Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Скачиваний:
61
Добавлен:
27.03.2015
Размер:
654.73 Кб
Скачать

ВАРИАНТ 17

ЗАДАЧА 1. ВЫЧИСЛИТЬ ЗНАЧЕНИЕ ФУНКЦИИ (ОТВЕТ ДАТЬ В АЛГЕБРАИЧЕСКОЙ ФОРМЕ):

а) sh(i 2); б) ii+1

РЕШЕНИЕ. А). ФУНКЦИЯ SH(Z) ЯВЛЯЕТСЯ НЕЧЁТНОЙ ФУНКЦИЕЙ. ПОЭТОМУ SH(I-2)=-SH(2-I).

ВОСПОЛЬЗУЕМСЯ ФОРМУЛОЙ СВЯЗИ МЕЖДУ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИМ СИНУСОМ И ГИПЕРБОЛИЧЕСКИМ СИНУСОМ: ; SH(Z)= -ISIN(IZ). ПОЛУЧИМ SH(2-I)=-I·SIN(2I-I2)= -I·SIN(1+2I). ПО ФОРМУЛЕ ТРИГОНОМЕТРИИ SIN(1+2I)=SINCOS(2I)+COSSIN(2I). ВОСПОЛЬЗУЕМСЯ

ФОРМУЛАМИ СВЯЗИ МЕЖДУ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИМИ И ГИПЕРБОЛИЧЕСКИМИ ФУНКЦИЯМИ:

COS(2I)=CH2; SIN(2I)= ISH2.

ПОЛУЧИМ SH(I-2)=-SH(2-I)=I(SINCH2+ I·COSSH2)=

 

 

= -COSSH2+I·SINCH2.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Б). ВОСПОЛЬЗУЕМСЯ ФОРМУЛОЙ ii+1 = e(i+1)Ln(i) . ПОЛУЧИМ:

 

 

 

 

 

 

 

 

(i +1)Ln(i) = (i +1)[ln

 

i

 

+ i(π

+ 2kπ)] = i[ln1+ i(

π

 

+ 2kπ)] + ln1+ i(

π

+ 2kπ) = −(

π

+ 2kπ) + i(

π

+ 2kπ) .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

2

 

 

 

 

2

2

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

1

 

1

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

ТОГДА ii+1 = e−π(2k+

 

)+iπ(2k+

 

)

= e−π(2k+

 

)[cos(π

+ 2kπ) + isin(π + 2kπ)] = i e−π(2k+

 

)

 

 

2

2

2

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ОТВЕТ. А) cos(2i) = cos1 sh2 + isin1 ch2 ; Б). ii+1 = i e−π(2k+

 

)

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

ЗАДАЧА 2. ВЫЯСНИТЬ ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ СМЫСЛ СООТНОШЕНИЯ. СДЕЛАТЬ ЧЕРТЁЖ.

1< z +1i < 2.

РЕШЕНИЕ. ТАК КАК Z=X+IY, ТО ДАННОЕ СООТНОШЕНИЕ ИМЕЕТ ВИД:

Y1< x +1+ i(y 1) < 2.

ИЛИ 1< (x +1)2 + (y 1)2 < 2. ВОЗВЕДЁМ ВСЕ ЧАСТИ НЕРАВЕНСТВА

В КВАДРАТ. ПОЛУЧИМ: 1< (x +1)2 + (y 1)2 < 4. ЭТО НЕРАВЕНСТВО

XОПРЕДЕЛЯЕТ КОЛЬЦО, ЗАКЛЮЧЁННОЕ МЕЖДУ ОКРУЖНОСТЬЮ

(x +1)2 + (y 1)2 =1 РАДИУСА 1 С ЦЕНТРОМ В ТОЧКЕ (-1;1) И

ОКРУЖНОСТЬЮ (x +1)2 + (y 1)2 = 4 РАДИУСА 2 С ЦЕНТРОМ В ТОЙ ЖЕ ТОЧКЕ.

ОТВЕТ. ДАННОЕ СООТНОШЕНИЕ ОПРЕДЕЛЯЕТ КОЛЬЦО1< (x +1)2 + (y 1)2 < 4.

