7. Функции комплексного переменного / m7var17
.pdfВАРИАНТ 17
ЗАДАЧА 1. ВЫЧИСЛИТЬ ЗНАЧЕНИЕ ФУНКЦИИ (ОТВЕТ ДАТЬ В АЛГЕБРАИЧЕСКОЙ ФОРМЕ):
а) sh(i − 2); б) ii+1
РЕШЕНИЕ. А). ФУНКЦИЯ SH(Z) ЯВЛЯЕТСЯ НЕЧЁТНОЙ ФУНКЦИЕЙ. ПОЭТОМУ SH(I-2)=-SH(2-I).
ВОСПОЛЬЗУЕМСЯ ФОРМУЛОЙ СВЯЗИ МЕЖДУ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИМ СИНУСОМ И ГИПЕРБОЛИЧЕСКИМ СИНУСОМ: ; SH(Z)= -ISIN(IZ). ПОЛУЧИМ SH(2-I)=-I·SIN(2I-I2)= -I·SIN(1+2I). ПО ФОРМУЛЕ ТРИГОНОМЕТРИИ SIN(1+2I)=SIN1·COS(2I)+COS1·SIN(2I). ВОСПОЛЬЗУЕМСЯ
ФОРМУЛАМИ СВЯЗИ МЕЖДУ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИМИ И ГИПЕРБОЛИЧЕСКИМИ ФУНКЦИЯМИ:
COS(2I)=CH2; SIN(2I)= ISH2. |
ПОЛУЧИМ SH(I-2)=-SH(2-I)=I(SIN1·CH2+ I·COS1·SH2)= |
|
|
|||||||||||||||||||||
= -COS1·SH2+I·SIN1·CH2. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Б). ВОСПОЛЬЗУЕМСЯ ФОРМУЛОЙ ii+1 = e(i+1)Ln(i) . ПОЛУЧИМ: |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
(i +1)Ln(i) = (i +1)[ln |
|
i |
|
+ i(π |
+ 2kπ)] = i[ln1+ i( |
π |
|
+ 2kπ)] + ln1+ i( |
π |
+ 2kπ) = −( |
π |
+ 2kπ) + i( |
π |
+ 2kπ) . |
||||||||||
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
2 |
|
|
|
2 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
1 |
|
|
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|||||||
ТОГДА ii+1 = e−π(2k+ |
|
)+iπ(2k+ |
|
) |
= e−π(2k+ |
|
)[cos(π |
+ 2kπ) + isin(π + 2kπ)] = i e−π(2k+ |
|
) |
|
|
||||||||||||
2 |
2 |
2 |
2 |
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ОТВЕТ. А) cos(2i) = cos1 sh2 + isin1 ch2 ; Б). ii+1 = i e−π(2k+ |
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
ЗАДАЧА 2. ВЫЯСНИТЬ ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ СМЫСЛ СООТНОШЕНИЯ. СДЕЛАТЬ ЧЕРТЁЖ.
1< z +1− i < 2.
РЕШЕНИЕ. ТАК КАК Z=X+IY, ТО ДАННОЕ СООТНОШЕНИЕ ИМЕЕТ ВИД:
Y1< x +1+ i(y −1) < 2.
ИЛИ 1< (x +1)2 + (y −1)2 < 2. ВОЗВЕДЁМ ВСЕ ЧАСТИ НЕРАВЕНСТВА
В КВАДРАТ. ПОЛУЧИМ: 1< (x +1)2 + (y −1)2 < 4. ЭТО НЕРАВЕНСТВО
XОПРЕДЕЛЯЕТ КОЛЬЦО, ЗАКЛЮЧЁННОЕ МЕЖДУ ОКРУЖНОСТЬЮ
(x +1)2 + (y −1)2 =1 РАДИУСА 1 С ЦЕНТРОМ В ТОЧКЕ (-1;1) И
ОКРУЖНОСТЬЮ (x +1)2 + (y −1)2 = 4 РАДИУСА 2 С ЦЕНТРОМ В ТОЙ ЖЕ ТОЧКЕ.
ОТВЕТ. ДАННОЕ СООТНОШЕНИЕ ОПРЕДЕЛЯЕТ КОЛЬЦО1< (x +1)2 + (y −1)2 < 4.
