
|
|
|
+ |
eπzdz |
|
, где l1 |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
L∫ |
|
z + i)2 z − i) l∫ |
z + i)2 |
|
z − i) l∫ |
z + i)2 z − i) |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
- окружность достаточно малого радиуса с центром в точке z=-i, а l2 - окружность малого радиуса с центром в точке z=i. Вычислим интегралы по интегральной формуле Коши:
∫
l1
eπzdz |
|
|
|
eπz |
dz |
||||
|
= ∫ |
|
z − i |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
= |
||
z + i) |
2 |
z |
− i) |
|
z + i) |
2 |
|||
|
l |
|
|
||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
2πi |
|
d |
e |
πz |
πeπz |
z − i) − eπz |
|
πi 2πi +1) |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
= 2πi |
z − i)2 |
= − |
|
, |
|
|
|
|
|
|||||||
1! dz z |
− i |
|
|
2 |
|
||||||
|
|
|
|
|
z=−i |
|
|
z=−i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
eπz |
|
|
|
|
dz |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
∫ |
|
eπzdz |
|
|
|
|
∫ |
|
|
z + i)2 |
|
|
|
|
eπz |
|
|
|
|
|
πi |
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= 2πi |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
. Следовательно, |
|||||||||||
|
z + i) |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
− i) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
2 |
||||||||||||||||||||||||
l2 |
|
z − i) |
|
l2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z + i) |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z=i |
|
|
|
|
|
|
|||||||
I |
|
|
= |
|
|
|
ez−idz |
|
|
|
|
= [− |
|
πi 2πi +1) |
+ |
|
πi |
= π2 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
] |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
L∫2 |
z2 +1)(z |
+ i) |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
3). Внутри области |
|
z −1− i |
|
≤ |
3 |
|
расположена одна особая точка z=i. Интеграл по контуру |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
L3 совпадает с уже вычисленным интегралом по контуру l2: |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
eπz |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
eπzdz |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dz |
|
|
|
|
|
|
eπz |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
= ∫ |
|
|
|
|
|
|
|
= ∫ |
|
z + i)2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
πi |
||||||||||||||||||||||||||
I3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= 2πi |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
z + i) |
2 |
z − i) |
|
|
|
|
|
|
z − i) |
|
z + i) |
2 |
|
|
2 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
L3 |
|
|
|
|
L3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z=i |
|
|
||||||||||
Ответ. |
I |
1 |
= 0, |
|
I |
2 |
= π2 , |
I |
3 |
|
|
= πi . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Задача 9. Разложить функцию в ряд Лорана в областях. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
z +1 |
|
|
, |
|
|
|
1) 2 < |
|
z |
|
< 5 |
2) |
|
z |
|
> 5. |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
z2 + 7z +10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение. Корнями уравнения z2+7z+10=0 являются числа z1=-5 и z2=-2. Разложим эту
дробь на простые дроби: |
|
z + 1 |
= |
A |
|
+ |
B |
= |
A z + 2) + B z + 5) |
. Или |
|
2 + 7z +10 |
z + |
|
z + 2 |
|
|||||
|
z |
|
5 |
|
|
z + 5)(z + 2) |
A z + 2) + B z + 5) = z +1. При z=-5 получим -3A=-4, т.е. А= 4/3. Если z=-2, то 3B=-1, т.е.
