2Дискретка / Экзамен / ДМ Билеты

1. Доказать, что если бинарное отношение является симметричным и антисимметричным одновременно, то оно не иррефлексивно.

2. Минимизировать функцию f (x, y, z) = (0011 1011) методом Квайна. Определить принадлежность классам Поста.

3. Получить нормальную форму с минимальным количеством связанных переменных "pC ( p) Ù ¬ éë$y(A( y) É "xP(x, y))Ù "z ¬B(z)ùû .

4. Найти коэффициент многочлена (1+ 3x + 2x3 )10 при x4 .

5. В графе 100 вершин, причем степень любой из них не меньше 50. Доказать, что граф связен.

6. Построить доказательства: ÷¾ A É A и ÷¾ "x"yA É A .

7. Используя алгоритм укладки, построить плоский граф, изоморфный заданному, или доказать его непланарность. Для начального шага алгоритма использовать выделенный цикл.

Утверждаю: Зав. кафедрой ______________________

1. Доказать, что если бинарное отношение является симметричным и антисимметричным одновременно, то оно транзитивно.

2. Минимизировать функцию f (x, y, z) = (1111 0100) методом Квайна. Определить принадлежность классам Поста.

3. Используя определение кванторов, доказать: $x"yP(x, y) É "y$xP(x, y) .

4. Найти члены разложения (3 + 32 )9 , являющиеся целыми числами.

5.Пусть G граф с n ³ 2 вершинами, доказать эквивалентность следующих утверждений:

1)G связный, а удаление любого ребра делает его несвязным;

2)G – дерево.

6. Сформулировать и доказать теорему о дедукции.

7. Используя алгоритм укладки, построить плоский граф, изоморфный заданному, или доказать его непланарность. Для начального шага алгоритма использовать выделенный цикл.

Утверждаю: Зав. кафедрой ______________________

1. Найти δ f , ρ f , f (A), f −1 (A) , если f ={(x, y) x, y Ρ y = x2}, A = (1,3] .

Является ли инъекцией, сюръекцией или биекцией это функциональное отношение?

2. Минимизировать функцию f (x, y, z, p) = (1101 1000 1100 0010) методом карт Карнапа. Определить принадлежность классам Поста.

3. Используя определение кванторов, доказать

"xA(x) Ù "xB(x) : "x(A(x) Ù B(x)).

4. Сколько различных перестановок можно образовать из букв слова «абракадабра»?

5. Пусть G граф с n ³ 2 вершинами, доказать эквивалентность следующих утверждений:

1)G связный и содержит n -1 ребро;

2)G не содержит циклов, а добавление одного ребра между любыми двумя вершинами приводит к появлению одного и только одного цикла.

6. Построить доказательства: ÷¾ A É A и ÷¾ "x"yA É A .

7. Используя алгоритм укладки, построить плоский граф, изоморфный заданному, или доказать его непланарность. Для начального шага алгоритма использовать выделенный цикл.

Составили Рояк С.Х. Дата 4 января 2007 г.

Утверждаю: Зав. кафедрой ______________________

1. Найти R°S, если X–множество точек плоскости, Y– множество окружностей, Z– множество треугольников,

S = {(x, y)ôx ÎY, yÎZ и окружность x вписана в треугольник y}. R = {(x, y)ôx ÎX, yÎY и x центр окружности y}.

2. Найти все простые импликанты функции f (x, y, z, p) = px Ú pyz Ú xy . Выписать СДНФ и СКНФ.

3. Получить нормальную форму с минимальным количеством связанных переменных

"pC ( p) Ù ¬ éë$y(A( y) É "xP(x, y))Ù "z ¬B(z)ùû .

4. На первой из двух параллельных прямых лежит 10 точек, на второй – 20. Сколько существует треугольников с вершинами в этих точках?