ЗАДАЧА 3. РЕШИТЬ УРАВНЕНИЕ: sin z = 2

РЕШЕНИЕ. ВОСПОЛЬЗУЕМСЯ РАВЕНСТВОМ sin z = −ish iz И ПЕРЕЙДЁМ ОТ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОЙ

ФУНКЦИИ К ФУНКЦИИ E

IZ

:

i

eiz

eiz

= 2 . УМНОЖИМ ВСЁ УРАВНЕНИЕ НА 2E

IZ

, ПОЛУЧИМ

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i(e2iz 1) = 4eiz . ОБОЗНАЧИМ v = eiz И РЕШИМ КВАДРАТНОЕ УРАВНЕНИЕ

 

 

v2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4iv 1= 0,

 

 

v1,2

= 2i ± − 4 +1 = 2i ± i 3 = i(2 ±

3) . ТАКИМ ОБРАЗОМ,

 

 

v1 = eiz = i(2 +

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

π

+ 2kπ) . ИЛИ

 

 

3) или

 

iz1 = Ln[i(2 +

 

3)] = ln(2 +

3) + i(

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

π

+ 2kπ)] = π

+ 2kπ − iln(2 +

 

 

 

 

 

 

 

 

z1

= −iln(2 + 3) + i(

3) НАЛОГИЧНО,

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

v2

= eiz = i(2

 

 

 

 

 

iz1 = Ln[i(2

 

 

 

 

 

 

 

3) + i(π + 2kπ) . ИЛИ

 

 

3)

или

 

 

 

3)] = ln(2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

π + 2kπ)] =

π

+ 2kπ − iln(2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z2

= −iln(2 3) + i(

3) .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ОТВЕТ. z = π2 + 2kπ − iln(2 ± 3)

ЗАДАЧА 4. ДОКАЗАТЬ ТОЖДЕСТВО. sin(z1 + z2 ) = sin z1 cos z2 + cos z1 sin z2 .

1

РЕШЕНИЕ. ВОСПОЛЬЗУЕМСЯ ФОРМУЛАМИ sin z = −i sh iz И cos z = chiz И РАССМОТРИМ ПРАВУЮ ЧАСТЬ ТОЖДЕСТВА:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

eiz1 eiz1

 

eiz2

+ e

iz2

sin z1 cos z2 + cos z1 sin z2 = −i

[sh(i z1)ch(iz2 ) + ch(iz1)sh(iz2 )] = −i

2

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i

eiz1

+ eiz1

 

eiz2

eiz2

 

= −i

eiz1 eiz2 + eiz1 eiz2 eiz1 eiz2 eiz1 eiz2 + eiz1 eiz2 + eiz1 eiz2

 

 

2

 

2

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i

eiz1 eiz2

eiz1 eiz2

= −i

2(eiz1+iz2 eiz1iz2 )

= −i

sh(iz1

+ iz2 )

= sin(z1 + z2 ) , ЧТО И

 

 

4

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ТРЕБОВАЛОСЬ ДОКАЗАТЬ.

ЗАДАЧА 5. ВОССТАНОВИТЬ АНАЛИТИЧЕСКУЮ ФУНКЦИЮ ПО ЗАДАННОЙ ДЕЙСТВИТЕЛЬНОЙ ЧАСТИ

ЕЁ:

y

Ref(z) = u = − x2 + y2 , ЕСЛИ F(1)=0.

РЕШЕНИЕ. ЧТОБЫ ФУНКЦИЯ U(X,Y) БАЛА ДЕЙСТВИТЕЛЬНОЙ ЧАСТЬЮ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ФУНКЦИИ НУЖНО, ЧТОБЫ ОНА БЫЛА ГАРМОНИЧЕСКОЙ, Т.Е. ЕЁ ЛАПЛАСИАН U БЫЛ БЫ РАВЕН

НУЛЮ: ∆U=0,

 

 

2

 

+

 

2

. ПРОВЕРИМ ВЫПОЛНЕНИЕ ЭТОГО УСЛОВИЯ, ДЛЯ ЧЕГО НАЙДЁМ

 

 

x2

 

 

y

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ПРОИЗВОДНЫЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА ОТ U ПО X И ПО Y:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

u

=

 

2xy

 

 

 

,

 

2u

=

 

2y(x2 + y2 )2 8yx2 (x2 + y2 )

=

2(y3

 

3yx2 )

,

u

= −

 

(x2 + y2 2y

2 )

=

x

(x2 + y2 )2

 

x

2

 

 

 

 

 

 

(x2 + y2 )4

 

 

 

 

 

 

(x2

 

+ y2 )3

 

 

y

 

 

(x2 + y2 )2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

 