ЗАДАЧА 3. РЕШИТЬ УРАВНЕНИЕ: sin z = 2
РЕШЕНИЕ. ВОСПОЛЬЗУЕМСЯ РАВЕНСТВОМ sin z = −ish iz И ПЕРЕЙДЁМ ОТ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОЙ
ФУНКЦИИ К ФУНКЦИИ E |
IZ |
: |
− i |
eiz |
− e−iz |
= 2 . УМНОЖИМ ВСЁ УРАВНЕНИЕ НА 2E |
IZ |
, ПОЛУЧИМ |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
− i(e2iz −1) = 4eiz . ОБОЗНАЧИМ v = eiz И РЕШИМ КВАДРАТНОЕ УРАВНЕНИЕ |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
v2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
− 4iv −1= 0, |
|
|
v1,2 |
= 2i ± − 4 +1 = 2i ± i 3 = i(2 ± |
3) . ТАКИМ ОБРАЗОМ, |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
v1 = eiz = i(2 + |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
+ 2kπ) . ИЛИ |
|
|
|||||||||||||
3) или |
|
iz1 = Ln[i(2 + |
|
3)] = ln(2 + |
3) + i( |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
+ 2kπ)] = π |
+ 2kπ − iln(2 + |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
z1 |
= −iln(2 + 3) + i( |
3) .АНАЛОГИЧНО, |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
v2 |
= eiz = i(2 − |
|
|
|
|
|
iz1 = Ln[i(2 − |
|
|
|
|
|
|
|
3) + i(π + 2kπ) . ИЛИ |
|
|
|||||||||||||||||||||
3) |
или |
|
|
|
3)] = ln(2 − |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
||||
|
|
|
|
π + 2kπ)] = |
π |
+ 2kπ − iln(2 − |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
z2 |
= −iln(2 − 3) + i( |
3) . |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ОТВЕТ. z = π2 + 2kπ − iln(2 ± 3)
ЗАДАЧА 4. ДОКАЗАТЬ ТОЖДЕСТВО. sin(z1 + z2 ) = sin z1 cos z2 + cos z1 sin z2 .
1
РЕШЕНИЕ. ВОСПОЛЬЗУЕМСЯ ФОРМУЛАМИ sin z = −i sh iz И cos z = chiz И РАССМОТРИМ ПРАВУЮ ЧАСТЬ ТОЖДЕСТВА:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
eiz1 − e−iz1 |
|
eiz2 |
+ e |
−iz2 |
|
sin z1 cos z2 + cos z1 sin z2 = −i |
[sh(i z1)ch(iz2 ) + ch(iz1)sh(iz2 )] = −i |
2 |
|
|
2 |
|
− |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
− i |
eiz1 |
+ e−iz1 |
|
eiz2 |
− e−iz2 |
|
= −i |
eiz1 eiz2 + eiz1 e−iz2 − e−iz1 eiz2 − e−iz1 e−iz2 + eiz1 eiz2 + e−iz1 eiz2 |
|
− |
|||||||||
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
− i |
− eiz1 e−iz2 |
− e−iz1 e−iz2 |
= −i |
2(eiz1+iz2 − e−iz1−iz2 ) |
= −i |
sh(iz1 |
+ iz2 ) |
= sin(z1 + z2 ) , ЧТО И |
|||||||||||
|
|
4 |
|
|
|
|
4 |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ТРЕБОВАЛОСЬ ДОКАЗАТЬ.
ЗАДАЧА 5. ВОССТАНОВИТЬ АНАЛИТИЧЕСКУЮ ФУНКЦИЮ ПО ЗАДАННОЙ ДЕЙСТВИТЕЛЬНОЙ ЧАСТИ
ЕЁ:
y
Ref(z) = u = − x2 + y2 , ЕСЛИ F(1)=0.
РЕШЕНИЕ. ЧТОБЫ ФУНКЦИЯ U(X,Y) БАЛА ДЕЙСТВИТЕЛЬНОЙ ЧАСТЬЮ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ФУНКЦИИ НУЖНО, ЧТОБЫ ОНА БЫЛА ГАРМОНИЧЕСКОЙ, Т.Е. ЕЁ ЛАПЛАСИАН ∆U БЫЛ БЫ РАВЕН
НУЛЮ: ∆U=0, |
|
≡ |
|
∂2 |
|
+ |
|
∂2 |
. ПРОВЕРИМ ВЫПОЛНЕНИЕ ЭТОГО УСЛОВИЯ, ДЛЯ ЧЕГО НАЙДЁМ |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
∂x2 |
|
|
∂y |
2 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
ПРОИЗВОДНЫЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА ОТ U ПО X И ПО Y: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
∂u |
= |
|
2xy |
|
|
|
, |
|
∂2u |
= |
|
2y(x2 + y2 )2 − 8yx2 (x2 + y2 ) |
= |
2(y3 |
|
− 3yx2 ) |
, |
∂u |
= − |
|
(x2 + y2 − 2y |
2 ) |
= |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
∂x |
