2Дискретка / РГЗ / Дискретная математика (РГЗ #1)

Министерство Образования Российской Федерации Новосибирский Государственный Технический Университет Кафедра Прикладной Математики

Задание по Дискретной математике на тему «Множества и операции над ними»

Факультет: ПМИ

Группа: ПМ-22

Студент: Рембиш А.В.

Преподаватель: Токарева Марина Георгиевна

Новосибирск 2002

9(5).

Задание:

Доказать, что A(B\C) = (AB)\(AC) = (AB)\C.

Решение:

Для того чтобы доказать, что A(B\C) = (AB)\(AC) = (AB)\C. Докажем все эти утверждения попарно. Для этого рассмотрим взаимную вложенность (т.е. вложенность в обе стороны) для каждой пары.

1. A(B\C) = (AB)\(AC):

а) (A(B\C))  ((AB)\(AC)):

Пусть aA, тогда при A(B\C) получаем, что a(B\C), т.е. aB и aC. Т.к. (A(B\C))  ((AB)\(AC)), то a((AB)\(AC)), т.е. a(AB) и a(AC). Из этого получаем, что aA и aB, но при этом a(AC), т.е. при aA - aC. Что и требовалось доказать.

б) ((AB)\(AC))  (A(B\C)):

Пусть a(AB), т.е. получаем, что aA и aB, но при этом a(AC), т.е. aC. Т.к. ((AB)\(AC))  (A(B\C)), то a(A(B\C)), т.е. aA и a(B\C), следовательно, aB, но aC. Что и требовалось доказать.

2. (AB)\(AC) = (AB)\C:

а) ((AB)\(AC))  ((AB)\C):

Пусть a(AB), то из этого следует, что aA и aB, но т.к. (AB)\(AC), то получаем, что a(AC), т.е. aC (т.к. aA). Т.к. ((AB)\(AC))  ((AB)\C), то a((AB)\C), т.е. a(AB) и aC, из этого следует, что aA, aB, но aC. Что и требовалось доказать.

б) ((AB)\C)  ((AB)\(AC)):

Пусть a(AB), то получаем, что aA и aB, но т.к. (AB)\C, то aC. Т.к. ((AB)\C)  ((AB)\(AC)), то a((AB)\(AC)), т.е. a(AB), но a(AC). Из этого следует, что aA, aB, но aC. Что и требовалось доказать.

3. A(B\C) = (AB)\C:

а) (A(B\C))  ((AB)\C):

Пусть aA, тогда т.к. A(B\C), то получаем: a(B\C), т.е. aB, но aC. Т.к. (A(B\C))  ((AB)\C), то aA и aB, но aC. Что и требовалось доказать.

б) ((AB)\C)  (A(B\C)):

Пусть a(AB), то a(AB). Из этого следует, что aA и aB, но т.к. (AB)\C, то aC. Т.к. ((AB)\C)  (A(B\C)), то a(A(B\C)), т.е. получаем, что aA и a(B\C), т.е. в конце концов, получаем: aA, aB и aC. Что и требовалось доказать.

Все три равенства доказаны с положительным результатом. Из этого можно сделать вывод, что заданное соотношение верно.

15.

Задание:

Доказать, что существуют такие A, B и C такие, что:

1. AB  BA;

2. AB = BA;

3. A(BC)  (AB)C;

4. A(BC) = (AB)C.

Решение:

1. AB  BA:

Получаем, что AB = {(u, v) | uA и vB}, но при этом BA = {(u, v) | uB и vA}. Как видно AB  BA. Что и требовалось доказать.

2. AB = BA:

Получаем AB = Q² = BA. Что и требовалось доказать.

3. A(BC)  (AB)C:

Получаем BC = {(v, q) | vB и qC}, а A(BC) = {(u, (v, q)) | uA и (v, q)(BC)}. Но при этом: AB = {(u, v) | vA и qB} и (AB)C = {((u, v), q) | qC и (u, v)(AB)}. Как видно A(BC) и (AB)C не равны между другом. Что и требовалось доказать.

4. A(BC) = (AB)C:

Пусть один из множителей декартового произведения равен , например C. Этого будет достаточно, чтобы свести декартовые произведения по обе стороны равенства к пустому множеству (по определению декартового произведения). Получаем, что  = . Что и требовалось доказать.

21(13).

Задание:

Найти _P, _P, P^-1, PP, P^-1P, PP^-1 для отношения: P = {(x, y) | x, yR и xy  20}.

Решение:

1. _P = {x | (x, y)P для некоторого y} = R.

а) _P  R:

x_P и по заданному отношению P получаем, что xR и как следствие _P  R.

б) R  _P:

xR, и нужно указать y для всех x так, чтобы (x, y)P: xy  20. При y  -  для всех xR и (x, y)P получаем, что x_P.

2. _p = {y | (x, y)P для некоторого x} = R.

а) _p  R:

y_p и по определению получаем, что yR и как следствие _pR.

б) R  _p:

Для yR выполняется неравенство xy  20, при x  -  и при y неравенство выполняется, т.е. yR. А значит (x, y)P и как следствие R_p.