(y2

x2 )

 

,

 

2u

=

 

2y(x

2 + y2 )2 4y(x2 + y2 )(y2 x2 )

 

= −

2(y3

3yx2 )

 

. ЛАПЛАСИАН U

(x2

+ y2 )2

 

 

y2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(x2 + y2 )4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(x2

+ y2 )3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

РАВЕН НУЛЮ, ЗНАЧИТ ФУНКЦИЯ u(x, y) = −

 

 

y

 

ЯВЛЯЕТСЯ ГАРМОНИЧЕСКОЙ. ВОССТАНОВИМ

 

 

 

x2 + y2

МНИМУЮ ЧАСТЬ V(X,Y) ФУНКЦИИ F(Z)=U(X,Y)+IV(X,Y), ПОЛЬЗУЯСЬ УСЛОВИЯМИ ДАЛАМБЕРА-

ЭЙЛЕРА:

u

=

v

,

 

u

= −

v

. ИЗ ПЕРВОГО УСЛОВИЯ ПОЛУЧАЕМ:

 

 

v

=

u

=

 

2xy

. ТОГДА

x

y

 

y

 

 

 

y

x

(x2 + y2 )2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

v(x, y) =

v

dy + ϕ(x)

, ИЛИ v(x, y) =

 

 

2xydy

 

 

+ ϕ(x) = −

 

 

 

 

x

 

 

 

+ ϕ(x). ПРОИЗВОДНАЯ ПО X

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

 

(x

2

+ y

2

)

2

 

x

2

+ y

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ОТ ЭТОГО ВЫРАЖЕНИЯ РАВНА

v

= −

x2

+ y2 2x2

 

+ ϕ′(x) =

 

 

x2

y2

 

 

+ ϕ′(x). С ДРУГОЙ

 

x

 

(x2 + y

2 )2

 

 

(x2 + y2 )2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

СТОРОНЫ ПО ВТОРОМУ УСЛОВИЮ ДАЛАМБЕРАЙЛЕРА

v

= −

u

= −

(y2 x2 )

.

 

 

x

y

(x2 + y2 )2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ПРИРАВНИВАЯ ЭТИ ВЫРАЖЕНИЯ, ПОЛУЧИМ: ϕ′(x) = 0. ИЛИ ϕ(x) = C. ТАКИМ ОБРАЗОМ,

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

y

 

x

 

v(x, y) = −

 

 

+ C.Т ОГДА f(z) = −

 

i(

 

+ C). ИЛИ, ЧЕРЕЗ ПЕРЕМЕННУЮ Z

x2 + y2

x2 + y2

x2 + y2

f(z) =

 

i(x iy)

 

+ iC = .

 

 

 

(x + iy)(x iy)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

i

 

+ iC = i(C

1) ВОСПОЛЬЗУЕМСЯ ДОПОЛНИТЕЛЬНЫМ УСЛОВИЕМ F(1)=0. В ДАННОМ

(x + iy)

 

 

 

 

 

 

z

 

 

 

 

 

 

 

СЛУЧАЕ f(1) = i(C 1) . СЛЕДОВАТЕЛЬНО, C=0.

 

 

 

ОТВЕТ. f(z) = −

y + ix

= −

i

.

 

 

 

x2 + y2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z

 

 

 

ЗАДАЧА 6. ВЫЧИСЛИТЬ ИНТЕГРАЛ ПО ДУГЕ C ОТ ТОЧКИ Z1 ДО ТОЧКИ Z2.

2

z

Im

z

dz;

C прямая, z1 = 0, z2 = −12i.

C

 

РЕШЕНИЕ. ВЫЧИСЛИМ ИНТЕГРАЛ, СВОДЯ ЕГО К КРИВОЛИНЕЙНЫМ ИНТЕГРАЛАМ ВТОРОГО РОДА ПО ФОРМУЛЕ f (z)dz = udx vdy + iudy + vdx . В ДАННОМ СЛУЧАЕ F(Z)=(X-IY)(-Y), Т.Е. U=-XY,

C C C

V=Y2. ЗНАЧИТ z Imzdz = −xydx + y2dy ixydy y2dx . ПРИМЕМ X ЗА ПАРАМЕТР. СОСТАВИМ

C C C

y x

УРАВНЕНИЕ ПРЯМОЙ, ПО КОТОРОЙ ПРОВОДИТСЯ ИНТЕГРИРОВАНИЕ: 2 = 1 , Т.Е.

y = 2x, dy = 2dx . НАЧАЛЬНОЙ ТОЧКЕ Z1=0 СООТВЕТСТВУЕТ ЗНАЧЕНИЕ X=0, КОНЕЧНОЙ Z2=-1- 2I ЗНАЧЕНИЕ X=-1.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

1

 

10x

3

 

 

1

 

10

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

СЛЕДОВАТЕЛЬНО,

z

Im

z

dz = − (2x2 + 8x2 )dx i (4x2

4x2 )dx =−

 

 

 

=

 

.