(x2 + y2 )2 |
|
∂x |
2 |
|
|
|
|
|
|
(x2 + y2 )4 |
|
|
|
|
|
|
(x2 |
|
+ y2 )3 |
|
|
∂y |
|
|
(x2 + y2 )2 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
= |
|
(y2 |
− x2 ) |
|
, |
|
∂2u |
= |
|
2y(x |
2 + y2 )2 − 4y(x2 + y2 )(y2 − x2 ) |
|
= − |
2(y3 |
− 3yx2 ) |
|
. ЛАПЛАСИАН ∆U |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
(x2 |
+ y2 )2 |
|
|
∂y2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(x2 + y2 )4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(x2 |
+ y2 )3 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
РАВЕН НУЛЮ, ЗНАЧИТ ФУНКЦИЯ u(x, y) = − |
|
|
y |
|
ЯВЛЯЕТСЯ ГАРМОНИЧЕСКОЙ. ВОССТАНОВИМ |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
x2 + y2 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
МНИМУЮ ЧАСТЬ V(X,Y) ФУНКЦИИ F(Z)=U(X,Y)+IV(X,Y), ПОЛЬЗУЯСЬ УСЛОВИЯМИ ДАЛАМБЕРА- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ЭЙЛЕРА: |
∂u |
= |
∂v |
, |
|
∂u |
= − |
∂v |
. ИЗ ПЕРВОГО УСЛОВИЯ ПОЛУЧАЕМ: |
|
|
∂v |
= |
∂u |
= |
|
2xy |
. ТОГДА |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
∂x |
∂y |
|
∂y |
|
|
|
∂y |
∂x |
(x2 + y2 )2 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
v(x, y) = ∫ |
∂v |
dy + ϕ(x) |
, ИЛИ v(x, y) = ∫ |
|
|
2xydy |
|
|
+ ϕ(x) = − |
|
|
|
|
x |
|
|
|
+ ϕ(x). ПРОИЗВОДНАЯ ПО X |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
∂y |
|
(x |
2 |
+ y |
2 |
) |
2 |
|
x |
2 |
+ y |
2 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
ОТ ЭТОГО ВЫРАЖЕНИЯ РАВНА |
∂v |
= − |
x2 |
+ y2 − 2x2 |
|
+ ϕ′(x) = |
|
|
x2 |
− y2 |
|
|
+ ϕ′(x). С ДРУГОЙ |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
∂x |
|
(x2 + y |
2 )2 |
|
|
(x2 + y2 )2 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
СТОРОНЫ ПО ВТОРОМУ УСЛОВИЮ ДАЛАМБЕРА-ЭЙЛЕРА |
∂v |
= − |
∂u |
= − |
(y2 − x2 ) |
. |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
∂x |
∂y |
(x2 + y2 )2 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ПРИРАВНИВАЯ ЭТИ ВЫРАЖЕНИЯ, ПОЛУЧИМ: ϕ′(x) = 0. ИЛИ ϕ(x) = C. ТАКИМ ОБРАЗОМ,
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
y |
|
x |
|
||||
v(x, y) = − |
|
|
+ C.Т ОГДА f(z) = − |
|
− i( |
|
+ C). ИЛИ, ЧЕРЕЗ ПЕРЕМЕННУЮ Z |
||||||||||
x2 + y2 |
x2 + y2 |
x2 + y2 |
|||||||||||||||
f(z) = |
|
− i(x − iy) |
|
+ iC = . |
|
|
|
||||||||||
(x + iy)(x − iy) |
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
= |
− i |
|
+ iC = i(C − |
1) ВОСПОЛЬЗУЕМСЯ ДОПОЛНИТЕЛЬНЫМ УСЛОВИЕМ F(1)=0. В ДАННОМ |
|||||||||||||
(x + iy) |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
||||
СЛУЧАЕ f(1) = i(C −1) . СЛЕДОВАТЕЛЬНО, C=0. |
|
|
|
||||||||||||||
ОТВЕТ. f(z) = − |
y + ix |
= − |
i |
. |
|
|
|
||||||||||
x2 + y2 |
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
ЗАДАЧА 6. ВЫЧИСЛИТЬ ИНТЕГРАЛ ПО ДУГЕ C ОТ ТОЧКИ Z1 ДО ТОЧКИ Z2.
2
∫ |
z |
Im |
z |
dz; |
C − прямая, z1 = 0, z2 = −1− 2i. |
C |
|
РЕШЕНИЕ. ВЫЧИСЛИМ ИНТЕГРАЛ, СВОДЯ ЕГО К КРИВОЛИНЕЙНЫМ ИНТЕГРАЛАМ ВТОРОГО РОДА ПО ФОРМУЛЕ ∫f (z)dz = ∫udx − vdy + i∫udy + vdx . В ДАННОМ СЛУЧАЕ F(Z)=(X-IY)(-Y), Т.Е. U=-XY,
C C C
V=Y2. ЗНАЧИТ ∫z Imzdz = −∫xydx + y2dy − i∫xydy − y2dx . ПРИМЕМ X ЗА ПАРАМЕТР. СОСТАВИМ
C C C
y x
УРАВНЕНИЕ ПРЯМОЙ, ПО КОТОРОЙ ПРОВОДИТСЯ ИНТЕГРИРОВАНИЕ: − 2 = −1 , Т.Е.