5. Пусть G граф с n ³ 2 вершинами, доказать эквивалентность следующих утверждений:

1) G не содержит циклов, а добавление одного ребра между любыми двумя

вершинами приводит к появлению одного и только одного цикла; 2) G – дерево.

6. Построить вывод A É B, B É C ÷¾ A É C и доказательство ÷¾ "x"yA É A .

7. Используя алгоритм укладки, построить плоский граф, изоморфный заданному, или доказать его непланарность. Для начального шага алгоритма использовать выделенный цикл.

Составили Рояк С.Х. Дата 4 января 2007 г.

Утверждаю: Зав. кафедрой ______________________

1. Найти δP , ρP , P−1 , P o P−1 для отношения P = {(x, y) xΡ, y Ρ x + y > 0}.

2. Минимизировать функцию f (x, y, z) = (1101 0101) методом Квайна. Определить принадлежность классам Поста.

3. Используя определение кванторов, доказать $xA(x)Ú $xB(x) : $x(A(x)Ú B(x)).

4. Десять групп занимаются в 10 расположенных подряд аудиториях. Сколько существует вариантов расписания, при которых группы №1 и №2 находились бы в соседних аудиториях?

5. Могут ли степени вершин в графе быть равны:

a)8, 6, 5, 4, 4, 3, 2, 2.

b)7, 7, 6, 5, 4, 2, 2, 1.

c) 6, 6, 6, 5, 5, 3, 2, 2.

6. Построить вывод: B É C ÷¾ A Ú B É A Ú C .

7. Используя алгоритм укладки, построить плоский граф, изоморфный заданному, или доказать его непланарность. Для начального шага алгоритма использовать выделенный цикл.

Составили Рояк С.Х. Дата 4 января 2007 г.

Утверждаю: Зав. кафедрой ______________________

1. Найти δP , ρP , P−1 , P o P−1 для отношения P = {(x, y) x ¡, y ¡ x + y > 2} .

2. Найти все тупиковые ДНФ функции f (x, y, z, p) = (0011 1100 0011 0101) .

3. Используя определение кванторов, доказать B xA(x) : x(B A(x)) .

4. Из цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 составляются всевозможные пятизначные числа, не содержащие одинаковых цифр. Определить количество чисел, в которых есть цифры 2, 4 и 5 одновременно.

5. Доказать, что для любого плоского (n,m)-графа (n>2) выполняется неравенство m ≤ 3n – 6.

6. Доказать правильность рассуждений:

“Если летом прохладное утро, то на улице туман. Если на улице туман, то видимость плохая.

Следовательно, если летом прохладное утро, то видимость плохая”.

7. Используя алгоритм укладки, построить плоский граф, изоморфный заданному, или доказать его непланарность. Для начального шага алгоритма использовать выделенный цикл.

Утверждаю: Зав. кафедрой ______________________

1. Найти δP , ρP , P−1 , P o P , P−1 o P для отношения P = {(x, y) xΡ, y Ρ 5x ³ 7 y}.

2. Найти все простые импликанты функции f (x, y, z, p) = yz Ú ypx Ú zp . Выписать ее СДНФ и СКНФ.

3. Используя определение кванторов, доказать B Ù $xA(x) : $x(B Ù A(x)) .

4. Шесть ящиков различных материалов доставляют на восемь этажей стройки. Сколькими способами можно распределить материалы по этажам? В скольких из них на восьмой этаж будет доставлено не менее двух материалов?

5. Доказать утверждение: «Пусть G – граф с n >11 вершинами, а G его дополнительный граф. Тогда по крайней мере один из них не планарный.»

6. Доказать правильность рассуждений:

“Если неверно, что светит солнце, то сейчас ночь. Следовательно, если сейчас не ночь, то солнце светит”.

7. Используя алгоритм укладки, построить плоский граф, изоморфный заданному, или доказать его непланарность. Для начального шага алгоритма использовать выделенный цикл.

Утверждаю: Зав. кафедрой ______________________