3

 

3

 

 

 

 

C

0

0

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

ОТВЕТ.

 

Im

 

dz =

10 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z

z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

C

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i

ЗАДАЧА 7. ВЫЧИСЛИТЬ ИНТЕГРАЛ ОТ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ФУНКЦИИ. (z + i) sin zdz .

0

РЕШЕНИЕ. ПРИМЕНИМ ФОРМУЛУ ИНТЕГРИРОВАНИЯ ПО ЧАСТЯМ:

i

 

u = z + i du = dz

 

 

 

i

 

 

(z + i) sin z dz =

 

= − (z + i)cos z

 

0i + cos zdz = −i + sin z

 

0i = −i sin i

 

 

 

 

dv = sin zdz v = − cos z

 

 

 

0

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

ПЕРЕЙДЁМ К ГИПЕРБОЛИЧЕСКОМУ СИНУСУ: sin i = ish1. ПОЛУЧИМ:

i

(z + i) sin zdz = −i(1+ sh1) .

0

i

ОТВЕТ. (z + i) sin zdz = −i(1+ sh1) .

0

ЗАДАЧА 8. НАЙТИ ИНТЕГРАЛ, ИСПОЛЬЗУЯ ИНТЕГРАЛЬНУЮ ФОРМУЛУ КОШИ, ПО КОНТУ-

 

РАМ L1, L2, L3.

ez2

dz, 1) L1 :

 

z + 2i

 

= 2, 2) L2 :

 

z

 

=

3

,

3) L3 :

4(x 1)2

+ y2

=1.

 

 

 

 

 

 

 

L

(z 2)(z 1)2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

9

 

 

РЕШЕНИЕ. 1). ПОДЫНТЕГРАЛЬНАЯ ФУНКЦИЯ АНАЛИТИЧНА ВСЮДУ, ЗА ИСКЛЮЧЕНИЕМ ТОЧЕК Z=1 И Z=2. В КРУГЕ z + 2i 2 ПОДЫНТЕГРАЛЬНАЯ ФУНКЦИЯ АНАЛИТИЧНА. СЛЕДОВАТЕЛЬНО,

I1 =

 

ez2

 

dz = 0 . 2). В КРУГЕ

 

z

 

3

ЕСТЬ ОДНА ОСОБАЯ ТОЧКА Z=1. ПРИМЕНИМ

 

 

 

 

L(z 2)(z

1)2

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

ФОРМУЛУ КОШИ:

 

 

 

 

z2

 

 

 

ez2

dz

I2

=

 

e

 

dz =

 

z 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(z 2)(z

1)2

(z 1)2

 

 

 

 

 

L2

 

 

 

 

L2

 

 

= 2πi dzd

ez2

 

 

 

 

 

z 2

 

 

z=1

= 2πi

2zez2 (z 2) ez2

= 2πie1

(z 2)2

 

z=1

 

 

 

 

 

 

 

3). В ЭЛЛИПСЕ

4(x 1)2

+ y2 =1 ЕСТЬ ДВЕ ОСОБЫЕ ТОЧКИ Z=1 И

 

Y

 

 

 

9

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

L2

 

 

 

 

Z=2. ПОЭТОМУ ПРИМЕНИМ ТЕОРЕМУ КОШИ ДЛЯ

 

 

 

 

L3

МНОГОСВЯЗНОЙ ОБЛАСТИ:

 

 

 

 

 

-1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

X

 

ez2

 

 

 

ez2

 

ez2

 

 

 

 

 

 

 

I3 =

 

 

dz

=

dz +

 

dz ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

L3(z 2)(z 1)

 

(z 2)(z 1)2

 

 

 

2

 

2

 

l

l

(z 2)(z 1)

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

2

 

 

 