y = 2x, dy = 2dx . НАЧАЛЬНОЙ ТОЧКЕ Z1=0 СООТВЕТСТВУЕТ ЗНАЧЕНИЕ X=0, КОНЕЧНОЙ Z2=-1- 2I – ЗНАЧЕНИЕ X=-1.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−1 |
−1 |
|
10x |
3 |
|
|
−1 |
|
10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
СЛЕДОВАТЕЛЬНО, ∫ |
z |
Im |
z |
dz = − ∫(2x2 + 8x2 )dx − i ∫(4x2 |
− 4x2 )dx =− |
|
|
|
= |
|
. |
||||||||
3 |
|
3 |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
C |
0 |
0 |
|
|
|
|
0 |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
ОТВЕТ. ∫ |
|
Im |
|
dz = |
10 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
z |
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
C |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−i
ЗАДАЧА 7. ВЫЧИСЛИТЬ ИНТЕГРАЛ ОТ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ФУНКЦИИ. ∫(z + i) sin zdz .
0
РЕШЕНИЕ. ПРИМЕНИМ ФОРМУЛУ ИНТЕГРИРОВАНИЯ ПО ЧАСТЯМ:
−i |
|
u = z + i du = dz |
|
|
|
−i |
||
|
|
|||||||
∫ |
(z + i) sin z dz = |
|
= − (z + i)cos z |
|
0−i + ∫cos zdz = −i + sin z |
|
0−i = −i − sin i |
|
|
|
|
||||||
|
dv = sin zdz v = − cos z |
|
|
|
||||
0 |
|
|
0 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
ПЕРЕЙДЁМ К ГИПЕРБОЛИЧЕСКОМУ СИНУСУ: sin i = ish1. ПОЛУЧИМ:
−i
∫(z + i) sin zdz = −i(1+ sh1) .
0
−i
ОТВЕТ. ∫(z + i) sin zdz = −i(1+ sh1) .
0
ЗАДАЧА 8. НАЙТИ ИНТЕГРАЛ, ИСПОЛЬЗУЯ ИНТЕГРАЛЬНУЮ ФОРМУЛУ КОШИ, ПО КОНТУ- |
|
||||||||||||||||
РАМ L1, L2, L3. |
e−z2 |
dz, 1) L1 : |
|
z + 2i |
|
= 2, 2) L2 : |
|
z |
|
= |
3 |
, |
3) L3 : |
4(x −1)2 |
+ y2 |
=1. |
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||
L∫ |
(z − 2)(z −1)2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
9 |
|
|
РЕШЕНИЕ. 1). ПОДЫНТЕГРАЛЬНАЯ ФУНКЦИЯ АНАЛИТИЧНА ВСЮДУ, ЗА ИСКЛЮЧЕНИЕМ ТОЧЕК Z=1 И Z=2. В КРУГЕ z + 2i ≤ 2 ПОДЫНТЕГРАЛЬНАЯ ФУНКЦИЯ АНАЛИТИЧНА. СЛЕДОВАТЕЛЬНО,
I1 = |
|
e−z2 |
|
dz = 0 . 2). В КРУГЕ |
|
z |
|
≤ |
3 |
ЕСТЬ ОДНА ОСОБАЯ ТОЧКА Z=1. ПРИМЕНИМ |
|
|
|
|
|||||||
L∫ (z − 2)(z |
−1)2 |
|
|
2 |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
ФОРМУЛУ КОШИ:
|
|
|
|
−z2 |
|
|
|
e−z2 |
dz |
|
I2 |
= |
|
e |
|
dz = |
|
z − 2 |
|||
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|||||
∫ |
(z − 2)(z |
−1)2 |
∫ |
(z −1)2 |
||||||
|
|
|
||||||||
|
|
L2 |
|
|
|
|
L2 |
|
|
= 2πi dzd
e−z2 |
|
|
|
|
|
|
||
z − 2 |
|
|
|
z=1 |
= 2πi |
− 2ze−z2 (z − 2) − e−z2 |
= 2πie−1 |
|
(z − 2)2 |
|||
|
z=1 |
||
|
|
|
|
|
|
|
3). В ЭЛЛИПСЕ |
4(x −1)2 |
+ y2 =1 ЕСТЬ ДВЕ ОСОБЫЕ ТОЧКИ Z=1 И |
|||||||||
|
Y |
|
||||||||||||||
|
|
9 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
L2 |
|
|
|
|
Z=2. ПОЭТОМУ ПРИМЕНИМ ТЕОРЕМУ КОШИ ДЛЯ |
|
|
|||||||||
|
|
L3 |
МНОГОСВЯЗНОЙ ОБЛАСТИ: |
|
|
|
|
|
||||||||
-1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
X |
|
e−z2 |
|
|
|
e−z2 |
|
e−z2 |
|
|
||
|
|
|
|
|
I3 = |
|
|
dz |
= |
dz + |
|
dz , |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
L∫3(z − 2)(z −1) |
|
(z − 2)(z −1)2 |
|
|
|||||||
|
2 |
|
2 |
|
l∫ |
l∫ |
(z − 2)(z −1) |
2 |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
2 |
|
|
|
ГДЕ L1 - ОКРУЖНОСТЬ ДОСТАТОЧНО МАЛОГО РАДИУСА С
3
L1
ЦЕНТРОМ В ТОЧКЕ Z=1, А L2 - ОКРУЖНОСТЬ МАЛОГО РАДИУСА С ЦЕНТРОМ В ТОЧКЕ Z=2. ПЕРВЫЙ ИНТЕГРАЛ СОВПАДАЕТ С I2. ВЫЧИСЛИМ ВТОРОЙ ИНТЕГРАЛ ПО ИНТЕГРАЛЬНОЙ ФОРМУЛЕ КОШИ:
|
|
|
|
|
|
e−z2 |
|
dz |
|
|
|
|
|
|
∫ |
e |
−z2 |
|
|
dz = ∫ |
(z −1) |
2 |
|
e |
−z2 |
|
|
= 2πie−4 . СЛЕДОВАТЕЛЬНО, |
|
|
|
|
|
|
= 2πi |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
2 |
z − 2 |
|
|
2 |
|||||||
l2 |
(z − 2)(z |
−1) |
|
l2 |
|
(z −1) |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z=2 |
|
e−z2
I3 = L∫3(z − 2)(z −1)2 dz = 2πi(e−1 + e−4 ).
ОТВЕТ. I1 = 0, I2 = 2πie−1, I3 = 2πi(e−1 + e−4 ).
ЗАДАЧА 9. РАЗЛОЖИТЬ ФУНКЦИЮ В РЯД ЛОРАНА В ОБЛАСТЯХ.
|
z − 2 |
, |
1) 4 < |
|
z |
|
< 5 |
2) |
|
z |
|
> 5. |
|
3) 1<|Z+5|. |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
z2 + 9z + 20 |
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
РЕШЕНИЕ. КОРНЯМИ УРАВНЕНИЯ Z2+9Z+20=0 ЯВЛЯЮТСЯ ЧИСЛА Z1=-4 И Z2=-5. РАЗЛОЖИМ ЭТУ |