В=-1/3. Следовательно, |
|
z + 1 |
= |
4 |
|
1 |
− |
1 |
|
1 |
. 1). В кольце 2 < |
|
z |
|
< 5 имеем |
||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
2 |
|
|
|
z |
|
|
|
z |
2 + 7z +10 3 |
|
z + 5 3 |
|
z + 2 |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
<1 и |
|
|
|
|
<1. Тогда дробь можно представить следующим образом: |
|||||||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
z5
|
|
|
|
z +1 |
|
|
|
|
= |
4 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
− |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
. Воспользуемся формулой для бесконечно убывающей |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
z2 + 7z +10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
3 |
|
|
|
|
5 1 |
+ |
|
) |
|
3 |
|
|
|
|
z 1+ |
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
геометрической прогрессии: |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
=1+ q + q2 + ... + qn + ..., где |
|
q |
|
<1. В первой дроби q=-z/5, |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
1− q |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
во второй дроби q=-2/z. Следовательно, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
z + 1 |
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
∞ |
|
(−1)n zn |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
∞ |
|
(−1)n−1 2n−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. 2). В кольце |
z |
> 5 выполняются |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
2 |
+ 7z +10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
z |
|
|
|
|
3 n=0 5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 n=1 |
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
неравенства |
|
|
2 |
|
<1 |
|
|
и |
|
|
|
|
|
5 |
|
|
<1. Следовательно, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
z + 1 |
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
4 5 |
n−1 |
− 2 |
|
n−1 |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
∑(−1)n−1 |
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
z2 + 7z +10 |
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
zn |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
3 |
|
|
|
|
z 1 |
+ |
|
) |
|
3 |
|
|
|
z 1+ |
|
) |
|
3 |
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z + 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
∞ |
|
(−1)n zn |
|
|
|
1 |
|
|
∞ |
(−1)n−1 2n−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
Ответ. 1). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
∑ |
|
|
|
|
|
|
. в кольце 2 < |
z |
< 5 . |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
z |
2 |
|
+ 7z +10 |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n+1 |
|
3 |
|
|
z |
n |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=0 5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z +1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
5 |
n |
|
− 2 |
n−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
2). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
∑(−1)n−1 |
|
|
|
|
|
в кольце |
|
z |
|
> 5 . |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z2 + 7z +10 3 n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
zn |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Задачи 10-11. Вычислить интегралы с помощью вычетов. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
10. ∫ |
|
|
2z +1 |
|
dz |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
11. |
|
|
|
|
|
|
|
∫ |
|
|
z3ch |
|
|
|
1 |
|
dz |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
z |
|
=5 |
z |
|
|
|
|
− 27)z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z+1 |
|
=2 |
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение. 10. |
|
Корни знаменателя: z |
|
|
= 0, |
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
= 3(cos |
2kπ |
+ isin |
|
2kπ |
), z |
|
= 3, |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1 |
2,3,4 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
3 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
= − |
3 |
|
|
1− i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= − |
3 |
|
1+ i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
z |
3 |
|
|
|
|
|
|
3), |
z |
4 |
3) . Все корни являются простыми полюсами |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
подынтегральной функции. Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Re s |
|
|
|
2z +1 |
= lim [ |
|
z 2z +1) |
] = lim [ |
|
2z +1 |
|
|
|
] = − |
1 |
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
0 |
|
|
|
z |
3 − 27)z |
|
|
|
|
z→0 |
|
|
z3 − 27)z |
|
z→0 |
z3 − 27) |
|
|
27 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Res |
|
|
|
|
2z +1 |
|
|
|
= lim [ |
|
|
|
|
|
z − 3)(2z +1) |
|
|
] = lim [ |
|
|
|
|
2z +1 |
] = |
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
z3 − 27)z |
z − 3)(z2 + 3z + 9)z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
3 |
|
|
|
|
z→3 |
|
|
|
|
z→3 z2 + 3z + 9)z |
81 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2z + 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
[z + |
|
1− i |
3)](2z +1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
Res |
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