ГДЕ L1 - ОКРУЖНОСТЬ ДОСТАТОЧНО МАЛОГО РАДИУСА С

3

L1

ЦЕНТРОМ В ТОЧКЕ Z=1, А L2 - ОКРУЖНОСТЬ МАЛОГО РАДИУСА С ЦЕНТРОМ В ТОЧКЕ Z=2. ПЕРВЫЙ ИНТЕГРАЛ СОВПАДАЕТ С I2. ВЫЧИСЛИМ ВТОРОЙ ИНТЕГРАЛ ПО ИНТЕГРАЛЬНОЙ ФОРМУЛЕ КОШИ:

 

 

 

 

 

 

ez2

 

dz

 

 

 

 

 

 

e

z2

 

 

dz =

(z 1)

2

 

e

z2

 

 

= 2πie4 . СЛЕДОВАТЕЛЬНО,

 

 

 

 

 

= 2πi

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

z 2

 

 

2

l2

(z 2)(z

1)

 

l2

 

(z 1)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z=2

 

ez2

I3 = L3(z 2)(z 1)2 dz = 2πi(e1 + e4 ).

ОТВЕТ. I1 = 0, I2 = 2πie1, I3 = 2πi(e1 + e4 ).

ЗАДАЧА 9. РАЗЛОЖИТЬ ФУНКЦИЮ В РЯД ЛОРАНА В ОБЛАСТЯХ.

 

z 2

,

1) 4 <

 

z

 

< 5

2)

 

z

 

> 5.

 

3) 1<|Z+5|.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z2 + 9z + 20

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

РЕШЕНИЕ. КОРНЯМИ УРАВНЕНИЯ Z2+9Z+20=0 ЯВЛЯЮТСЯ ЧИСЛА Z1=-4 И Z2=-5. РАЗЛОЖИМ ЭТУ

ДРОБЬ НА ПРОСТЫЕ ДРОБИ:

 

z 2

 

 

=

A

+

 

 

B

=

A(z + 5) + B(z + 4)

. ИЛИ

z2 + 9z + 20

z + 4

 

z

+ 5

(z + 4)(z + 5)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A(z + 5) + B(z + 4) = z 2 . ПРИ Z=-4 ПОЛУЧИМ A=-6. ЕСЛИ ПОЛОЖИТЬ Z=-5, ТО ПОЛУЧИМ В=7.

СЛЕДОВАТЕЛЬНО,

z 2

=

6

+

7

. 1). В КОЛЬЦЕ 4 <

 

z

 

< 5 ИМЕЕМ

 

4

<1

и

 

z

 

 

<

1.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z2 + 9z + 20

z + 4

z + 5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z

 

 

 

 

5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z 2

 

 

 

 

 

ТОГДА ДРОБЬ МОЖНО ПРЕДСТАВИТЬ СЛЕДУЮЩИМ ОБРАЗОМ:

 

 

=

6

 

+

 

7

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z

2 + 9z + 20

 

z(1+

 

4

)

 

5(1

+

z

)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z

 

5

 

 

 

 

ВОСПОЛЬЗУЕМСЯ ФОРМУЛОЙ ДЛЯ БЕСКОНЕЧНО УБЫВАЮЩЕЙ ГЕОМЕТРИЧЕСКОЙ ПРОГРЕССИИ:

 

1

 

=1+ q + q2 + ... + qn + ..., ГДЕ

 

q

 

<1. В ПЕРВОЙ ДРОБИ Q=-4/Z, ВО ВТОРОЙ ДРОБИ Q= -Z/5.

 

 

 

1q

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n1

 

 

 

n1

 

 

 

n

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

СЛЕДОВАТЕЛЬНО,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= −6

(1)

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

+ 7

(1) z

 

 

 

.

2). В КОЛЬЦЕ

 

z

 

> 5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z

2

 

+ 9z + 20

 

 

 

 

 

 

z

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n+1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n=1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n=0

5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ВЫПОЛНЯЮТСЯ НЕРАВЕНСТВА

 

4

 

 

 

<1

 

 

 

и

 

 

 

5

 

<1. СЛЕДОВАТЕЛЬНО,

 

 

 

 

 

 

 

z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z 2

 

 

 

6

 

 

 

 

 

 

 

 

7

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(1)

n1

4

n1

 

 

 

n1

5

n

1

 

 

 

 

 

 

 

=

 

 

 

 

+

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= −6

 

 

 

 

 

 

 

 

+

(1)

 

 

 

 

 

 

=

 

 

 

 

 

 