|||||||||||||||||||||
ДРОБЬ НА ПРОСТЫЕ ДРОБИ: |
|
z − 2 |
|
|
= |
A |
+ |
|
|
B |
= |
A(z + 5) + B(z + 4) |
. ИЛИ |
||||||||
z2 + 9z + 20 |
z + 4 |
|
z |
+ 5 |
(z + 4)(z + 5) |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A(z + 5) + B(z + 4) = z − 2 . ПРИ Z=-4 ПОЛУЧИМ A=-6. ЕСЛИ ПОЛОЖИТЬ Z=-5, ТО ПОЛУЧИМ В=7.
СЛЕДОВАТЕЛЬНО, |
z − 2 |
= |
− 6 |
+ |
7 |
. 1). В КОЛЬЦЕ 4 < |
|
z |
|
< 5 ИМЕЕМ |
|
4 |
<1 |
и |
|
z |
|
|
< |
1. |
||||||||||
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
z2 + 9z + 20 |
z + 4 |
z + 5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
z − 2 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
ТОГДА ДРОБЬ МОЖНО ПРЕДСТАВИТЬ СЛЕДУЮЩИМ ОБРАЗОМ: |
|
|
= |
− 6 |
|
+ |
|
7 |
. |
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
z |
2 + 9z + 20 |
|
z(1+ |
|
4 |
) |
|
5(1 |
+ |
z |
) |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
5 |
|
|
|
|
ВОСПОЛЬЗУЕМСЯ ФОРМУЛОЙ ДЛЯ БЕСКОНЕЧНО УБЫВАЮЩЕЙ ГЕОМЕТРИЧЕСКОЙ ПРОГРЕССИИ:
|
1 |
|
=1+ q + q2 + ... + qn + ..., ГДЕ |
|
q |
|
<1. В ПЕРВОЙ ДРОБИ Q=-4/Z, ВО ВТОРОЙ ДРОБИ Q= -Z/5. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1− q |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z − 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
n−1 |
|
|
|
n−1 |
|
∞ |
|
|
n |
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
СЛЕДОВАТЕЛЬНО, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= −6∑ |
(−1) |
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
+ 7∑ |
(−1) z |
|
|
|
. |
2). В КОЛЬЦЕ |
|
z |
|
> 5 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
z |
2 |
|
+ 9z + 20 |
|
|
|
|
|
|
z |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n+1 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=0 |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
ВЫПОЛНЯЮТСЯ НЕРАВЕНСТВА |
|
4 |
|
|
|
<1 |
|
|
|
и |
|
|
|
5 |
|
<1. СЛЕДОВАТЕЛЬНО, |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
z − 2 |
|
|
|
− 6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
(−1) |
n−1 |
4 |
n−1 |
|
∞ |
|
|
n−1 |
5 |
n |
−1 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
= |
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= −6∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
+∑ |
(−1) |
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
z2 + 9z + 20 |
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
zn |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
zn |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z(1+ |
z |
) |
|
|
|
|
z(1+ |
z |
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
3) 1 < |
|
z + 5 |
|
; |
|
|
1 |
|
< 1; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
z + 5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
(−1)n7n |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
z − 2 |
|
|
− 6 |
|
|
|
|
|
|
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
6∑ (z + 5)n + 7∑ |
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5n+1 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
z2 + 9z + 20 z + 4 |
|
|
|
|
z + |
5 1 |
|
|
|
|
− (z + 5) |
|
|
|
z |
+ 5 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
z − 2 |
= |
|
∞ |
(z + 5)n |
+ |
∞ |
(−1)n7n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6∑ |
7∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
z2 + 9z + 20 |
|
|
5n+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
z − 2 |
= |
|
∞ |
(z + 5)n |
+ |
∞ |
(−1)n7n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6∑ |
7∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
z2 + 9z + 20 |
|
|
5n+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z − 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
(−1)n−1 4n−1 |
|
|
|
|
|
|
∞ |
(−1)n zn |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ОТВЕТ. 1). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= −6∑ |
|
|
|
+ 7∑ |
|
В КОЛЬЦЕ 4 < |
z |
< 5 . |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