lim |
[ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
] = |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
z3 − 27)z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
1+ i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
− |
1−i |
|
3) |
|
|
|
|
|
|
z→− |
|
1−i |
3) |
|
z z − 3)[z + |
|
|
1− i |
3)][z + |
3)] |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2z +1) |
|
|
|
|
|
|
|
] = − 2 + 3i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
= |
|
|
|
|
|
|
lim |
[ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z z − 3)[z + |
|
|
+ i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
81 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
z→− |
|
|
1−i 3) |
|
1 |
3)] |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2z +1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
[z + |
|
1+ i |
3)](2z +1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
Res |
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
lim |
[ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
] = |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
z3 − 27)z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
− |
3 |
1+i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z→− |
3 |
1+i |
|
|
|
z z − 3)[z + |
3 |
1− i |
|
3)][z + |
3 |
1+ i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
3) |
|
|
|
|
|
|
3) |
|
|
3)] |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2z +1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− 2 − 3i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
= |
|
|
|
|
|
|
lim |
[ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
] = |
|
|
3 |
. Получим окончательно: |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z z − 3)[z + |
|
− i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
81 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
z→− |
|
1+i 3) |
|
1 |
3)] |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2z +1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
7 |
+ − 2 + 3i 3 − 2 − 3i 3] = 0 . |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dz = 2πi∑Resf z) =2πi[− |
+ |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
∫=5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
z |
|
|
z3 − 27)z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k=1 |
|
|
zk |
|
|
|
|
|
|
|
|
27 |
|
81 |
|
|
|
|
|
|
81 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
11). Подынтегральная функция имеет существенно особую точку z=-1. Поэтому для вычисления вычета относительно этой точки следует разложить функцию в ряд Лорана. Воспользуемся разложением в ряд функции ch(w) по степеням w:
ch(w) =1+ |
w2 |
+ |
w4 |
+ |
w6 |
|
+ ... Полагая w = |
1 |
|
, получим: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
z +1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
2! |
|
|
4! |
6! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
z3ch |
1 |
|
= z3 1+ |
|
|
1 |
|
+ |
1 |
+ |
|
1 |
|
|
+ ...) = z3 + |
|
z3 |
|
|
+ |
z3 |
|
+ ... |
|||||||||||
z +1 |
|
2! z + 1)2 |
4! z +1)4 |
|
6! z + 1)6 |
|
|
2 z +1)2 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
24 z +1)4 |
|||||||||||||||||||
Разложим, кроме того, функцию z3 по степеням (z+1): |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
z 3 = |
z + 1 − 1)3 |
= |
z + 1)3 − 3 z + 1) 2 |
+ 3 z + 1) − 1 . Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
z3ch |
1 |
|
= [(z +1)3 − 3 z +1)2 + 3 z + 1) −1](1+ |
|
1 |
+ |
|
1 |
|
+ |
|
|
1 |
|
+ ...) |
|||||||||||||||||||
z +1 |
2! z +1)2 |
4! z +1)4 |
6! z +1)6 |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Последующие слагаемые не содержат степени (z+1)-1. Перемножая ряды, находим, что
коэффициентом при (z+1)-1 в разложении функции будет число 3 + 1 = 37 . Вычет данной
2! 4! 24
функции равен коэффициенту при (z+1)-1 в данном разложении, т.е. Res[z3ch |
1 |
] = |
37 |
. |
|||||||||||
z +1 |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−1 |
24 |
|
||
Следовательно. ∫ |
z3ch |
1 |
|
dz = 2πi |
37 |
= |
37 |
πi . |
|
|
|
|
|||
z +1 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
z+1 |
|
=2 |
|
24 |
12 |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ответ. 10. |
|
|
∫ |
|
|
2z +1 |
dz = 0. |
11. |
|
|
|
|
∫ |
|
|
z3ch |
|
1 |
|
|
|
dz = |
37 |
πi . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
=5 |
|
z |
− 27)z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z+1 |
|
=2 |
|
|
|
|
|
z |
|
|
12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
Задача 12. Вычислить несобственный интеграл с помощью вычетов. |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
2 |
+ 1)(x |
2 |
+ |
4) |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Решение. Корнями знаменателя функции f |
|
|
z) = |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
являются числа |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
z2 + 1)(z2 + 4)2 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
z1,2 |
= ±i, z3,4 |
= ±2i . В данном случае в верхней полуплоскости расположены два полюса |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
z=i и z=2i данной функции. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Тогда |