 

 

z2 + 9z + 20

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

zn

 

 

 

 

 

 

 

 

 

zn

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n=1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n=1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z(1+

z

)

 

 

 

 

z(1+

z

)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3) 1 <

 

z + 5

 

;

 

 

1

 

< 1;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z + 5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(1)n7n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z 2

 

 

6

 

 

 

 

 

 

7

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

7

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

 

 

 

 

 

 

 

+

 

 

 

 

 

 

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

6(z + 5)n + 7

 

 

 

 

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5n+1

 

 

 

 

 

z2 + 9z + 20 z + 4

 

 

 

 

z +

5 1

 

 

 

 

(z + 5)

 

 

 

z

+ 5

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

z 2

=

 

(z + 5)n

+

(1)n7n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6

7

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z2 + 9z + 20

 

 

5n+1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z 2

=

 

(z + 5)n

+

(1)n7n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6

7

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z2 + 9z + 20

 

 

5n+1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(1)n1 4n1

 

 

 

 

 

 

(1)n zn

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ОТВЕТ. 1).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= −6

 

 

 

+ 7

 

В КОЛЬЦЕ 4 <

z

< 5 .

z

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5

n+1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+ 9z + 20

 

 

 

 

n=1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n=0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

7 5

n1

6

4

n

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

(1)n1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

В КОЛЬЦЕ

 

z

 

> 5 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z2 + 9z + 20

n=1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

zn

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3)

 

 

 

 

 

 

 

 

z 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+ 5)n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(1)n7n

; В КОЛЬЦЕ 1<|Z+5|.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

 

6(z

+ 7

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5n+1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z2 + 9z + 20

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ЗАДАЧИ 10-11. ВЫЧИСЛИТЬ ИНТЕГРАЛЫ С ПОМОЩЬЮ ВЫЧЕТОВ.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

iπz

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

e 3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

10.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dz

 

 

 

 

 

 

 

 

 

11.

 

 

 

 

zez1dz

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(4z

2

 

 

 

1)

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z

=1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z

=1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

iπz

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

iπz

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

РЕШЕНИЕ. 10. ПРЕОБРАЗУЕМ ПОДИНТЕГРАЛЬНУЮ ФУНКЦИЮ:

 

 

 

 

 

e 3

 

 

 

 

 

=

1

 

 

 

 

 

 

e 3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

(4z

2 1)

2

 

16

 

(z

2

1

)

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

КОРНИ ЗНАМЕНАТЕЛЯ: z1

 

= −

1

,

 

 

 

 

z2

=

 

1

 

 

I. ЗНАЧЕНИЯ Z1 И Z2 ЯВЛЯЮТСЯ ПОЛЮСАМИ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ПОДЫНТЕГРАЛЬНОЙ ФУНКЦИИ КРАТНОСТИ 2. ТОГДА

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

iπz

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

iπz

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

iπ

 

 

iπz

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

iπz

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

iπ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(z +

 

)2 e

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

e 3

(z

 

)2

2e

3 (z

)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

e 3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

iπ

 

 

 

Res

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

 

lim

 

 

 

d

 

[

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

] =

 

lim

 

[

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

] = e

6

 

(

+ 2) ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

16(z

2

 

)

2

 

 

 

 

z→−

1 dz

16(z+

1

)

2

(z

)

2

 

 

z→−

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

16(z

 

)

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

16

 

 

 

 

3

 

 

 

2

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

iπz

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

iπz

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

iπ

 

 

 

iπz

 

 

1

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

iπz

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

iπ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(z

)

2

e

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

e

 

3 (z+

)

 

2e 3

(z+

)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

e 3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

d

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

e 6

 

 

 

 

iπ

 

 

 

 

 

 

Res

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= lim

 

 

 

[

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

] = lim [

3

 

 

 

 

2

 

 

 

2

] =

 

(

 

 

2).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

2

 

 

 

 

1

 

 

dz

16(z+

1

 

 

2

(z

1

 

 

2

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

16(z +

1

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

16

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

16(z

 

 

 

 

 

 

 

 

)

 

 

 

 

 

z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

)

 

 

 

 

 

)

 

 

 

 

 

 

z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

2

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

iπz

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

e

iπ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

iπ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

iπ

 

 

 

 

 

iπ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ПОЛУЧИМ ОКОНЧАТЕЛЬНО:

 

 

 

 

 

 

 

e 3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6

 

 

 

iπ

 