z |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
n+1 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ 9z + 20 |
|
|
|
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z − 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7 5 |
n−1 |
− |
6 |
4 |
n |
−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
2). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
∑(−1)n−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В КОЛЬЦЕ |
|
z |
|
> 5 . |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
z2 + 9z + 20 |
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
zn |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3) |
|
|
|
|
|
|
|
|
z − 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
+ 5)n |
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
(−1)n7n |
; В КОЛЬЦЕ 1<|Z+5|. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
6∑ (z |
+ 7∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5n+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z2 + 9z + 20 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
ЗАДАЧИ 10-11. ВЫЧИСЛИТЬ ИНТЕГРАЛЫ С ПОМОЩЬЮ ВЫЧЕТОВ. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
iπz |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
10. |
|
|
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dz |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
11. |
|
|
|
|
∫zez−1dz |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
(4z |
2 |
|
|
|
− |
1) |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
z |
=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
iπz |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
iπz |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
РЕШЕНИЕ. 10. ПРЕОБРАЗУЕМ ПОДИНТЕГРАЛЬНУЮ ФУНКЦИЮ: |
|
|
|
|
|
e 3 |
|
|
|
|
|
= |
1 |
|
|
|
|
|
|
e 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
(4z |
2 −1) |
2 |
|
16 |
|
(z |
2 |
− |
1 |
) |
2 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
КОРНИ ЗНАМЕНАТЕЛЯ: z1 |
|
= − |
1 |
, |
|
|
|
|
z2 |
= |
|
1 |
|
|
I. ЗНАЧЕНИЯ Z1 И Z2 ЯВЛЯЮТСЯ ПОЛЮСАМИ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
ПОДЫНТЕГРАЛЬНОЙ ФУНКЦИИ КРАТНОСТИ 2. ТОГДА |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
iπz |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
iπz |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
iπ |
|
|
iπz |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
iπz |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
iπ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(z + |
|
)2 e |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e 3 |
(z− |
|
)2 |
− 2e |
3 (z− |
) |
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
iπ |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Res |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
lim |
|
|
|
d |
|
[ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
] = |
|
lim |
|
[ |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
] = e |
6 |
|
( |
+ 2) , |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
− |
1 |
|
16(z |
2 |
|
− |
) |
2 |
|
|
|
|
z→− |
1 dz |
16(z+ |
1 |
) |
2 |
(z− |
) |
2 |
|
|
z→− |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
16(z − |
|
) |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
16 |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 |
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
iπz |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
iπz |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
iπ |
|
|
|
iπz |
|
|
1 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
iπz |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
iπ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(z − |
) |
2 |
e |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e |
|
3 (z+ |
) |
|
− 2e 3 |
(z+ |
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e 6 |
|
|
|
|
iπ |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Res |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= lim |