|
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= 2πi(Res |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ Res |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
). |
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
x |
2 |
+ 1)(x |
2 |
+ |
4) |
2 |
|
z |
2 |
+1)(z |
2 |
+ 4) |
2 |
|
|
|
2 |
|
+1)(z |
2 |
+ |
4) |
2 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
−∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2i z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Res |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
= lim |
|
|
|
|
|
|
|
z − i) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= lim |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
= |
|
1 |
|
, |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
2 |
|
+1)(z2 |
+ 4)2 |
|
|
z + i)(z − i)(z2 + 4)2 |
|
|
z + i)(z2 |
|
+ 4)2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
i |
z |
|
|
|
z→i |
|
|
z→i |
|
|
|
|
18i |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Res |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
= lim |
|
d |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z − 2i)2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= lim |
|
d |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
= |
|||||||||||||||||||||||
|
2 +1)(z2 |
+ 4)2 |
|
|
|
|
|
|
+ 2i)2 |
|
z − 2i)2 |
|
z2 +1) |
|
|
|
|
z + 2i) |
2 |
|
z2 + |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2i |
z |
|
|
z→2i dz |
|
|
z |
|
|
|
z→2i dz |
|
|
1) |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
= lim[− |
2 z |
+ 2i)(z2 +1) + 2z z + |
2i) |
2 |
] = lim[− |
|
2 z2 + |
1) + 2z z + |
2i) |
|
|
|
|
|
11 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
] = − |
|
|
|
|
|
. |
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
[(z + 2i)2 |
z2 +1)]2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
32 9i |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
z→2i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z→2i |
|
|
|
|
z + 2i)3 z2 + 1)2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2πi |
|
|
|
|
|
|
11 |
|
|
|
|
5π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Следовательно. ∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
1− |
|
) = |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
2 |
+1)(x |
2 |
+ 4) |
2 |
18i |
|
16 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−∞ |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
144 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Ответ. |
|
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
+1)(x |
2 |
+ 4) |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
−∞ |
|
|
x |
|
|
|
|
|
144 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Задача 13. Вычислить интеграл от заданной ветви многозначной функции по кривой С от точки z1 до точки z2.
∫ |
|
dz |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, где С: верхняя половина окружности |
z |
=1, z1=1, z2=-1, 4 1 = i . |
|||||
4 |
|
|
|||||||
3 |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
||||
C |
z |
|
|
|
|
|
|
Решение. Точки z1 и z2 не являются особыми точками для подинтегральной функции. Следовательно, можно применить формулу Ньютона-Лейбница:
|
|
dz |
|
|
|
z2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ϕ + 2kπ |
|
ϕ + 2kπ |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
= 44 z |
= 4(4 z |
|
− 4 z |
|
) . Рассмотрим функцию 4 |
z = 4 |
+ isin |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
(cos |
) . |
|||||||||||
∫ 4 |
|
|
|
|
|
2 |
1 |
||||||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
z |
3 |
|
|
|
z1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
4 |
|||
C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рассматривается та ветвь функции, для которой в точке z=1 функция будет принимать
заданное значение. С одной стороны 41 = cos 2kπ + isin 2kπ . С другой стороны
4 4
48 = i = cos π + isin π . Сравнивая эти выражения, приходим к выводу, что указанной ветви
22
функции соответствует значение k=1. Следовательно, данная ветвь функции имеет
уравнение. 4 |
|
= 4 |
|
|
|
|
|
|
(cos ϕ + 2π + isin ϕ + 2π) . Таким образом, |
|
|
|
= 4 |
|
= cos |
2π |
+ isin |
2π |
= i , |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
z |
4 z |
1 |
1 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
4 |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
= cos π + 2π |
+ isin π + 2π |
= − |
1 |
|
|
+ |
|
i |
|
. Следовательно, |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
4 z |
2 |
|
= 4 |
−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
dz |
|
|
|
|
z2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
= 44 z |
= 4(4 z |
|
− 4 z |
|
) = 4(− |
+ |
|
|
− i) = −2 2 |
+ i 2 2 |
− 4) . |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
∫ 4 |
|
|
|
|
|
z1 |
2 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
3 |
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ответ. ∫ |
|
|
dz |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= −2 2 + i 2 2 − 4) . |
|||||||
4 |
|
|
|
|
||||||
|
||||||||||
C |
|
z |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|