 

 

 

 

 

e 6

 

 

 

 

iπ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

π

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+ e 6 ).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dz =

2πi[

 

 

 

 

 

 

 

(

 

 

 

 

 

 

+ 2) +

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(

 

 

 

2) = −

 

 

 

 

(e

6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

1)

2

 

16

 

3

 

 

 

 

16

 

 

 

3

12

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

iπz

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z

 

=1 (4z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

π2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

π2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

π2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

e 3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

iπ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

π

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ИЛИ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dz

= −

 

 

 

ch(

 

)

= −

 

 

cos(

) = −

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(4z

2

 

1)

2

 

 

6

 

6

 

 

6

 

 

 

6

 

 

12

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z

=1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

11. ПОДЫНТЕГРАЛЬНАЯ ФУНКЦИЯ ИМЕЕТ СУЩЕСТВЕННО ОСОБУЮ ТОЧКУ Z=1. ПОЭТОМУ ДЛЯ ВЫЧИСЛЕНИЯ ВЫЧЕТА ОТНОСИТЕЛЬНО ЭТОЙ ТОЧКИ СЛЕДУЕТ РАЗЛОЖИТЬ ФУНКЦИЮ В РЯД ЛОРАНА. ВОСПОЛЬЗУЕМСЯ РАЗЛОЖЕНИЕМ В РЯД ФУНКЦИИ EW ПО СТЕПЕНЯМ W:

sh(w) =1+ w +

w

2

+

 

w3

 

+

w4

 

+ ... ПОЛАГАЯ w =

1

 

 

, ПОЛУЧИМ:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2!

3!

 

4!

 

z

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

1+

1

 

 

 

 

 

1

 

1

 

 

1

 

 

+ ...

 

 

3

 

1

 

 

2

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+ 1+

 

 

+

 

+ ...

zez1 = (1

+ z 1)

 

+

 

 

 

+

+

 

 

 

= z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z 1

 

 

2(z

1)2

 

6(z 1)3

 

24(z

1)4

 

 

2

 

z 1

3

 

(z 1)2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ПОСЛЕДУЮЩИЕ СЛАГАЕМЫЕ НЕ СОДЕРЖАТ СТЕПЕНИ (Z-1)-1. КОЭФФИЦИЕНТОМ ПРИ (Z-1)-1 В РАЗЛОЖЕНИИ ФУНКЦИИ БУДЕТ ЧИСЛО 3/2. ВЫЧЕТ ДАННОЙ ФУНКЦИИ РАВЕН КОЭФФИЦИЕНТУ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

3

 

ПРИ (Z-1)-1 В ДАННОМ РАЗЛОЖЕНИИ, Т.Е. Res[ze

 

 

] =

. СЛЕДОВАТЕЛЬНО.

z1

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

zez1dz = 2πi

= 3πi .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z

=1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

iπz

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

e 3

 

 

 

π2 3

 

 

 

ОТВЕТ. 10.

 

 

 

dz = −

. 11.

zez1dz = 3πi .

(4z

2

1)

2

12

 

 

 

 

 

 

z

=1

 

 

 

 

 

 

z

=1

 

 

ЗАДАЧА 12. ВЫЧИСЛИТЬ НЕСОБСТВЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ С ПОМОЩЬЮ ВЫЧЕТОВ.

5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(x

2

1)

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

−∞

 

+

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

РЕШЕНИЕ. КОРНЯМИ ЗНАМЕНАТЕЛЯ ФУНКЦИИ f(z) =

 

 

1

 

 

 

ЯВЛЯЮТСЯ ЧИСЛА z1,2 = ±i . В

 

 

 

 

 

 

(x2 +1)3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ДАННОМ СЛУЧАЕ В ВЕРХНЕЙ ПОЛУПЛОСКОСТИ РАСПОЛОЖЕН ОДИН ПОЛЮС Z=I ДАННОЙ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ФУНКЦИИ КРАТНОСТИ 3. ТОГДА

 

 

 

 

 

 

= 2πi Res

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

3

 

 

2

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

−∞

(x

 

 

+ 1)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i

(z

 

+1)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Res

 

1

 

 

=

1

 

lim

d2

 

 

(z i)3

 

 

 

=

 

1

 

lim

d

 

 

 

 

 

3

 

=

1

lim

12

=

6

=

3

 

 

+1)3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dz (z + i)4

 

 

 

 

 

 

i (z2

 

 

2!