3. P^-1 = {(x, y) | x, yR, xy  20}.

Получили, что данное бинарное отношение симметрично. И как следствие PP = P^-1P = PP^-1.

4. PP = {(x, y) | x, yR и z такой, что (x, z)P, (z, y)P, xz  20 и zy  20} = R.

а) (x, y)(PP):

Доказывается по определению.

б) (x, y)R:

Укажем z такой, что (x, z) и (z, y)З, тогда xz  20 и zy  20. Для любых x, yR будет выполняться, что zR, следовательно, получаем, что (x, y)(PP).

23(1).

Задание:

Доказать, что для любых бинарных отношений справедливо: (R₁R₂)^-1 = R₁^-1R₂^-1.

Решение:

Если доказать взаимную вложенность левой и правой частей равенства, то можно сделать вывод, что данное равенство справедливо.

а) ((R₁R₂)^-1)  (R₁^-1R₂^-1):

Пусть (x, y)R₁, тогда получаем, что (x, y)  R₂ (из (R₁R₂)). Следовательно, имеем, что (y, x)(R₁R₂)^-1. Т.к. ((R₁R₂)^-1)  (R₁^-1R₂^-1), то (y, x)(R₁^-1R₂^-1), т.е. (y, x)R₁^-1 и (y, x)R₂^-1. Т.е. (x, y)R₁ и (x, y)R₂. Что и требовалось доказать.

б) (R₁^-1R₂^-1)  ((R₁R₂)^-1):

Пусть (x, y)R₁^-1, тогда (y, x)R₁. Т.к. R₁^-1R₂^-1, то (x, y)R₂^-1, а, следовательно, (y, x)R₂. Т.к. (R₁^-1R₂^-1)  ((R₁R₂)^-1), то (x, y)(R₁R₂)^-1. Т.е. (y, x)(R₁R₂). Это значит, что (y, x)R₁ и (y, x)R₂. Что и требовалось доказать.

Вложенность доказана в обе стороны, следовательно, равенство верно. Т.к. не было какой-либо определенной конкретизации бинарных отношений R₁ и R₂, то можно считать, что равенство доказано для любых случаев.

28.

Задание:

Доказать, что если отношения R и S рефлексивны, то рефлексивны и отношения RS, RS, R^-1, RS.

Решение:

Т.к. по условию нам дано, что R и S рефлексивны, то получаем, что для x: (x, x)R и y: (y, y)S.

а) RS = {(a, b) | (a, b)R или (a, b)S}, но из условия мы знаем, что оба отношения рефлексивны, поэтому мы можем (a, b) заменить на (a, a), т.е. RS = {(a, a) | (a, a)R или (a, a)S}. Как мы видим последнее бинарное отношение рефлексивно. Что и требовалось доказать.

б) RS = {(a, b) | (a, b)R и (a, b)S}, но из условия мы знаем, что оба отношения рефлексивны, поэтому мы можем (a, b) заменить на (a, a), т.е. RS = {(a, a) | (a, a)R и (a, a)S}. Как мы видим последнее бинарное отношение рефлексивно. Что и требовалось доказать.

в) Т.к. R – рефлексивно, то для x: (x, x)R, но т.к. от перестановки двух равных между собой слагаемых бинарное отношение не меняется, то получаем, что R = R^-1 и как следствие – рефлексивность последнего. Что и требовалось доказать.

г) RS = {(a, b) | aR, bS и c такой, что (a, c)R, (c, b)R}. Из рефлексивности получаем, что (c, c)R и (c, c)S и, следовательно, RS = {(c, c) | (c, c)R и (c, c)S}. Получили, что бинарное отношение рефлексивно. Что и требовалось доказать.

32(18).

Задание:

Постройте бинарное отношение, обладающее следующими свойствами, или докажите, что такого не существует: не рефлексивность, не иррефлексивность, не симметричность, антисимметричность и транзитивность.

Решение:

Такое бинарное существует (все числа представлены в бинарной системе счисления): P = {(100₂, 100₂), (100_2,, 101₂)}. Теперь докажем, почему данное бинарное отношение удовлетворяет поставленным условиям:

1. не рефлексивность: Не выполняется условие, что для любого xR², (x, x)P. Допустим возьмем один из членов данного бинарного отношения: 101₂ – для него не найдется пары (101₂, 101₂).

2. не иррефлексивность: Не выполняется условие, что пары типа (x, x)P не существуют в данном бинарном отношении. Пример тому – пара (100₂, 100₂).

3. не симметричность: Не выполняется условие, что для пары (x, y)P найдется (y, x), также принадлежащая P. Для пары (100₂, 101₂) нет симметричной ей (101₂, 100₂).

4. антисимметричность: Если (x, y)P и (y, x)P, то x = y верно для данного отношения. Олицетворение этого пара: (100₂, 100₂).

5. транзитивность: Если (x, y)P и (y, z)P, то и (x, z)P. Пример для пар (100₂, 100₂) и (100₂, 101₂) есть пара (100₂, 101₂).

Получили, что заданное нами бинарное отношение соответствует поставленной перед нами задаче.

8