|
|
|
[ |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
] = lim [ |
3 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
] = |
|
( |
|
|
− 2). |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
− |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
1 |
|
|
dz |
16(z+ |
1 |
|
|
2 |
(z− |
1 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
16(z + |
1 |
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
16 |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
16(z |
|
|
|
|
|
|
|
|
) |
|
|
|
|
|
z→ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
) |
|
|
|
|
|
) |
|
|
|
|
|
|
z→ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
iπz |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e− |
iπ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
iπ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
iπ |
|
|
|
|
|
iπ |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
ПОЛУЧИМ ОКОНЧАТЕЛЬНО: ∫ |
|
|
|
|
|
|
|
e 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
iπ |
|
|
|
|
|
|
e 6 |
|
|
|
|
iπ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ e 6 ). |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dz = |
2πi[ |
|
|
|
|
|
|
|
( |
|
|
|
|
|
|
+ 2) + |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( |
|
|
|
− 2) = − |
|
|
|
|
(e |
6 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
−1) |
2 |
|
16 |
|
3 |
|
|
|
|
16 |
|
|
|
3 |
12 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
iπz |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
=1 (4z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
iπ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
ИЛИ ∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dz |
= − |
|
|
|
ch( |
|
) |
= − |
|
|
cos( |
) = − |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
(4z |
2 |
|
−1) |
2 |
|
|
6 |
|
6 |
|
|
6 |
|
|
|
6 |
|
|
12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
z |
=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
11. ПОДЫНТЕГРАЛЬНАЯ ФУНКЦИЯ ИМЕЕТ СУЩЕСТВЕННО ОСОБУЮ ТОЧКУ Z=1. ПОЭТОМУ ДЛЯ ВЫЧИСЛЕНИЯ ВЫЧЕТА ОТНОСИТЕЛЬНО ЭТОЙ ТОЧКИ СЛЕДУЕТ РАЗЛОЖИТЬ ФУНКЦИЮ В РЯД ЛОРАНА. ВОСПОЛЬЗУЕМСЯ РАЗЛОЖЕНИЕМ В РЯД ФУНКЦИИ EW ПО СТЕПЕНЯМ W:
sh(w) =1+ w + |
w |
2 |
+ |
|
w3 |
|
+ |
w4 |
|
+ ... ПОЛАГАЯ w = |
1 |
|
|
, ПОЛУЧИМ: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
2! |
3! |
|
4! |
|
z − |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
1 |
|
|
|
1+ |
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
1 |
|
|
1 |
|
|
+ ... |
|
|
3 |
|
1 |
|
|
2 |
|
1 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ 1+ |
|
|
+ |
|
+ ... |
|||||||||||||||
zez−1 = (1 |
+ z −1) |
|
+ |
|
|
|
+ |
+ |
|
|
|
= z |
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
z −1 |
|
|
2(z |
−1)2 |
|
6(z −1)3 |
|
24(z |
−1)4 |
|
|
2 |
|
z −1 |
3 |
|
(z −1)2 |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ПОСЛЕДУЮЩИЕ СЛАГАЕМЫЕ НЕ СОДЕРЖАТ СТЕПЕНИ (Z-1)-1. КОЭФФИЦИЕНТОМ ПРИ (Z-1)-1 В РАЗЛОЖЕНИИ ФУНКЦИИ БУДЕТ ЧИСЛО 3/2. ВЫЧЕТ ДАННОЙ ФУНКЦИИ РАВЕН КОЭФФИЦИЕНТУ
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
3 |
|
||||
ПРИ (Z-1)-1 В ДАННОМ РАЗЛОЖЕНИИ, Т.Е. Res[ze |
|
|
] = |
. СЛЕДОВАТЕЛЬНО. |
||||||||||||||||||||||
z−1 |
||||||||||||||||||||||||||
2 |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
||
1 |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
∫ zez−1dz = 2πi |
= 3πi . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
z |
=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
iπz |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
e 3 |
|
|
|
π2 3 |
|
|
|
|||||||||||
ОТВЕТ. 10. ∫ |
|
|
|
dz = − |
. 11. |
∫zez−1dz = 3πi . |
||||||||||||||||||||
(4z |
2 |
− |
1) |
2 |
12 |
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
z |
=1 |
|
|
|
|
|
|
z |
=1 |
|
|
ЗАДАЧА 12. ВЫЧИСЛИТЬ НЕСОБСТВЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ С ПОМОЩЬЮ ВЫЧЕТОВ.