 

zi dz2 (z + i)3 (z i)3

 

 

2!

 

zi

 

2

 

zi (z + i)5

 

64i

 

32i

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx

 

 

3

 

 

 

 

3π .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

СЛЕДОВАТЕЛЬНО.

 

 

 

= 2πi

 

) =

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

−∞ (x

+ 1)

 

 

32i

 

 

 

16

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx

 

 

 

 

3π .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ОТВЕТ.

 

 

 

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

−∞ (x

 

+1)

 

 

 

16

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ЗАДАЧА 13. ВЫЧИСЛИТЬ ИНТЕГРАЛ ОТ ЗАДАННОЙ ВЕТВИ МНОГОЗНАЧНОЙ ФУНКЦИИ ПО КРИВОЙ

С ОТ ТОЧКИ Z1 ДО ТОЧКИ Z2.

3z + idz , ГДЕ С: ПРЯМАЯ, Z1=8-I, Z2=7I, 38 = −1+ i3 .

C

РЕШЕНИЕ. ТОЧКИ Z1 И Z2 НЕ ЯВЛЯЮТСЯ ОСОБЫМИ ТОЧКАМИ ДЛЯ ПОДИНТЕГРАЛЬНОЙ ФУНКЦИИ. СЛЕДОВАТЕЛЬНО, МОЖНО ПРИМЕНИТЬ ФОРМУЛУ НЬЮТОНАЕЙБНИЦА:

3

 

 

 

 

 

 

dx =

 

3

 

(z + i)3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z2

 

=

3

((z2 + i)3

 

 

 

 

 

 

 

(z1 + i)3

 

 

 

 

 

) . РАССМОТРИМ ФУНКЦИЮ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z + i

z + i

 

z2 + i

z1 + i

4

 

 

 

 

 

C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z1

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ϕ + 2kπ + isin

ϕ + 2kπ) . РАССМАТРИВАЕТСЯ ТА ВЕТВЬ ФУНКЦИИ, ДЛЯ КОТОРОЙ В

3

 

 

= 3

 

 

 

 

z

 

 

2 (cos

z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ТОЧКЕ Z=8 ФУНКЦИЯ БУДЕТ ПРИНИМАТЬ ЗАДАННОЕ ЗНАЧЕНИЕ. С ОДНОЙ СТОРОНЫ

3

 

 

 

 

 

 

 

(cos

 

2kπ

+ isin

2kπ

) = 2(cos

2kπ

 

+ isin

 

2kπ

) . С ДРУГОЙ СТОРОНЫ

 

 

= 3

 

8

 

 

8

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

= −1+ i

 

 

 

 

= 2(

1

 

+

i 3

) . СРАВНИВАЯ ЭТИ ВЫРАЖЕНИЯ, ПРИХОДИМ К ВЫВОДУ, ЧТО

8

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

УКАЗАННОЙ ВЕТВИ ФУНКЦИИ СООТВЕТСТВУЕТ ЗНАЧЕНИЕ K=1. СЛЕДОВАТЕЛЬНО, ДАННАЯ

ВЕТВЬ ФУНКЦИИ ИМЕЕТ УРАВНЕНИЕ. 3

 

 

 

= 3

 

 

 

 

 

 

ϕ + 2π

+ isin

ϕ + 2π

) . ТАКИМ ОБРАЗОМ,

z

 

z

(cos

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2π

 

 

 

 

 

 

2π

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(z1 + i) 3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= 8 3

 

 

=16(cos

 

 

 

 

 

 

 

)

 

 

 

 

 

 

 

 

1

+

i

 

3

) = −8(1i

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z1 + i

8

+ isin

=16(

3) ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

π

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

π

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+ 2π

 

 

 

 

2 + 2π

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+ isin

) =16i(

 

3

+

i

) = −8(1+ i

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

=16i(cos

 

2

 

 

(z2 + i) 3 z2 + i = 8i

8i

 

 

3) .

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

СЛЕДОВАТЕЛЬНО,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

dx =

3

(z + i)3

 

z2

=

3

((z2 + i)3

 

 

 

 

 

3 8 (1+ i

 

1+ i

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z +i

z+ i

 

z2 + i(z1 + i)3 z1 + i) =

3

3) = −12i 3 .

4

 

 

C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z1

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ОТВЕТ. 3z +i dx = −12i3 .

C

6

Соседние файлы в папке 7. Функции комплексного переменного