5
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(x |
2 |
1) |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−∞ |
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
РЕШЕНИЕ. КОРНЯМИ ЗНАМЕНАТЕЛЯ ФУНКЦИИ f(z) = |
|
|
1 |
|
|
|
ЯВЛЯЮТСЯ ЧИСЛА z1,2 = ±i . В |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
(x2 +1)3 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
ДАННОМ СЛУЧАЕ В ВЕРХНЕЙ ПОЛУПЛОСКОСТИ РАСПОЛОЖЕН ОДИН ПОЛЮС Z=I ДАННОЙ |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
ФУНКЦИИ КРАТНОСТИ 3. ТОГДА ∫ |
|
|
|
|
|
|
= 2πi Res |
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
2 |
|
|
|
3 |
|
|
2 |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−∞ |
(x |
|
|
+ 1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
(z |
|
+1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Res |
|
1 |
|
|
= |
1 |
|
lim |
d2 |
|
|
(z − i)3 |
|
|
|
= |
|
1 |
|
lim |
d |
|
|
|
|
|
− 3 |
|
= |
1 |
lim |
12 |
= |
6 |
= |
3 |
|
|||||||||||||
|
+1)3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dz (z + i)4 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
i (z2 |
|
|
2! |
|
z→i dz2 (z + i)3 (z − i)3 |
|
|
2! |
|
z→i |
|
2 |
|
z→i (z + i)5 |
|
64i |
|
32i |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
dx |
|
|
3 |
|
|
|
|
3π . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
СЛЕДОВАТЕЛЬНО. ∫ |
|
|
|
= 2πi |
|
) = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
2 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−∞ (x |
+ 1) |
|
|
32i |
|
|
|
16 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
dx |
|
|
|
|
3π . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
ОТВЕТ. |
∫ |
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
2 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
−∞ (x |
|
+1) |
|
|
|
16 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ЗАДАЧА 13. ВЫЧИСЛИТЬ ИНТЕГРАЛ ОТ ЗАДАННОЙ ВЕТВИ МНОГОЗНАЧНОЙ ФУНКЦИИ ПО КРИВОЙ
С ОТ ТОЧКИ Z1 ДО ТОЧКИ Z2.
∫3z + idz , ГДЕ С: ПРЯМАЯ, Z1=8-I, Z2=7I, 38 = −1+ i3 .
C
РЕШЕНИЕ. ТОЧКИ Z1 И Z2 НЕ ЯВЛЯЮТСЯ ОСОБЫМИ ТОЧКАМИ ДЛЯ ПОДИНТЕГРАЛЬНОЙ ФУНКЦИИ. СЛЕДОВАТЕЛЬНО, МОЖНО ПРИМЕНИТЬ ФОРМУЛУ НЬЮТОНА-ЛЕЙБНИЦА:
∫3 |
|
|
|
|
|
|
dx = |
|
3 |
|
(z + i)3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z2 |
|
= |
3 |
((z2 + i)3 |
|
|
|
|
|
|
|
− (z1 + i)3 |
|
|
|
|
|
) . РАССМОТРИМ ФУНКЦИЮ |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
z + i |
z + i |
|
z2 + i |
z1 + i |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
4 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z1 |
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ϕ + 2kπ + isin |
ϕ + 2kπ) . РАССМАТРИВАЕТСЯ ТА ВЕТВЬ ФУНКЦИИ, ДЛЯ КОТОРОЙ В |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3 |
|
|
= 3 |
|
|
|
|
z |
|
|
2 (cos |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
z |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
ТОЧКЕ Z=8 ФУНКЦИЯ БУДЕТ ПРИНИМАТЬ ЗАДАННОЕ ЗНАЧЕНИЕ. С ОДНОЙ СТОРОНЫ |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3 |
|
|
|
|
|
|
|
(cos |
|
2kπ |
+ isin |
2kπ |
) = 2(cos |
2kπ |
|
+ isin |
|
2kπ |
) . С ДРУГОЙ СТОРОНЫ |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
= 3 |
|
8 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
8 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
3 |
|
= −1+ i |
|
|
|
|
= 2(− |
1 |
|
+ |
i 3 |
) . СРАВНИВАЯ ЭТИ ВЫРАЖЕНИЯ, ПРИХОДИМ К ВЫВОДУ, ЧТО |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
8 |
3 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
УКАЗАННОЙ ВЕТВИ ФУНКЦИИ СООТВЕТСТВУЕТ ЗНАЧЕНИЕ K=1. СЛЕДОВАТЕЛЬНО, ДАННАЯ |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ВЕТВЬ ФУНКЦИИ ИМЕЕТ УРАВНЕНИЕ. 3 |
|
|
|
= 3 |
|
|
|
|
|
|
ϕ + 2π |
+ isin |
ϕ + 2π |
) . ТАКИМ ОБРАЗОМ, |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
z |
|
z |
(cos |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2π |
|
|
|
|
|
|
2π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
(z1 + i) 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= 8 3 |
|
|
=16(cos |
|
|
|
|
|
|
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
+ |
i |
|
3 |
) = −8(1− i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
z1 + i |
8 |
+ isin |
=16(− |
3) , |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
3 |
2 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ 2π |
|
|
|
|
2 + 2π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ isin |
) =16i(− |
|
3 |
+ |
i |
) = −8(1+ i |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
=16i(cos |
|
2 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
(z2 + i) 3 z2 + i = 8i |
8i |
|
|
3) . |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
СЛЕДОВАТЕЛЬНО, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
∫3 |
|
dx = |
3 |
(z + i)3 |
|
z2 |
= |
3 |
((z2 + i)3 |
|
|
|
|
|
− 3 8 (1+ i |
|
−1+ i |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
z +i |
z+ i |
|
z2 + i− (z1 + i)3 z1 + i) = |
3 |
3) = −12i 3 . |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
4 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z1 |
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ОТВЕТ. ∫3z +i dx = −12i3 .
C
6